Funções de Variáveis Complexas - Raízes e Exponencial

Segunda Aula de Funções de Variáveis Complexas Prof Leonardo de Amorim e Silva Observe que a férmula 6 2k 6 2k z Vw cos oe isen ee 0 0 2kr 2kn w cos sen cos sen n n n n 6 0 7w cos isen 2 n n Em outras palavras as raizes nésimas de um namero complexo ndo nulo podem ser obtidas como produto de uma de suas raizes particulares 6 6 Vw eos isen 5 pelas raizes nésimas da unidade 1 z Z1 Exemplo 1 As raizes cibicas da unidade sao ZAl1 2 2 1 3 Z cos jsen 5t v3 e 4 4 1 3 n cos jsen 57 WB Exemplo 2 Determine as raizes quadradas de Observe que cos 7 isen Logo as raizes quadradas de sdo dadas por 2 2k 2 2k 2 2 ou seja v2 V2 v2 V2 a ee j ZO 9 9 1 e Z 9 9 Exemplo 3 Determine as raizes ciibicas de 8 Como uma das raizes cibicas de 8 6 z 2 e como as raizes 1 3 1 3 cubicas da unidade sao 1 5 3 e57 3 temos que as raizes cibicas de 8 sao Z 2 1 3 a 2243 14 vai 2 2 1 V3 n23 3 1 3i Exercicio Determine as raizes cibicas de A Exponencial Queremos agora definir e para z sendo um nimero complexo Para isto lembremos das expressdes em séries de poténcias das funcdes abaixo CO Un 2 3 x x x c 2 1 424 dn TXT oF art CO 1x2 x2 x4 x6 cos xX 14 x 2n at al el 2n1 3 5 7 1x x x x sen xX x nx d Qnzt 3 Br 7 Na série de e substituindo x por jy com y R supondo que isto seja valido temos ly Wy yt Wy yo eX 11y Tl 3 Al 5 2 3 4 5 tay eh Viv Le Ty ala al Te 2 4 6 3 5 7 vy i 1945G4iyG8 Ft cosy seny Assim o desenvolvimento acima motiva a seguinte denição Denição Dado z x yi um número complexo denimos a exponencial de z por ez exyi excos y i sen y Quando z yi a expressão eyi cos y i sen y é chamada de fórmula de Euler Exemplos 1 e πi 2 e0cos π 2 i sen π 2 i 2 e1πi e1cos π i sen π e Proposição Seja z w C então 1 ezew ezw 2 ez 1 ez 3 ezn enz n Z 4 ez 0 para todo z C 5 ez eRez 6 ez 1 z 2kπi k Z Dem Sejam z a bi e w c di Logo ez eacos b i sen b e ew eccos d i sen d 1 Temos que ezew eacos b i sen b eccos d i sen d eaeccos b i sen bcos d i sen d eaccos b cos d sen b sen d icos b sen d sen b cos d eaccosb d i sen b d eacbdi eabicdi ezw 2 Neste caso temos ez eabi eacosb i sen b 1 ea cos b i sen b 1 ea 1 cos b i sen b 1 ez 3 Aqui temos que ezn eacos b i sen bn eancos b i sen bn eancos bn i sen bn eanbni enz 4 Segue da denição de ez 5 Temos que z eacos bi sen b eacos bi sen b ea1 ea eRez 6 ez 1 eacos b i sen b 1 ea cos b 1 e ea sen b 0 a 0 e b 2kπi k Z Observação Supondo que um número complexo z possui uma representação polar z rcos θ i sen θ onde z r e θ é o argumento de z temos que essa igualdade por ser expressa com a notação de exponencial da seguinte forma z reiθ Desta forma a fórmula de Moivre pode ser rescrita como eiθn einθ As raízes nésimas da unidades são dadas por zk e 2kπi n com k 0 1 n 1 Do Teorema dos slides da aula anterior temos que as raízes nésimas de z rcos θ i sen θ são dadas por nre θ2kπ n i Exemplo Determinemos as raizes cibicas de 8 Observe que 3x ap ox 8i 8e2 Assim as raizes cibicas de 8 sdo dadas por 30 22kr m4 2kn nj 2kr 2kn 7 zy dee Kael E Kae Fie vie k 012 Logo Z 2 2 3jenV3i Conjuntos no plano complexo Dado z0 C e ϵ 0 denimos os conjuntos Bola aberta de centro z0 e raio ϵ Bz0 ϵ z C z z0 ϵ Bola fechada de centro z0 e raio ϵ Bz0 ϵ z C z z0 ϵ Bola aberta deletada de centro z0 e raio ϵ Bz0 ϵ z C 0 z z0 ϵ Círculo de centro z0 e raio ϵ Cz0 ϵ z C z z0 ϵ Denição Uma vizinhança de um ponto z0 é qualquer conjunto C de C que contém uma bola aberta de centro z0 Dizemos que z0 é um ponto interior de um conjunto C se existe uma bola aberta de centro em z0 inteiramente contida em C Dizemos que C é um conjunto aberto se todos os pontos de C são interiores Exemplo Toda bola aberta é um conjunto aberto De fato considere a bola aberta Bz0 ϵ com ϵ 0 Então para qualquer ponto z B basta tomar 0 r ϵ z z0 tal que a bola Bz r Bz0 ϵ Denição Dado um conjunto F dizemos que F é um conjunto fechado se o seu complementar F c é um conjunto aberto Exemplo Toda bola fechada é um conjunto fechado De fato considere a bola fechada F Bz0 ϵ com ϵ 0 Observe que o conjunto complementar de F é dador por F c z C z z0 ϵ Assim dado z F c tomando r z z0 ϵ temos que Bz r F c Com efeito se z1 Bz r temos z z0 z z1 z1 z0 r z1 z0 z z0 ϵ z1 z0 z1 z0 ϵ z1 F c Portanto z é ponto interior de F c Como z foi tomado arbitrário em F c segue que F c é aberto Portanto F é fechado Denição Chamase fronteira ou contorno de um conjunto C o conjunto dos pontos z tais que qualquer bola centrada em z contém pontos de C e pontos de seu complementar C c O conjunto dos pontos de fronteira de C é denotado por C Denição Um ponto z0 é um ponto de acumulação de um conjunto C se qualquer vizinhança de z0 contém pontos de C distintos de z0 Por exemplo os pontos da circunferência C0 k z C z k são pontos de acumulação da bola aberta B0 k Denição Chamase ponto isolado de um conjunto C a todo ponto de C que não é ponto de acumulação de C Por exemplo todos os pontos do conjunto C 1 n n N são pontos isolados enquanto 0 C é um ponto de acumulação de C Denição Dado um conjunto C dizemos que C é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser conectados por uma poligonal toda contida em C Denição Chamase região a todo conjunto aberto e conexo Um conjunto C é dito limitado se existir um número real k 0 tal que z k para todo z C Se um conjunto C for fechado e limitado dizemos que C é compacto Por exemplo a bola fechada Bz0 r é um conjunto compacto Funcoes Analiticas Funcdes de Variavel Complexa Dyeratntrer Seja D um subconjunto de C Uma funcao de varidvel complexa é uma relacdo que associa cada elemento z D a um Gnico nimero complexo w fz isto é fDCC C Zr wfz O conjunto D é chamado de dominio de f Observação Quando dado uma função w f z onde não foi especicado o domínio da mesma subintendese que o domínio de f é o conjunto de todos os z C tais que a expressão w f z faça sentido Exemplo 1 Se f é denida por f z 1 z então o domínio de f é D C 0 Exemplo 2 Se f é denida por f z 5i 3z z2 1 então o domínio de f é dado por D z C z2 1 C i i Exemplo 3 f z z é uma função de C em R cujo domínio D C Cada função de variável complexa w f z com z x yi está associada a duas funções reais das variáveis reais x e y dadas por u ux y Rez e v vx y Imz Segue disto que o gráco de uma função de variável complexa é um objeto de um espaço 4dimensional Exemplos 1 Considere a função f z z2 Então se z x yi temos que f x yi x yi2 x2 y2 2xyi Logo ux y x2 y2 e vx y 2xy Se z reiθ então f z reiθ2 r2ei2θ r2 cos 2θ ir2 sen 2θ e logo ur θ r2 cos 2θ e vr θ r2 sen 2θ Exemplo 2 Função polinomial f z anzn a2z2 a1z a0 com ai C an 0 e n N São casos particulares de funções polinomiais 1 função constante f z c com c C 2 função am f z az b com a b C 3 função nésima potência f z zn n N Exemplo 3 Função racional f z anzn a2z2 a1z a0 bmzm b2z2 b1z b0 com ai bj C an bm 0 e n m N função inversão f z 1 z Exemplo 4 Função exponencial f z ez excos y i sen y para todo z x yi C 1 ez ex o que implica que ez 0 z C 2 f é periódica de período 2πi f z2πi ez2πi eze2πi ezcos 2πi sen 2π ez f z 3 f z e z excosy i sen y excos y i sen y ez f z Exemplo 5 Funções trigonométricas Como eiy cos y i sen y e eiy cos y i sen y segue para todo y R que cos y eiy eiy 2 e sen y eiy eiy 2i Assim é natural denir as funções cosseno e seno da forma cos z eiz eiz 2 e sen z eiz eiz 2i As demais funções trigonométricas são denidas em função de seno e cosseno tg z sen z cos z e sec z 1 cos z onde z C tal que cos z 0 cotg z cos z sen z e cossecz 1 sen z onde z C tal que sen z 0 Temos que cosz 0 se e somente se z 172 2k7 com k Z e senz 0 se e somente se z km com k Z Exemplo In33i In33 1 i wT e 2 e 2 i 3 4 il 3 De SN cos 5 iln 5 5 8 4 6 3 ein2zi gIn25i 2 2432 4 53 sen iln2 SS Ss NY 3 2i 2i V3 3i a ae Exercício Para z w C mostre que a cos2 z sen 2z 1 b sen z sen z c cosz cos z d sen z w sen z cos w sen w cos z e cosz w cos z cos w sen z sen w Exemplo 6 Funções hiperbólicas Para z C temos o cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico cosh z ez ez 2 e senh z ez ez 2 As demais funções hiperbólicas são tgh z senh z cosh z e sechz 1 cosh z onde z C tal que cosh z 0 cotgh z cosh z senh z e cossechz 1 senh z onde z C tal que senh z 0 Observação 1 Temos que cosh z 0 se e somente se z 12 kπi com k Z e sen z 0 se e somente se z kπi com k Z 2 Para z w C temos que Exercício 1 cosh2 z senh2z 1 2 senhz senh z 3 coshz cosh z 4 senhz w senh z cosh w senh w cosh z 5 coshz w cosh z cosh w senh z senh w 6 Se z x yi então cos z cos x cosh y i sen x senh y e sen z sen x cosh y i cos x senh y