Resolução de 3 Questões de Variáveis

1 Determine os valores z C para os quais z5 243 e esboce no plano complexo as soluções obtidas 2 Verifique se estão satisfeitas as condições de CauchyRiemann para a função fz x3 3xy2 i3x2y y3 3 Recordemos que a exponencial complexa é definida por expz ex cosy i seny onde z x iy C e ex é a exponencial real Demonstre que vale a propriedade expz1 expz2 expz1 z2 para todo z1 z2 C Variáveis Complexas 1 Os valores que satisfazem z5 243 podem ser contados utilizando a fórmula de Moivre zk nz cosθ 2kπ n i senθ 2kπ n com 0k n1 Observe que z 243 2431 0i 243 Cosπ i senπ Logo z 243 e θ π Além disso 5243 3 assim z0 3 cos π 0 5 i sen π 0 5 3 cosπ 5 i sen π 5 24 18i z1 3 cosπ 2π 5 i senπ 2π 5 3 cos3π 5 i sen3π 5 09 29i z2 3 cosπ 4π 5 i senπ 4π 5 3 cosπ i senπ 3 z3 3 cosπ 6π 5 i senπ 6π 5 3 cos7π 5 i sen7π 5 09 29i z4 3 cosπ 8π 5 i senπ 8π 5 3 cos9π 5 i sen9π 5 24 18i Assim as soluções podem ser esboçadas no plano complexo 2 A função f pode ser expressa como fz uxy i vxy onde uxy x3 3xy2 e vxy 3x2y y3 Dizemos que f é analítica se as condições de CauchyRiemann são satisfeitas isto é ux vy e vx uy Temos que ux x x3 3x y2 3x2 3y2 Primeira condição satisfeita vy y 3x2 y y3 3x2 3y2 vx x 3x2 y y3 6x y Segunda condição satisfeita uy y x3 3x y2 6x y Portanto fz satisfaz as condições de CauchyRiemann 3 Sejam z1 x1 i y1 e z2 x2 i y2 Então expz1 ex1 cosy1 i seny1 expz2 ex2 cosy2 i seny2 Logo expz1 expz2 ex1 cosy1 i seny1ex2 cosy2 i seny2 ex1 ex2 cosy1 i seny1 cosy2 i seny2 ex1 x2 cosy1 cosy2 cosy1 i seny2 i seny1 cosy2 i2 seny1 seny2 ex1 x2 cosy1 cosy2 seny1 seny2 i seny1 cosy2 seny2 cosy1 i2 1 Observe que Cosy1 y2 Cosy1Cosy2 Seny1Seny2 Seny1 y2 Seny1Cosy2 Seny2Cosy1 Portanto expz1 expz2 ex1 x2 Cosy1 y2 i Seny1 y2 expz1 z2