Lista - Máxima Verossimilhança 2021-2

Lista - Maxima Verossimilhanga - Econometria I Monitor Johann Marques johannmarquesQid.uff. br Professor Diogo Braga 1. (a) A fungao densidade de uma distribuigéo normal é f(a) = t— =e a? . Obtendo oV2T a fungao de verossimilhanga: , av; — pb)? v, — pb)? L(n,0?) = TJ = ee -_1_ pH " ip OV 20 (aV2n)” Obtendo a fungao de log-verossimilhanga (lembrando que log(ab) = log(a) + log(b), log(a®) = blog(a), log(e) = 1 e log(1) = 0): Xi —_ 2 Xj — 2 I(41,07) = lo a em See =lo —— ) + lo eo n _ 2 1 n _ 2 = log(1) — log((avV 27)”) + log(e) d 1/2 = —nlog(ov 27) — 5 d (Hy 1 (a - 1)? = —nlog(c) — nlog(v 27) — 3 dX — a Derivando em relacgao a yz e o e igualando a fungao de log-verossimilhanga a zero, para obter os EML [i e G?: Lista - Maxima Verossimilhanga - Econometria I Johann Marques al io oe ;—u)(-1)(2) =0 Be IDO Ye 7) =0 i=1 Yon oa i=1 i=1 S- xj,—n =0 i=1 ~ ly al n 1< — = —— — (-2 —3(_ oe 2— pg 2G) Ls 2 e833 (n,— p)? n i 9 e 33 Da — p) 1 n a2 + ye a= Dat 11) (b) A fungao densidade de uma distribuicéo Bernoulli 6 dada por f(x) = p"(1 — p)'*. Obtendo a funcgao de verossimilhanga: L(p) = |p" (=p) = pe (1 = per i=1 Obtendo a funcgao de log-verossimilhanga: U(p) = log(p* (1 — p)* 1) = log(p*') + log((1 — p)* 1) = log(p) So ai + log(1 — p) S- 1-4; i=l i=1 Lista - Maxima Verossimilhanga - Econometria I Johann Marques Derivando e igualando a zero para obter o EML p: adoig 1 ~ za =Ft x4, + ——(-1 1-27; =0 ap 2g Tap 2 io = i =) oa - (n dui=t *i) 9 Po 1—p 1 Soe, _ (n — Doin i) PS l—p dt PY ti= PrP) a i=1 i=1 i=1 ~ 1x p= n 3 Lj (c) A funcao densidade de uma distribuicéo exponencial é f(a) = Ae-*", x > 0. Obtendo a fungao de verossimilhanga: 10) = TP =e i=1 Obtendo a fungao de log-verossimilhanga: I(A) = log(A\"e% >") = log(XA”) + log(e& **) = nlog(A) + log(e) S- —x; = nlog(A) — » Soi i=1 i=1 Derivando e igualando a zero para obter o EML »: aone aL ,=0 J’ » . n n "9s, A iat ~ n A= =a dint Zi (d) (ce) Obtendo a fungao de verossimilhanga: L(,to) = [[ be" _— Breru —B(ti—to) i=1 Obtendo a fungao de log-verossimilhanga: 1((B, to) = log(3"e—P—")) = Log(B") + log(e® “"")) = nlog(3) — log(e)B D (ti ~ to) = nlog( i=1 = nlog(8) — BY t; + nBto i=1 Lista - Maxima Verossimilhanga - Econometria I Johann Marques i. Derivando em relacao a @ e igualando a zero para obter B: alon “ — =-—-—Y (t;— to) =0 n n BZ ~ n 8=—=a Dini (ti ~ to) ii. Derivando em relacao a to e igualando a zero para obter to: al — =nB=0 ats” A funcao de log-verossimilhanca cresce 4 medida que aumenta to, sem um ponto maximo. Logo, o EML de ty é 0 maior valor possivel para to, respeitando a restricao t> to. (f) Obtendo a fungao de verossimilhanga: L(A) = [[Qaaete*" = (Na)PeX Av* [[2" i=1 i=1 Obtendo a funcgao de log-verossimilhanga: I(A) = log((Aa)"e% >?" [2 = log((Aa)”) + log(] ao!) + log(e= >") i=1 i=1 = nlog(\a) + S- log(a¢~') + log(e) S- —rx;* i=1 i=1 = nlog(A) + nlog(a) + (a — 1) S- log(x;) — » So x? i=1 i=1 Derivando e igualando a funcao de log-verossimilhancga a zero, para obter o EML d al 1 < an) d " 1 n Ni = So x? A 4 — dt i=1