Aula 05: Derivadas e Taxas de Variação

Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Cálculo Diferencial e Integral Aula 05 Derivadas Taxas de Variação Regras de Derivação Prof André Almeida Universidade Federal Rural da Amazônia Bacharelado em Sistemas de Informação Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade Média Considere que uma partícula se desloca no espaço em linha reta e a função que descreve a posição da mesma seja dada por St com t é medido em segundos Definimos que a variação de espaço ou deslocamento entre os tempos t1 e t2 é dada por S St2 St1 A Velocidade Média desta partícula é definida por Velocidade Média S t St2 St1 t2 t1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade Média Considere que uma partícula se desloca no espaço em linha reta e a função que descreve a posição da mesma seja dada por St com t é medido em segundos Definimos que a variação de espaço ou deslocamento entre os tempos t1 e t2 é dada por S St2 St1 A Velocidade Média desta partícula é definida por Velocidade Média S t St2 St1 t2 t1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade Média Exemplo 11 Sabendo que um móvel deslocase pela função St 20t 5t4 onde t é dado em segundos Determine a velocidade média deste móvel entre os instantes de 7s e 15s Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Aceleração Média Considere que uma partícula se desloca no espaço em linha reta e a função que descreve a velocidade da mesma seja dada por vt com t é medido em segundos Definimos que a variação de velocidade entre os tempos t1 e t2 é dada por v vt2 vt1 A Aceleração Média desta partícula é definida por Aceleração Média v t vt2 vt1 t2 t1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Aceleração Média Considere que uma partícula se desloca no espaço em linha reta e a função que descreve a velocidade da mesma seja dada por vt com t é medido em segundos Definimos que a variação de velocidade entre os tempos t1 e t2 é dada por v vt2 vt1 A Aceleração Média desta partícula é definida por Aceleração Média v t vt2 vt1 t2 t1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Aceleração Média Exemplo 12 Sabendo que um móvel deslocase retilineamente com velocidade dada pela função vt t3 t onde t é dado em segundos Determine a aceleração média deste móvel entre os instantes de 3s e 9s Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Crescimento Considere que o número de indivíduos de uma determinada espécie animalvegetal seja dada pela função Pt e t é dado em anos Definimos a variação no tamanho da população entre os tempos t1 e t2 é dada por P Pt2 Pt1 A Taxa Média de Crescimento da população é definida por Taxa Média de Crescimento P t Pt2 Pt1 t2 t1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Crescimento Considere que o número de indivíduos de uma determinada espécie animalvegetal seja dada pela função Pt e t é dado em anos Definimos a variação no tamanho da população entre os tempos t1 e t2 é dada por P Pt2 Pt1 A Taxa Média de Crescimento da população é definida por Taxa Média de Crescimento P t Pt2 Pt1 t2 t1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Crescimento de uma população Exemplo 13 Consideremos que a população de determinada espécie florestal é dada pela função Pt t3 27t Calcule a taxa média de crescimento desta população entre 6 e 9 anos Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Reação Consideremos a reação A B C onde A e B são os reagentes e C é o produto A concentração de um reagente A é o número de mols por litro é denotada por A A concentração varia durante a reação desse modo A B e C são funções do tempo t A taxa média da reação do produto em um intervalo de tempo t1 t t2 é dada por C t Ct2 Ct1 t2 t1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Reação Exemplo 14 Considere que na reação acima uma molécula do produto C é produzida de uma molécula do reagente A e de uma molécula do reagente B e que as concentrações iniciais de A e B são iguais a 3 isto é A B 3 molslitro então Ct 9t 3t 1 Encontre a taxa média de reação do produto C no intervalo 2 7 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Densidade Média Suponha que a barra não seja homogênea mas que sua massa medida a partir da extremidade esquerda até um ponto x seja mx A massa da parte da barra que está situada entre x1 e x2 é dada por m mx2 mx1 Logo a densidade média daquela parte da barra é m x mx2 mx1 x2 x1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Densidade Média Suponha que a barra não seja homogênea mas que sua massa medida a partir da extremidade esquerda até um ponto x seja mx A massa da parte da barra que está situada entre x1 e x2 é dada por m mx2 mx1 Logo a densidade média daquela parte da barra é m x mx2 mx1 x2 x1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Densidade Média Exemplo 15 Considere que a massa da parte de uma barra de metal que se encontra entre sua extremidade esquerda e um ponto a x metros à direita é dada por mx 3x2 quilogramas Encontre a densidade média da barra entre x 0 e x 5 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa de Variação Média Definição 11 O quociente das diferenças y x f x2 f x1 x2 x1 é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo x1 x2 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Instantânea de Variação Exemplo 21 Considere uma partícula que se desloca posição dada em função do tempo por St t4 t Determine a velocidade desta partícula no instante t 2s Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Instantânea de Variação Exemplo 22 Seja Pt t a função que descreve a população de certa espécie florestal no ano t Determine a taxa de crescimento da população em t 2 ano Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Instantânea de Variação Definição 21 Se uma quantidade y é função de uma quantidade x isto é y f x já vimos que a taxa média de variação de y por unidade de variação em x p no intervalo x1 x2 que contém p é dada por y x f x f p x p Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Instantânea de Variação O limite deste quociente quando x p os valores de x ficam próximos de p isto é lim xp f x f p x p 1 é o que definimos como a taxa instantânea de variação de y em relação a x em x p E denotaremos f p lim xp f x f p x p 2 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 23 Determine a aceleração instantânea de uma partícula que possui velocidade dada pela função vt t2 2t 3 t é dado em segundos no instante t 3s Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 24 Determine o crescimento de uma população de insetos dada por Pt t3 t é dado em anos em t 4 anos Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 25 Sabendose que o custo para extrair certa quantidade de matériaprima de uma região florestal é dado por Cq q2 2q onde q é a quantidade em quilogramas de matériaprima extraídos determine a taxa de variação do custo custo marginal quando são extraídos 2500 quilogramas desse item Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 26 Sabese que em determinada região carregada eletricamente a quantidade de carga elétrica de uma partícula que viaja por essa região é dada pela função Qt 10t2 500t onde t é o tempo em segundos Determine a taxa de variação de carga elétrica corrente elétrica no instante t 4s Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade Aceleração Corrente elétrica Compressibilidade Taxa de crescimento Instantâneo O custo marginal A receita marginal O lucro marginal O custo médio marginal Taxa do fluxo de calor Gradiente de temperatura Gradiente de velocidade do sangue Taxa de divulgação de um boato Velocidade de Secagem Taxa de variação da produção de matéria seca Taxa de desenvolvimento de desempenho e etc Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada de uma função Definição 31 Seja y f x uma função real e p Df Dizemos que a função f é derivável em x p se existir a taxa de variação instantânea de f em x p e caso ocorra escrevemos f p df dx p lim xp f x lim xp f x f p x p Representaremos a derivada de f em x p por f p ou também por df dx p Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada de uma função Definição 32 Quando uma função f é derivável em todos os pontos do seu domínio Df dizemos que é derivável em Df ou somente derivável Taxa Média de Variaao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivaao Derivadas de O OCO000000000 O000000000 C00e o000 OOCODNONONO0OOOO DOOOCOOCOOOCONONOOOOOO0O0O0ON COOOCO000000 Derivada de uma funcdo Dito isso considere uma funcdo f derivavel Definimos a fundo derivada de f ou derivada da funcdo de f que sera denotada por f como sendo a funcado que associa cada ponto x Dy a derivada da fundo f aplicada em x fx ou seja f Dr R txhflx x fx lim Foc h fe x h0 h Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Teorema 41 Se f x c c R então f x 0 Exemplo 41 Calcule a derivada das funções a f x 9 b f x 100 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Teorema 41 Se f x c c R então f x 0 Exemplo 41 Calcule a derivada das funções a f x 9 b f x 100 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Teorema 42 Se f x xn n R então f x n xn1 Exemplo 42 Calcule a derivada das seguintes funções a f x x9 b gx x12 c hx 1 x3 d px 1 x2 e rx 3 x2 f sx x3 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Teorema 42 Se f x xn n R então f x n xn1 Exemplo 42 Calcule a derivada das seguintes funções a f x x9 b gx x12 c hx 1 x3 d px 1 x2 e rx 3 x2 f sx x3 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Teorema 43 Se f x ex então f x ex Se f x lnx então f x 1 x Se f x senx então f x cosx Se f x cosx então f x senx Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Reta Tangente A ideia de tangente é conhecido desde os gregos antigos porém de uma forma um tanto que imprecisa Procuramos resolver o seguinte problema Problema 51 Dada uma curva y fx como determinar a reta tangente à curva em um ponto dado Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Reta Tangente A ideia de tangente é conhecido desde os gregos antigos porém de uma forma um tanto que imprecisa Procuramos resolver o seguinte problema Problema 51 Dada uma curva y fx como determinar a reta tangente à curva em um ponto dado Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Reta Tangente Então considere uma função y f x Sabemos que dado um ponto p f p pertencente à reta a equação da mesma é dada da forma y f p mx p Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Problema 52 Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função fx no ponto p fp m y f p x p f x f p x p Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Problema 52 Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função fx no ponto p fp m y f p x p f x f p x p Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Quando o ponto Q se aproxima do ponto P temos que x p Então definimos que a reta tangente ao gráfico da curva f no ponto P é a reta que passa em P e limite das retas secantes Desse modo o coeficiente angular m da reta tangente é m lim xp f x f p x p f p 3 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior A derivada de uma função f em x p é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico f no ponto p f p E isso implica que a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto p f p é y f p f px p Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 51 Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f x x3 no ponto de abscissa x 2 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 52 Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f x 1 x no ponto de abscissa x 2 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 53 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x cosx no ponto de abscissa x π Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra do produto por constante Teorema 61 Seja f uma função derivável e c uma constante real então c f é derivável e c f x c f x Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra do produto por constante Exemplo 61 Calcule a derivada das seguintes funções a f x 3x b f x 1 2x2 c f x 3 lnx d f x 5x7 e f x 4 x3 f f x 6 3x g f x ex h f x 3 cosx i f x 2 senx Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada da função logarítmica Proposição 61 Seja a 0 e a 1 Então f x logax f x 1 x lna Demonstração Para demonstrar essa propriedade relembremos a propriedade de mudança de bases dos logaritmos loga b logc b logc a Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada da função logarítmica Proposição 61 Seja a 0 e a 1 Então f x logax f x 1 x lna Demonstração Para demonstrar essa propriedade relembremos a propriedade de mudança de bases dos logaritmos loga b logc b logc a Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Fx logx Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Inx fx logx x logx 7 Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Inx 1 fx log x Inx Toga PS Int Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Inx 1 fx log x Inx Toga PS Int Logo Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Inx 1 fx log x Inx x logg0 nlx Logo 1 fx Inx 0 ay ine Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Inx 1 Fx IW x logg0 nlx Logo Fx In Into xXj xX xX Ina Ina Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Inx 1 Fx IW x logg0 nlx Logo 1 1 1 1 x Inx Inx ie ns ina nx Ina x Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 000000000000000000 00000000000 Derivada da funcdo logaritmica Logo escrevendo a funcdo f na base e temos que Inx 1 Fx IW x logg0 nlx Logo 1 1 1 1 1 Fx Inx Inx ie ns ina nx Ina x x Ina Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra da Soma Teorema 62 Sejam f e g funções deriváveis então f g é uma função derivável e f gx f x g x Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra da Soma Exemplo 62 Calcule a derivada das seguintes funções a f x x x2 b f x 3x2 6x 1050 c f x 4x4 5x3 6x d f x x4 2x2 logx e f x 1 4x4 1 3x3 1 2x2 f f x senx cosx g f x 30 lnx 1 x h f x 9x 4 senx ex Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra do Produto Teorema 63 Sejam f e g funções deriváveis então f g é derivável e f gx f x gx f x g x Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra do Produto Exemplo 63 Calcule a derivada das seguintes funções a f x x2ex b f x x3 cosx c f x x senx d f x 7xx e f x x2 5x cosx f f x x3 x 4 lnx g f x 5x logx h f x 7x2ex log2x Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivado Derivadas de O 000000000000 0000000000 0000 0000 0000000000000 0000000008000000000 00000000000 Regra do Quociente Teorema 64 f Sejam f e g funcdes derivaveis com g 0 entdo é derivavel e y Hedatd 0069 g lex Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra do Quociente Exemplo 64 Calcule a derivada das seguintes funções a f x x x2 1 b f x ex x3 c f x 2 x2 d f x cosx 2x 1 e f x ex senx f f x lnx x3 2 g f x x2 ex cosx h f x 3x3 cosx Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada de funções trigonométricas tgx senx cosx secx 1 cosx cotgx cosx senx cossecx 1 senx Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada de funções trigonométricas Proposição 62 tgx sec2x secx secx tgx cotgx cossec2x cossecx cossecx cotgx Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Regra da Cadeia Teorema 65 Considere duas funções deriváveis f e g tais que Imf Dg Então a composta g f é derivável e g f x g f x f x ou ainda na notação de Leibniz tomando y f x dg dx dg dy dy dx ROCCO COCO oe CSCO TOOTS eS ea enn SRT OB OUR TOn Soo NCEcoacoSceeeTcoCoCoCeCeS Regra da Cadeia Exemplo 65 Calcule a derivada de cada uma das seguintes funcGdes a Fx x 2x d Fx e g Fx Intgx b Fx Inx e fx sen5x c fx cos3x f Fx cos4x h fx log3x Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada da função exponencial Teorema 66 Seja a 0 a 1 Então se f x ax então f x ax lna Demonstração Note que ax elnax ex lna 4 então pela Regra da Cadeia e por 4 temos que ax ex lna ex lna lna ax lna Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada da função exponencial Teorema 66 Seja a 0 a 1 Então se f x ax então f x ax lna Demonstração Note que ax elnax ex lna 4 então pela Regra da Cadeia e por 4 temos que ax ex lna ex lna lna ax lna Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada da função exponencial Teorema 66 Seja a 0 a 1 Então se f x ax então f x ax lna Demonstração Note que ax elnax ex lna 4 então pela Regra da Cadeia e por 4 temos que ax ex lna ex lna lna ax lna Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Derivada da função exponencial Teorema 66 Seja a 0 a 1 Então se f x ax então f x ax lna Demonstração Note que ax elnax ex lna 4 então pela Regra da Cadeia e por 4 temos que ax ex lna ex lna lna ax lna Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplos Exemplo 66 Determine a velocidade de uma partícula no instante t 2s cuja posição em metros é dada por xt 6t3 2t 1 e t é dado em segundos Exemplo 67 Determine a aceleração de uma partícula no instante t 1s cuja posição em metros é dada por vt 6t cosx e t é dado em segundos Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplos Exemplo 66 Determine a velocidade de uma partícula no instante t 2s cuja posição em metros é dada por xt 6t3 2t 1 e t é dado em segundos Exemplo 67 Determine a aceleração de uma partícula no instante t 1s cuja posição em metros é dada por vt 6t cosx e t é dado em segundos Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplos Exemplo 68 Determine a taxa de divulgação de uma informação no instante t 8 sabendo que para cada t segundos Nt log3x pessoas já tomaram conhecimento desta informação Exemplo 69 Determine o coeficiente da reta tangente ao gráfico de gx 2x 3 x2 5x 1 no ponto de abscissa p 1 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplos Exemplo 610 Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f x x2 senx no ponto de abscissa p π Exemplo 611 Sabendo que uma população de insetos é descrita pela função Pt 8t33t3x onde t é dado em meses determine a taxa de crescimento instantâneo desta população no 5º mês Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplos Exemplo 610 Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f x x2 senx no ponto de abscissa p π Exemplo 611 Sabendo que uma população de insetos é descrita pela função Pt 8t33t3x onde t é dado em meses determine a taxa de crescimento instantâneo desta população no 5º mês Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Segunda Derivada de uma função Seja uma função derivável f Sabemos que podemos encontrar uma função deno tada por f tal que para cada x associamos a derivada de f calculada em x isto é f x Agora se f também for uma função derivável é possível obter uma função que associa cada x à derivada da derivada de f calculada em x Esta derivada da derivada é o que chamamos de segunda derivada da função f Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivaao Derivadas de O OCO000000000 O000000000 0000 o000 lolelelelelelelelejelelelomelelelelelelelelejejejejejejelelelelemele lelelelelelelele Definicao 71 Seja f uma funcdo derivavel cuja funcdo derivada f também é derivavel Entado podemos definir a segunda derivada de f como sendo a fundo que associa cada x D a derivada da derivada de f calculada em x Denotando a segunda derivada de f por f temos que f De R Fxh fx x fx lim FQc h Fed x h0 h Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Observação 71 Quando f admite segunda derivada dizemos que f é derivável até segunda ordem Observação 72 Outra notação para a segunda derivada de uma função além de f é d2f dx2 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Observação 71 Quando f admite segunda derivada dizemos que f é derivável até segunda ordem Observação 72 Outra notação para a segunda derivada de uma função além de f é d2f dx2 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Exemplo 71 Calcule a segunda derivada das seguintes funções a f x x4 5x3 120x b f x exx3 2x2 10 c f x x x2 1 d f x 4x 5 x 1 e f x ex 3x 1 f f x sen3x cos4x g f x 3 x2 h f x ex23x1 Taxa Média de Variacao Taxa Instantanea de Variacdo Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivaao Derivadas de O OOOCO00000000 OO0C0000000 0000 C0000 COOCOOOOOOO0OO DOOOOOOVOOOOOOO00000 DOODOOOO00O Analogamente podemos definir a terceira derivada de uma fundo fx como sendo a derivada da fundo segunda derivada de fx Fx df d df x FS dx dx dx Generalizando podemos definir a derivada de ordem n como sendo a derivada da funcdo derivada de ordem n 1 de fx Desse modo n df d df fx n123 dx dx dxn1 ao Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade e Aceleração Um exemplo de aplicação da segunda derivada de uma função é obter a aceleração de uma partícula por meio de sua função posição Se conhecemos a função posição St de uma partícula temos que a velocidade v da partícula no instante t é a derivada de S no instante t isto é vt St 5 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade e Aceleração Além disso conhecendo a função velocidade de uma partícula podemos determinar a aceleração a da mesma pois a aceleração no instante t é a derivada da velocidade no instante t isto é at v t 6 Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade e Aceleração Combinando 5 e 6 obtemos que at v t St St 7 Logo a aceleração a de uma partícula no instante t é calculada também pela segunda derivada de S no instante t Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade e Aceleração Exemplo 72 Determine a aceleração de uma partícula no instante t 1 sabendo que sua posição é dada pela função St 6t3 2t2 3t 1 onde S é dado em metros e t em segundos Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior Velocidade e Aceleração Exemplo 73 Determine a aceleração de uma partícula no instante t 2 sabendo que sua posição é dada pela função St 1 1 t2 onde S é dado em metros e t em segundos Taxa Média de Variação Taxa Instantânea de Variação Derivada Derivadas Elementares Reta Tangente Regras de Derivação Derivadas de Ordem Superior