Atividade 1-2022 1

1) Julgue as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta (respostas sem justificativas não serão consideradas). a) Seja X uma variável normal padrão, a probabilidade do intervalo de confiança [X̅ − 1.96 * 𝜎/√𝑛 ; X̅ + 1.96 * 𝜎/√𝑛] conter a média amostral é de 95%. b) Se a variância  2 é conhecida, o intervalo de confiança de 95% para a média  será [X  tc , X  tc ], em que s é o desvio padrão da amostra, tc é calculado de forma que P(| t | tc )  0,95, e t segue uma distribuição t de Student com n -1 graus de liberdade. c) Num teste de hipótese: H0 :  0 contra Ha :  0 , se o intervalo de confiança estimado para a média  não contiver o valor de 0 , então deve-se aceitar a hipótese de que   0 . d) Se a amostra aleatória X1, X2 , X3, ....... , Xn não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um intervalo de confiança para a média  , ainda que a amostra seja muito grande. e) Se o p-valor do teste for menor que o nível de significância, α, a hipótese deve ser rejeitada. H0 não f) Mantendo o nível de significância fixo, para diminuir o poder do teste, o estatístico pode aumentar o tamanho da amostra. g) A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a 1. h) Quanto maior o tamanho da amostra, maior será a margem de erro. i) O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando essa é verdadeira. j) A região crítica é sempre construída sob a hipótese de 𝐻0 ser falsa. 2) Embora os cronogramas das empresas aéreas e os custos dos voos sejam importantes fatores para os viajantes a negócios no momento da escolha de uma companhia aérea, uma pesquisa do USA Today revelou que os viajantes a negócios identificam um programa de milhagem como o fator de maior importância. A partir de uma amostra de 𝑛 = 1860 viajantes comerciais que responderam ao estudo, 518 apontaram um programa de milhagem como o aspecto mais significativo. a) Qual é a estimativa pontual da proporção populacional de viajantes comerciais que acreditam que um programa de milhagem é o fator mais importante ao escolher uma companhia aérea? b) Desenvolva uma estimativa intervalar com 95% de confiança para a proporção populacional. c) Qual tamanho amostral seria necessário para relatar a margem de erro de 0,01 com grau de confiança de 95%? Você recomendaria que o USA Today tentasse fornecer esse grau de precisão? Por quê? 3) Os dados abaixo referem-se às vendas diárias em reais, durante uma semana, de carros de uma revendedora. Construa um I.C (𝜎2, 99%). Vendas: 253, 187, 96, 450, 320, 105. 4) A receita média, em porcentagem, dos quase 600 municípios de um estado tem sido 7%. O governo pretende melhorar esse índice e, para isso, está estudando alguns incentivos. Para verificar os efeitos desses incentivos, sorteou 10 cidades e estudou quais seriam as porcentagens investidas neles. Os resultados foram, em porcentagem, 8, 10, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 12, 13. Admitindo-se que esses números realmente venham a ocorrer, os dados trazem evidência de melhoria, ou seja, rejeitamos a hipótese nula? Caso a média do estado seja diferente da estimativa amostral, dê um intervalo de confiança para a média calculada com a amostra. Considere grau de confiança de 95%. a) Verdadeiro IC(μ) = x̄ ± Z * (σ/√n) Z = 1,96 para 95% de confiança b) Falso, se o desvio-padrão populacional (σ) for conhecido, se utiliza a dist. normal. c) Falso, se o IC não contém μo significa que μ ≠ μo, logo se rejeita Ho. d) Falso. Podemos construir o IC, pois o T.C.L garante que a dist. da média amostral é aprox. normal para amostras razoavelmente grandes (n≥30). Para n pequeno podemos utilizar a dist. t-Student. d) Falso. Quando p-valor < α, rejeita-se Ho. f) Falso. Aumenta-se o tamanho da amostra p/ aumentar o poder do teste. g) Falso, não são complementares. h) Falso, menor será a margem de erro. i) Verdadeiro. P(erro tipo I) = P(rejeitar Ho|Ho verdadeira) j) Falso, construída sob Ho verdadeira. 2. a) p̂ = 518/1860 ≈ 0,2785 approx 27,85% b) IC(p) = p̂ ± Z * √(p̂(1-p̂)/n) IC(p) = 0,2785 ± 1,96 * √(0,2785(1-0,2785)/1860) IC(p) = (0,2581; 0,2989) 95% c) n = (Z² * p̂(1-p̂))/E² => n: 1,96² * 0,2785(1-0,2785)/0,05² = 7719,23 => n ≥ 7720 Não recomendaria, pois a amostra precisaria ser muito grande. 3. x̄ = (253 + ... + 105)/6 = 235,1667 s² = 1/5 * [(253-235,1667)² + ... + (105-235,1667)²] s² = 18459,77 IC(σ²) = [(n-1)s²/χ²α/2; (n-1)s²/χ²1-α/2] IC(σ²)99% = [(6-1)*18459,77/56,7496 ; (6-1)*18459,77/0,4117] IC(σ²) = (5510,58 ; 224889,60) 99% 4. n = 10 x̄ = (8 + ... + 13)/10 = 10,8 s² = 1/9 * [(8-10,8)² + ... + (13-10,8)²] = 6,4 Amostra pequena e σ² desconhecida, logo usamos dist. t. Ho: μ ≤ 7 (não houve melhoria) Hi: μ > 7 (houve melhoria) tcalc = (x̄-μ)/√(s²/n) = (10,8-7)/√(6,4/10) = 4,75 ~ t(9) tabela tabela tabela t = 2,833 Como tcalc pertence à região de rejeição de Ho, rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Podemos concluir que houve melhoria. IC(μ) = x̄ ± tα/2 * √(s²/n) IC(μ)95% = 10,8 ± 2,262 √(6,4/10) IC(μ)95% = (8,9904 ; 12,6096) A média é de fato maior que 7.