Exercícios Resolvidos - Demonstração Direta Indução e Contradição

35 ptos Demonstre por demonstração direta e por casos que para todo x Z x³ 2x² 5x 19 é ímpar 35 ptos Demonstre por indução matemática que para todo x 1 2i 12i xx 14x 1 3 para i1 30 ptos Demonstre por contradição que para todo conjunto X Y Z se X Y e X Z então X Y Z 1 Para todo x Z x³ 2x² 5x 19 é ímpar Solução Um número x Z é definido com ímpar se x 2k 1 para algum k Z Todo x Z é escrito como 2k ou 2k 1 para algum k Z Caso 1 Se x 2k então temos x³ 2x² 5x 19 2k³ 22k² 52k 19 8k³ 8k² 10k 18 1 24k³ 4k² 5k 9 1 Como 4k³ 4k² 5k 9 Z temos que para x 2k x³ 2x² 5x 19 é ímpar por definição Caso 2 Se x 2k 1 então temos x³ 2x² 5x 19 2k 1³ 22k 1² 52k 1 19 8k³ 12k² 6k 1 8k² 8k 2 10k 5 19 8k³ 20k² 4k 14 1 24k³ 10k² 2k 7 1 Como 4k³ 10k² 2k 7 Z temos que Para x 2k 1 x³ 2x² 5x 19 é ímpar por definição Logo por definição e demonstrando por casos temos que x³ 2x² 5x 19 é ímpar para todo x Z 2 Mostrem por indução matemática Para todo x 1 2i 12i xx 14x 1 3 para i1 Solução Passo de indução De fato veja que para x 1 temos 2i 12i 2 121 1 2 2 e i1 11 141 1 3 1 2 3 3 2 Logo a propriedade é válida para x 1 Hipótese de Indução Suponha que vale para x ou seja i1x 2i12i xx14x13 daí x1 i1 2i12i i1x 2i12i 2x1 12x1 xx14x13 4x12 2x1 xx14x13 34x12 23x13 x1x4x1 12x1 63 x14x2 x 12x 12 63 x14x2 11x 63 Veja que x24x1 1 x24x 3 4x2 3x 8x 6 4x2 11x 6 Logo i1x1 2i12i x1x114x113 ou seja a propriedade é válida para x1 N Portanto pelo princípio de indução finita sobre x N i1x 2i12i xx14x13 Para todo x N 3 Demonstra por contradição que para todo x Y Z conjuntos com se X Y e X Z então X Y Z Solução Suponha que o enunciado é falso ou seja está existindo X Y e X Z conjuntos tais que X Y Z Se X Y Z então por definição de nãosubconjunto existe K X tal que K Y Z Pela definição de interseção temos que K Y e K Z Logo por definição de nãosubconjunto temos i K X porém K Y logo X Y ii K X porém K Z logo X Z Portanto se X Y Z temos que X Y e X Z e isto é uma contradição com X Y e X Z Logo a suposição que fizemos é falsa e o enunciado é verdadeiro