Teoria dos Conjuntos - Demonstrações Diretas, Contradição e Casos

Demonstre por demonstração direta que para todo conjunto X Y Z X Y Z X Y Z Demonstre por demonstração direta e por casos que para todo conjunto X Y Z se Z X então X Y Z X Y Z Demonstre por contradição que para todo conjunto XYZ se X Y Z então X Y ou X Z Demonstre por prova direta que para todo conjunto X Y Z X Y Z X Y Z Demonstração Seja ω X Y Z Queremos mostrar que ω X Y Z ou seja ω X Y e ω Z ou ainda ω X ω Y e ω Z Se ω X Y Z então ω X e ω Y Z Como ω Y Z segue que ω Y Z pois Y Z Y Z Logo ω X ω Y e ω Z o que implica ω X Y Z Portanto X Y Z X Y Z suponha que ω X Y Z queremos mostrar que ω X Y Z ou seja ω X e ω Y Z Se ω X Y Z então ω X Y e ω Z como ω X Y logo ω X e ω Y Além disso ω Z Assim ω X e ω Y Z Y Z Logo ω X Y Z e portanto X Y Z X Y Z Portanto X Y Z X Y Z Demonstre por prova direta e por casos que para todo conjunto X Y Z se Z X então X Y Z X Y Z Demonstração Sejam X Y Z conjuntos tais que Z X Se ω X Y Z então ω X Y ou ω Z i Se ω X Y então ω X e ω Y Como ω Y segue que ω Y Z logo ω X Y Z Portanto X Y Z X Y Z ii Se ω Z então ω X pois Z X Como ω Z implica ω Y Z Além disso ω X Logo ω X Y Z e portanto X Y Z X Y Z Demonstre por contradição que para todo conjunto X Y Z se X Y Z então X Y ou X Z Demonstração Sejam X Y Z conjuntos tais que X Y Z Suponha por contradição X Y e X Z Então se ω X logo ω Y pois X Y Assim segue ω X Y como X Z temos X Y Z Contradição Pois por hipótese X Y Z Portanto X Y ou X Z