Atividade de Calculo e Equações Diferenciais

Atividade Avaliativa 02 Discursiva Pontuação 100 pontos Considere a função fx y z x y z definida sobre a região sólida B limitada pelo cubo cujas arestas variam de 0 a 1 em cada coordenada B x y z R³ 0 x 1 0 y 1 0 z 1 a Monte a expressão da integral tripla que representa o volume ponderado sob a função fx y z sobre a região B b Resolva a integral tripla e interprete o resultado geométrica ou fisicamente explicando o significado do valor obtido Orientações para a realização desta atividade A atividade deverá ser desenvolvida individualmente Envie um único arquivo em WORD com sua resposta para a correção Utilize o Formulário Padrão para envio de tarefa disponível no recurso Fique Ligado sala de aula Virtual Caso seja identificada cópia de qualquer natureza nos trabalhos os mesmos não serão avaliados a Monte a expressão da integral tripla que representa o volume ponderado sob a função fx y z sobre a região B A região B é definida por B x y z R³ 0 x 1 0 y 1 0 z 1 A função densidade ou função peso é fx y z x y z O volume ponderado é dado pela integral tripla B fx y z dV 01 01 01 x y z dz dy dx b Resolva a integral tripla e interprete o resultado geométrica ou fisicamente explicando o significado do valor obtido Resolução Integrando primeiro em relação a z 01 x y z dz xz yz z²2 01 x y 12 Agora integrando em relação a y 01 x y 12 dy xy y²2 y 01 x 12 12 x 1 Por fim integrando em relação a x 01 x 1 dx x²2 x 01 12 1 32 Portanto B x y z dV 32 Interpretação geométrica ou física O valor 32 representa o momento de massa total do cubo unitário B se a densidade em cada ponto x y z for dada por x y z Geometricamente como a função fx y z é linear e assume valores entre 0 e 3 dentro do cubo a integral calcula a soma acumulada dos valores de f em todos os pontos do cubo Isso pode ser visto como o volume ponderado sob o gráfico de f sobre a região B onde regiões com maior densidade contribuem mais para o valor total No contexto de centro de massa esse resultado seria usado para calcular a massa total do sólido supondo densidade variável x y z