Cálculo III: Funções de Várias Variáveis e Aplicações

Cálculo III 2º semestre 2023 Referências bibliográficas STEWART James Cálculo FLEMING Diva Cálculo B THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo LEITHOLD Louis O cálculo com geometria analítica SIMMONS George F Cálculo com geometria FUNCÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES 1 DEFINIÇÕES Considere o exemplo uma caixa dágua na forma retangular com capacidade para 256 litros sem tampa deve ser construída com chapa de ferro galvanizado de espessura desprezível Como expressar o volume da caixa em função das suas variáveis de forma a podermos calcular a mínima a quantidade de chapa metálica necessária para construíIa A quantidade de chapa metálica necessária para construir a caixa dágua será determinada pela área total Atotal 2xz xy 2yz a cada termo de valores atribuídos a x y e z domínio corresponde um valor da área total imagem Dizemos que a área total Atotal é uma função com três variáveis independentes Mas sabese que xyz 256 litros equação então neste exemplo podemos diminuir o número de variáveis independentes para duas pois z 256 xy Portanto Função é uma correspondência que associa a cada elemento de seu domínio D a exatamente um elemento do seu contradomínio I Equação algébrica é uma igualdade com incógnitas representadas por variáveisx y z que pertencem ao conjunto dos reais Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais x y de um conjunto D um único valor real denotado por fxyO conjunto D é o domínio de f e sua imagem o conjunto de valores possíveis de f ou seja fxy xy D STEWART 2007 Definição fxy Exemplos Como podemos relacionar a temperatura de um lugar qualquer sob a superfície do planeta terra em relação a duas variáveis Como podemos relacionar o Volume de um cilindro em relação a seus parâmetros raio e altura Tfxyflatitude longitude Vr2h Vrhr2h Utilizando notações podese definir uma função de várias variáveis da seguinte forma D Rn I R Portanto uma função de duas variáveis reais D R2 I R 2 Estudo do Domínio Domínio de uma função de duas variáveis fxy é o mais amplo subconjunto de R2 em cujos pontos a função assume valores reais bem definidos Exemplos a Considere a função Há valores para os quais esta função não está definida y x y x f x y Este quociente só não é definido quando x y O isto é quando y x O domínio é pois o conjunto D xyR2 y x Geometricamente D é o conjunto dos pontos do plano xy que não pertencem à reta y x Exercício 1 Determine o domínio de 2 2 9 y x g x y 0 9 2 2 y x 9 2 2 y x 2 Calcule f12 e f24 3 Qual a imagem desta função Tem apenas valores positivos Iniciando de zero O valor máximo da função se dá em xy0 b Considere a função Quais os valores para os quais esta função não está definida 2 2 1 7 y x y x x y f Para que o denominador seja real e não nulo devese ter 1 x2 y2 0 ou x2 y2 1 Sabese da Geometria Analítica que D é D xy R2 x2 y2 1 ou seja um disco aberto de centro na origem e raio 1 Exercícios Estude o domínio das funções e represente graficamente os domínios a b c d xy f x y z 3 ln x y f x y z y y x f x y z 12 3 4 3 2 2 y x y x f x y z xy f x y z representação algébrica D xy R2 x 0 e y 0 ou x 0 e y 0 representação geométrica do domínio o primeiro e o terceiro quadrantes incluindo os eixos a representação algébrica D xy R2 y 3x representação geométrica do domínio b 3 ln x y f x y z representação algébrica D xy R2 x ¾ y 0 representação geométrica do domínio c y y x f x y z 12 3 4 3 representação algébrica D xy R2 xy 00 representação geométrica do domínio d 2 2 y x y x f x y z Exercícios Estude o domínio das funções e represente graficamente os domínios e f g h 9 36 ln 2 2 2 y x xy f x y z v u uv f u v z 2 3 2 2 9 y x y x f x y w 2 2 2 4 z y x z xy f x y z w representação algébrica D xy R2 e diferente de representação geométrica do domínio e 9 36 ln 2 2 2 y x xy f x y z 1 4 36 2 2 y x 1 359 35 2 2 y x 1 359 35 2 2 y x 02 02 representação algébrica D xyz R3 xyz 000 representação geométrica do domínio f 2 2 2 4 z y x z xy f x y z w representação algébrica D uv R2 u2v representação geométrica do domínio g v u uv f u v z 2 representação algébrica D xy R2 x2y2 9 representação geométrica do domínio h 3 2 2 9 y x y x f x y w Representação no Espaço de Equações com apenas 1 ou duas variáveis Independentes Gráfico xyzR3 z2 z2 z y x Gráfico xyzR3 yx xy0 z y x Gráfico xyzR3 zx2 zx2 z y x 2 Esboce o gráfico de z seny no espaço tridimensional Superfícies Planas Fórmula Geral fxy axbyc ou z axbyc Exemplo a Represente graficamente z f xy 6 2x 3y Esta função pode ser escrita na forma 2x 3y z 6 o que corresponde a equação de um plano Sabese que para representar geometricamente um plano são necessários no mínimo três pontos por exemplo se x 0 e y 0 z 6 se x 0 e z 0 y 2 se y 0 e z 0 x 3 Superfícies Planas Fórmula Geral fxy axbyc ou z axbyc Exemplo Traçar o gráfico das funções zxy 4 z3x4y 12 Superfícies Cilíndricas Superfícies gerada movendose uma linha reta geratriz por uma curva fixada diretriz sempre paralelamente a uma outra linha reta fixa y x Na figura ao lado a geratriz é uma reta paralela ao eixoz e a diretriz é uma elipse no plano XY Essa superfície é um cilindro elíptico reto Se ao invés de uma elipse tivéssemos um círculo a superfície seria um cilindro circular reto z Superfícies Cilíndricas x2y24 x y z x y z 2 2 Esboce a superfície zx2 Cilindro parabólico Para esboçar o gráfico das superfícies cilíndricas e quádricas é útil determinar a intersecção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados Essas curvas são denominadas traços ou secções transversais da superfície 31 Superfícies Quádricas Vimos que em duas dimensões o gráfico de qualquer equação do segundo grau x e y Ax2 By2 Cx Dy Exy F 0 é uma seção cônica Em três dimensões o gráfico de uma equação de segundo grau em x y z Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0 é uma superfície quádrica Por simplicidadelimitaremos o estudo ao caso em que os coeficientes D E F H e I são todos iguais a zero Há três tipos de superfícies quádricas elipsóides hiperbolóides e parabolóides Os nomes se devem ao fato de que os traços em planos paralelos aos planos coordenados são em geral elipses hipérboles e parábolas respectivamente Exemplo Represente graficamente z f xy 100 x2 y2 o domínio de f é o plano xy e a imagem de f é o conjunto de números reais menores ou iguais a 100 O gráfico é o parabolóide z 100 x2 y2 uma parte se encontra ilustrada na figura que será apresentada mais tarde A curva de nível fx y 0 é o conjunto de pontos no plano xy nos quais f xy 100 x2 y2 0 ou x2 y2 100 que representa uma circunferência de raio 10 centrada na origem Similarmente as curvas de nível f xy 51 e f xy 75 são as circunferências f xy 100 x2 y2 51 ou x2 y2 49 f xy 100 x2 y2 75 ou x2 y2 25 Finalmente a curva de nível fxy100 nos dá f xy 100 x2 y2 100 ou x2 y2 0 que consiste em um ponto localizado na origem fxy75 A superfície z f x 100 x² y² é o gráfico de f fxy 51 uma curva de nível típica no domínio da função Exemplo Represente graficamente 2 2 1 y x f x y z A superfície gerada é uma semiesfera de centro na origem e raio 1 e Represente graficamente 2 2 y x f x y z a superfície gerada é um parabolóide de revolução Plano Espaço axbyc0 reta axbyczd0 Plano x2y2 r2 circunferência x2y2 z2 r2 Esfera Elipse Elipsoíde Hipérbole Hiperbolóide de uma folha Hiperbolóide de duas folhas yax2 Parábola zax2by2 Parabolóide Elíptico zax2by2 Parabolóide hiperbólico 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x Curvas de Nível Definição As curvas de nível de uma função de duas variáveis são aquelas com a equação fxyk onde k é uma constante Exemplo Trace as curvas de nível para a função z x2y212 1 2 3 Algumas definições importantes Algumas definições importantes Traços O traço de uma superfície sobre um plano coordenado é a curva de interseção da superfície com o plano coordenado Para obter uma curva num dos planos coordenados basta considerar a coordenada não medida neste plano como sendo igual a zero em fxyz Na figura abaixo temos o traço da superfície no plano coordenado xz Algumas definições importantes Seções transversais seções formadas pela interseção da superfície em estudo com planos perpendiculares aos eixos coordenados ou a eixos de simetria Normalmente é estudado pelo deslocamento do traço em relação ao eixo que foi anulado Interseções pontos nos eixos xyz que interceptam a superfície Exemplo Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação 1 4 9 2 2 2 z y x Para z0 Traços 1 9 2 2 y x Para y0 1 4 2 2 z x Para x0 1 4 9 2 2 z y 1 3 y x 1 2 z x 2 3 y z 002 Elipsóide a00 Hiperbolóide de uma folha x²a² y²b² z²c² 1 Hiperbolóide de duas folhas fracx2a2 fracy2b2 fracz2c2 1 São seis tipos não degenerados das superfícies quádricas z2 fracx2a2 fracy2b2 Os traços do plano xy é um ponto a origem e os traços em planos paralelos ao plano xy não elipses Os traços yz e xy são pares de retas que se interceptam na origem Os traços em planos paralelos a estes são hipérboles fracx2a2 fracy2b2 fracz2c2 1 O traço no plano xy é uma elipse como são os traços nos planos paralelos ao plano xy Os traços nos planos yz e xz são hipérboles bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos interceptos x e y Nestes interceptos os traços são pares de retas concorrentes PARABOLÓIDE ELÍPTICO z fracx2a2 fracy2b2 O traços em plano xy é um ponto a origem e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses Os traços nos planos xy e xz bem como em planos paralelos a eles são parábolas HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS fracz2c2 fracx2a2 fracy2b2 1 Não há traço no plano xy Em planos paralelos ao plano xy que interceptam a superfície em mais do que um ponto os traços são elipses Nos planos yz xz e nos planos paralelos a eles os traços são hipérboles PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO z fracy2b2 fracx2a2 O traço no plano xy é um par de retas que cruzam na origem Os traços em planos paralelos ao plano xy são hipérboles As hipérboles acima do plano xy abremse na direção y e as abaixo na direção x Os traços nos planos yz e xz são parábolas assim como os traços nos planos paralelos a estes fracx2a2 fracy2b2 fracz2c2 1 fracy2b2 fracz2c2 1 fracx2a2 fracy2b2 0 fracz2a2 fracy2b2 0 fracz2b2 fracx2a2 0 fracz2a2 fracx2b2 0 Exercícios Identificar e desenhar o gráfico 4x26y29z236 4x2 36 6y2 36 9z2 36 36 36 x2 9 y2 6 z2 4 1 Hiperbolóide de uma folha z0 x2 9 y2 6 1 x0 y2 6 z2 4 1 y0 x2 9 z2 4 1 Limites Funções de uma variável para verificarmos um limite de xa temos que nos aproximar deste ponto pela direita e pela esquerda e se os resultados convergirem temos um valor para o lim a x Ex fx 2x2 para todo x diferente de 0 e 6 para x0 lim 0 x fx 2x2 para todo x 0 e x2 para x0 lim 0 x Verificar a existência de limite para a função 1 1 lim 1 x x x y x Limites Funções de duas variáveis seja uma função f de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de ab Dizemos que o limite de fxy é L e escrevemos desde que o valor de fxy tenda a L quando xy tenda a ab sobre todos os caminhos que estão no domínio de f lim lim a b y x b y a x L x y f a b y x lim Limites se para todo o número 0 existe um número correspondente 0 tal que se xyD e 0 então fxy L a b y x lim 2 2 b y a x b a delta f L epsilon L epsilon Propriedades Se limxy o P fx y L e limxy o P gx y M então a limxy o P f g L M b limxy o P f g L M c limxy o P f cdot g L cdot M d limxy o P k cdot f k cdot L onde k in mathbbR e limxy o P leftfracfgright fracLM ext com M eq 0 Existência de Limites Para o cálculo de limites de funções polinomiais e funções lineares é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo Para funções racionais quando ocorre indeterminação ao fazer este procedimento devese então usar a regra dos caminhos yz x x yz xy xyz yz x z y x 2 2 3 3 1 2 2 2 7 5 lim 1 106 1 2 2 1 2 2 222 1 227 1 2 25 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0 lim 2 3 3 3 3 00 y x y x y x 0 lim 2 2 00 y x y xy y x x y x Calcule os limites Há casos em que o limite de uma função de duas variáveis não existe então nesta situação para mostrar que o limite não existe utilizamos conjuntos particulares convenientes caminhos dados geralmente por curvas que passem em ab Se para dois caminhos diferentes para um mesmo ponto P resulta em dois limites diferentes ou em um dos caminhos o limite não existe então esse tal limite não existe Inexistência de Limites Exemplo Calcule o limite da função a ao longo da trajetória x 0 b ao longo da trajetória y 0 c ao longo da trajetória y x Qual sua conclusão 2 2 lim0 0 y x xy x y Continuidade de Funções de Várias Variáveis O conceito de continuidade de uma função fxy é o mesmo já descrito para funções ordinárias Assim dizse que uma função fxy é contínua em xoyo se limxyab fxy existe e é igual à fab Continuidade de Funções de Várias Variáveis Uma função polinomial de 2 variáveis é uma soma de termos que assume a forma cxmyn onde c é uma constante e m e n são números inteiros não negativos Uma função racional é um quociente de polinômios Todos os polinômios são contínuos em R2 e toda a função racional é contínua no seu domínio Exemplo A função é contínua 2 2 2 2 y x y x f x y Descontínua em xy0 Derivadas Parciais Definição Seja z fxy uma função de duas variáveis reais a derivada parcial de fxy em relação a x no ponto ab designada por é a derivada dessa função em relação a x aplicada no ponto ab mantendose y constante Analogamente a derivada em relação a y aplicada no ponto ab designada por mantém x constante x a b f y a b f x a b f y a b f Exemplo 1 Calcule as derivadas parciais da função fxy yx4 xy2 2 3 4 y yx x f xy x y f 4 2 Exercícios a Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função z f xy x3 y2 sen2x Exercícios b Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função z f xy 4xy3 x2y em 11 c Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função 2 2 2 2 x y y x w d Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função 2 2 1 y x w Interpretação geométrica Sob a ótica geométrica a obtenção das derivadas parciais se dá na intersecção da curva com o plano de y ou de x já que uma das variáveis se mantém constante enquanto calculase a derivada da outra Manter x ou y constante significa interceptar a superfície definida pelo gráfico de f com o plano x x0 ou y y0 fxy y As tangentes às duas curvas C1 z fx y0 e C2 z fx0 y em P são em geral duas retas concorrentes em P as quais determinam um plano que se diz plano tangente à superfície definida pela função z fx yAs inclinações destas duas retas são as derivadas parciais da função no ponto x0y0 Exercício Determinar a derivada parcial de primeira ordem da função em função de x no ponto 11 e explique seu significado 5 4 3 2 3 x y y x w 3 2 3 xy x w 1 11 x w Taxa de variação da função w em relação a x no ponto 11 A inclinação da reta tangente à curva que é o corte do plano y1 sobre a superfície w3x4yx2y35 no ponto 11 é igual a 1 Derivadas Parciais de ordens superiores Calculamse as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funções já derivadas Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente a partir de uma outra com uma ordem a menos Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função fxy 2x3e5y Temos que x e y x x y f 6 2 5 x e y y x y f 10 3 5 Portanto a segunda derivada em relação a x é E a segunda derivada em relação a y é x e y x y x f 5 2 2 12 x e y x y y f 5 3 2 2 50 Derivadas Puras Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y calculada agora em relação a x E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x calculada agora em relação a y y y x e x e x y x y x f 5 2 5 3 2 30 10 y y x e x e y x x y y f 5 2 5 2 2 30 6 Derivadas mistas Revisão do conceito de diferencial para função de uma variável Linha tangente tagαdydx Para uma função de uma variável definimos a variável dx como uma variável independente A diferencial de y é definida por Para uma função de duas variáveis zfxy definimos as variáveis dx e dy como variáveis independentes então dz também chamada de diferencial total é definida por x dx f dy y dy z x dx z f dy f dx dz y x Exercício se zx23xyy2 determine a diferencial total y dy z x dx z f dy f dx dz y x y dy x y dx x dz 2 3 3 2 Exercício Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 e 25 cm respectivamente com possível erro máximo de 01cm Utilize a diferencial para estimar o erro máximo h dh v r dr v dv dh r rh dr dv 3 3 2 2 r2h 3 v 20 10 3 100 10 3 500 dv Fazendo r10 h25e drdh01 Para uma função de várias variáveis wfxyz a diferencial dw é definida em termos das diferenciais dxdy e dz z dz w y dy w x dx w dw Se temos uma outra curva C que esteja contida na superfície S e que passe pelo ponto P então sua tangente no ponto P também pertence ao plano tangente assim podemos pensar no plano tangente como o plano que contém todas as tangentes a curvas de S que passam pelo ponto P Plano tangente C1 C2 P A equação de um plano que passa por um ponto qualquer x0y0z0 possui a forma Plano tangente C1 C2 P 0 0 0 0 z C z y B y x A x Dividindose esta equação por C e fazendo aAC e bBC temse Plano tangente 0 0 0 0 z C z y B y x x A 0 0 0 y b y x a x z z Interseção do plano tangente com plano yy0 0 0 x a x z z Que representa a equação de uma reta que sabemos que x x0 y0 f a Sendo assim se f tem derivadas parciais contínuas o plano tangente a superfície zfxy no ponto x0y0z0 pode ser dado como 0 0 0 0 0 0 0 y y y x f x x y x f z z y x Já a equação da reta normal ao plano tangente pode ser dada como z f z z y f y y x f x x 0 0 0 Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico zfxy2x2y2 no ponto 113 0 0 0 0 0 0 0 y y y x f x x y x f z z y x 4 11 4 0 0 x x f x y x f 1 2 1 4 3 y x z 2 11 2 0 0 y y f y y x f 3 2 4 y x z Aproximação linear 3 2 4 y x z Podemos aproximar valores da função utilizandose do plano tangente Assim no exemplo anterior a função é uma boa aproximação de fxy2x2y2 quando um ponto xyestá próximo de 11 Dizemos que L 4x2y3 é linearização de f xyem 11 Dizemos também que fxy 4x2y3 é uma Aproximação Linear ou Aproximação pelo Plano Tangente de f em 11 xy z 2x2y2 z 4x2y3 11 3 3 11 11 363 360 12 12 432 420 13 13 507 480 2 2 12 9 3 3 27 15 Derivadas Direcionais Quando abordamos as derivadas parciais em funções de duas variáveis tínhamos Estas derivadas representam a taxas de variação de z fxynas direções x e y A dotando a terminologia de vetores podemos dizer que elas representam a variação de z nas direções dos versores e b a Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de z no ponto x0 y0na direção de um vetor arbitrário para tal tomaremos uso seu versor vetor unitário que tem a mesma direção e sentido do vetor original Se f é uma função diferenciável em x e y então sua derivada direcional no ponto x0y0na direção de qualquer versor ucd é d y x f c y x f y f x D y x u 0 0 0 0 0 0 Exemplo Ache a derivada direcional de f no ponto 12 na direção do vetor u 43 sendo fxy x3y2 Solução determinamos inicialmente o versor do vetor u O versor de qualquer módulo é encontrado dividindose o vetor pelo seu módulo 5 3 4 2 2 u u j i j i de u versor 5 3 5 4 5 3 4 3 2 2 x y f x x y f y 2 3 12 1 2 3 2 2 0 0 y x f x 4 1 2 2 3 0 0 y x f y d y x f c y x f y f x D y x u 0 0 0 0 0 0 12 5 12 5 48 5 3 4 5 12 4 1 2 Du f Vetor Gradiente Observando a equação da derivada direcional podemos notar que a mesma pode ser escrita pelo produto de dois vetores sendo um deles o versor que determina a direção O primeiro vetor neste produto escalar aparece não somente na derivada direcional mas também em várias outras situações e é denominado vetor gradiente possuindo a notação grad f ou f u y x f y x f y f x D y x u 0 0 0 0 Se f é uma função de duas variáveis x e y o gradiente de f é a função vetorial f dada por Desta forma podemos reescrever a expressão para derivadas direcionais como x y j f x y i f f x y f x y f f y x y x u y f x y Du f x 0 0 0 0 Expandindo nosso conceito para funções de três variáveis u z y f x z y Du f x 0 0 0 0 0 0 VALORES MÁXIMOS DA DERIVADA DIRECIONAL Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis o valor máximo da sua derivada direcional será dado por este valor máximo ocorre quando o versor u tem a mesma direção de do gradiente Seja a função determine a taxa de variação no ponto 40 na direção 43 Determine a direção em que tem a taxa de variação máxima e determine seu valor Para resolvermos este exemplo temos que inicialmente calcular o vetor gradiente e o versor na direção O gradiente pode ser calculado como Da direção podemos retirar a informação do versor u que é Sendo assim a taxa de variação de f na direção é dada pelo produto escalar Para o cálculo da direção do valor máximo da derivada direcional devemos recordar que ele acontece na direção do gradiente e a sua máxima taxa de variação é Integral Dupla Revisão de integral definida Seja fx definida entre axb subdividimos o intervalo em n subintervalos de coordenadas xn1 xn de comprimento igual a ban e escolhemos pontos arbitrários xn em cada um dos subintervalos Xn Xn Temos que a integral definida b a f x dx Representa a área sobre a curva yfx de a até b Exemplo calcule a região limitada pelas curvas y x2 e yx 1 0 0 1 0 2 2 2 1 x x x x x x x x y y ua x x dx x x 6 1 3 2 3 2 2 1 0 Integral dupla De maneira análoga consideremos uma função de duas variáveis definida em um intervalo fechado zxy D R2 Calcular o volume do sólido cuja base inferior é R e a cobertura é zfxy Dividimos R em pequenos elementos de área S Formamos a soma A f x y V i n i i 1 R n i i y x f x y dxdy x y f x y V lim 1 0 0 Volume do sólido delimitado inferiormente pela região de domínio R lateralmente pelo cilindro gerado por retas paralelas a z aparadas no contorno da região de domínio e superiormente pela calota da superfície fxy no interior do cilindro 1 CASO R é um retângulo Ex Calcular a integral dupla abaixo onde RxyR2 0 x 1 e 0 y 2 13 12 12 2 8 4 2 4 4 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 2 0 2 1 0 2 0 x x dx x dx x dx y y xy dydx y x dxdy y x R 4 2 dydx y x dxdy y x 4 2 4 2 1 0 2 0 2 0 1 0 x0 y0 z4 x1 y0 z5 x1 y2 z9 x0 y2 z8 x y z Integrais Iteradas ou teorema de Fubini f x y dx dy f x y dy dx x y dA f d c b a R b a d c Exercícios Calcule a integral abaixo no intervalo RxyR2 0 x 3 e 1 y 2 R xdA xy x dxdy xy 2 1 3 0 4 9 2 9 2 2 9 2 9 2 9 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 0 2 2 y y dy y dy x x y Exercícios Calcule a integral abaixo no intervalo RxyR2 1 x 4 e 1 y 2 R x dA x 6 2 2 dxdy x x 6 2 2 1 4 1 2 423 141 3 16 128 2 6 3 2 2 2 1 2 1 2 1 4 1 3 2 2 1 4 1 3 2 y dy dy x x dy x x 2 CASO R é uma região qualquer do plano Região de domínio Tipo 1 ou tipo Rx se a região de domínio está contida entre o gráfico de duas funções contínuas em x ou seja 2 1 x g y b g x x x y a R Tipo 2 ou tipo Ry se a região de domínio está contida entre o gráfico de duas funções contínuas emy ou seja 2 1 h y x d h y y x y c R Exemplo Determine o tipo da região de domínio que pertence ao plano xy que está delimitada pelos gráficos yx2 e y2x x 02 y 04 Tipo 1 f x y dydx x y dA f b a x g x g D 2 1 Tipo 2 f x y dxdy x y dA f d c y h y h D 1 2 Seja R a região limitada pelas funções y x12 e y2 3x 18 e y0 Se F é uma função contínua arbitrária em R expresse a integral dupla na forma Interseções 9 3 00 e 60 Se considerássemos uma função tipo 1 teríamos problemas em definir a fronteira inferior de y Este problema é solucionado se adotarmos uma região tipo II onde 6 3 3 0 2 2 y x y y x y D R f x y dA 60 00 93 Assim f x y dxdy x y dA f y y D 3 0 3 6 2 2 Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z x2 y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y 2x e pela parábola y x2 2xx2 x22x0 x0 x2 D xy 0 x 2 x2 y 2x Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z x2 y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y 2x e pela parábola y x2 2xx2 x22x0 x0 x2 D xy 0 x 2 x2 y 2x Calcule xydA onde D é a região limitada pela reta y x 1 e pela parábola y2 2x 6 1 5 0 5 4 6 2 1 2 2 2 x x x x x x x D xy 3 x 5 y 2x 6 A fronteira inferior de y é constituída por mais de uma curva 2 1 4 5 0 5 4 6 2 1 2 2 2 y x y x x x x x x D xy 2 y 4 1 2 6 2 y x y y x 1 y2 2x 6 2 to 4 y²6 to 2 xy dx dy 4 2 to 4 x²2 y1 to y62 dy 4 2 to 4 y³3 2y² y y⁵2 12y³ 36 dy 12 2 to 4 y⁵ 16y³ 8y² 32y dy 18 y⁶6 4y⁴ 8y³3 16y² 2 to 4 18 20483 1024 512 256 323 643 64 36 Calcule a integral dupla abaixo onde R é a região limitada pelas parábolas y 2x2 e y 1 x2 R y dA x 2 Interseções x210 x 1 xy 1 leq x leq 1 2x2 y 1 x2 int11 left 3x4 x3 2x2 x 1 rightdx Ex Calcular a integral dupla abaixo onde R é a região limitada por y0 x1 e yx dA x senx D X1 yx y0 x y X1 yx y0 x y Região de integração 0 x 1 e 0 y x ou y x 1 e 0 y 1 0 45 cos0 1 cos 1 0 0 1 0 1 0 0 senxdx dx y x senx dydx x senx x x 0 x 1 e 0 y x Ex Calcular a integral dupla abaixo onde R é a região limitada por yx x0 e y1 dA x senx D Ex Calcular a integral da função zx34y onde R é a região limitada por yx2 y2x Aplicações A Cálculo de área Temos nesta integral que z f x y 1 e resolvendo esta integral para uma região retangular ou seja x y R abc d cada termo da soma de Riemann de f x y sobre R é Exercício Calcule a área da região de domínio limitada pelas curvas y x3 e y 4x no 1º quadrante Á𝑟𝑒𝑎 𝑅 𝑅 1𝑑𝐴 b Interpretação como valor médio O valor médio de uma função f x y numa região R pode ser calculado por Calcule o valor médio da função fxy xyx na região RxyR2 0 x 3 e 1 y 2 Porém a área do retângulo é 3021 3 Sendo assim c Massa de uma lâmina com densidade variável O cálculo da massa de uma placa fina ou lâmina com densidade constante pode ser feito utilizandose as integrais unidimensionais Quando temos densidades variáveis precisamos lançar mão de outras ferramentas as integrais duplas Suponha que uma lâmina ocupe uma região do plano xy e que sua densidade lembrando que densidade massavolume no ponto xy e dada pela função xy sendo esta função contínua na região de domínio D Sendo assim d Momento e centro de massa de partículas com densidade variável O momento de uma partícula em relação a um eixo é dado como o produto de sua massa pela distância perpendicular ao eixo Aproveitando a definição de massa dada no item c temos que apenas acionar apenas a distância aos eixos Assim o momento de um elemento de área em relação ao eixo x será dado pela equação Assim temos que o momento total da partícula em relação ao eixo x será dado pela integral De forma semelhante o momento total da partícula em relação ao eixo y será dado pela Já o centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e função de densidade que é a coordenada do ponto P no qual esta lâmina se equilibra horizontalmente pode ser encontrado através das equações frac3215 Coordenadas Polares e Retangulares Plano Cartesiano ou Sistema de coordenadas retangulares Sistema de coordenadas polares Uma semireta que une a origem ao ponto com distância O ponto M fica determinado por Medimos a distância orientada do ponto O origem da semireta ao ponto M Chamaremos esta distância de ρ ro dOM ρ Medimos o ângulo θ positivo no sentido antihorário formado a partir do eixo OX até o segmento OM O ponto M fica bem determinado no plano pelo par ordenado θρ Este par ordenado faz parte do sistema de Coordenadas Polares Elementos x y rsen y r x cos r Conversão Polar Cartesiano r r r r r r Conversão Cartesiano Polar Conversão para coordenadas polares 0 2 2 2 y y x 0 2 2 rsen r rsen r 2 2 sen r 2 Exercício Escrever as equações algébricas abaixo em equações com coordenadas polares 3 xy 2 2 2 2 2 y x y x Lembretes senabsenacosbsenbcosa sen2a 2senacosa cosabcosacosbsenasenb 3 xy 6 2 6 cos 2 2 3 cos 3 cos 2 2 2 sen r sen r x sen r rsen r 2 2 2 2 2 y x y x 2 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 4 r sen r rsen r r Gráficos de coordenadas polares Exemplo Função r6 Exemplo Função θ π4 Exemplo Função r r 0 0 052 6 079 4 104 3 157 2 209 23 68 136 Exemplo Função r31cos r 6 54 51 45 3 15 09 04 0 6 4 3 2 23 34 56 r 0 04 09 15 3 45 51 54 6 76 54 43 32 53 74 116 2 sen cos 0 0 1 6 0500 0866 4 0707 0707 3 0866 05 2 1 0 Função r31cosθ Cardióides r 1cos r 1cos r 1sen r 1sen Integrais Duplas em Coordenadas Polares Quando temos regiões de domínio como os exemplos abaixo temos que sua descrição é complicada em coordenadas cartesianas com isso o uso de coordenadas polares é bastante útil x2y21 x2y24 2 1 x g y b g x x x y a R X2y21 X2y21 2 01 0 r r R x2y24 x2y21 02 1 r r R 2 1 2 2 1 2 2 1 r r A r1 r2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 r r r r A r r A m dA rdrd Calcule a integral dupla abaixo usando coordenadas polares dydx y x x 32 2 2 4 0 2 0 2 2 02 0 r r R 2 4 0 2 0 x y x 2 2 rdrd r 3 2 2 2 0 2 0 rdrd r 3 2 2 2 0 2 0 r drd r rdrd 4 2 0 2 0 3 2 0 2 0 10 32 5 32 5 32 5 2 0 2 0 2 0 5 2 0 d d r Calcule o volume limitado no 1 octante por z4x2y2 r rdrd 4 2 2 0 2 0 2 02 0 r r R 2 4 0 2 0 x y x 2 2 R dA y x 4 2 2 Para z0 04x2y2 y2x24 2 4 x drd r r rdrd r 4 4 3 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 4 4 2 2 0 2 0 4 2 2 0 d d r r Calcule a integral dupla abaixo onde R é a região no semiplano superior limitado pelos círculos x2 y2 1 e x2 y2 4 R dA y x 4 3 2 X2y24 X2y21 02 1 r r R R rdrd r sen r 4 3 cos 2 2 0 2 2 2 1 4 3 cos rdrd r sen r 0 2 3 2 2 1 4 cos 3 drd r sen r 0 2 1 2 4 3 cos d r sen r 0 2 15 7cos d sen 0 cos2 2 1 15 7cos d 2 15 2 4 15 2 15 7 0 sen sen Exercício Escrever a integral dupla abaixo em coordenadas polares y dA x R 2 2 33 45 0 cos 3 3 cos r r rrdrd cos 3 0 4 0 Calcule a integral por meio de coordenadas polares de x2y232 sendo R limitada pelo círculo x2y24 rdrd r 32 2 2 0 2 0 2 02 0 r r R 2 5 64 5 32 5 2 0 2 0 5 2 0 4 2 0 2 0 d d r drd r Calcule o volume limitado pelo plano z0 e pelo parabolóide z1x2y2 r rdrd 1 2 1 0 2 0 2 01 0 r r R 1 Para z0 01x2y2 y2x21 A interseção do parabolóide com o plano z0 é um círculo d raio 1 r rdrd 1 2 1 0 2 0 drd r r 3 1 0 2 0 2 4 1 4 2 2 0 1 0 4 2 2 0 d d r r Usando integrais duplas em coordenadas polares calcular o volume do sólido abaixo da superfície z 16 x2 y2 no primeiro octante Usando integrais duplas em coordenadas polares calcular o volume do sólido que fica acima do plano xy dentro do cilindro x2 y2 1 e abaixo do paraboloide z 1 x2 y2 Usando integrais duplas em coordenadas polares calcular o volume do sólido que fica acima do plano xy dentro do cilindro x2 y2 9 e abaixo do paraboloide z 3 x2 y2 Integrais Triplas Assim como definimos integrais duplas para funções de duas variáveis podemos definir integrais triplas para funções de três variáveis 1 Caso a região de integração é definida por uma caixa retangular f x y z dxdydz x y z dV f b a d c f e R Exemplo Calcule a integral tripla onde dxdydz xyz2 1 0 2 1 3 0 dV xyz R 2 3 02 1 1 0 z y x x y z R dydz x yz dxdydz xyz 1 0 2 2 2 1 3 0 2 1 0 2 1 3 0 2 dydz y z dydz yz 2 1 2 2 3 0 2 2 1 3 0 4 2 1 4 27 4 4 3 3 0 3 2 3 0 z dz z 2 Caso a região de integração é definida por uma região limitada genérica E Tipo 1 a região de integração está contida entre os gráficos de duas funções contínuas em x e y E xyzxyD h1xyz h2xy x y z dV f G x y z dz dxdy f x y h x y h R 2 1 x y z dz dydx f x y h x y h R 2 1 Tipo 2 a região de integração está contida entre os gráficos de duas funções contínuas em y e z E xyzyzD q1yzx q2yz x y z dV f G x y z dx dydz f y z q y z q R 2 1 x y z dx dzdy f y z q y z q R 2 1 Tipo 3 a região de integração está contida entre os gráficos de duas funções contínuas em x e z E xyzxzD p1xzy p2xz x y z dV f G x y z dy dxdz f x z p x z p R 2 1 x y z dy dzdx f x z p x z p R 2 1 Determine os limites de integração para calcular a integral tripla de uma função Fx y z sobre o tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos z 0 y x z e y 1 Calcule o valor do volume do tetraedro Em y x z temse que z 0 y x V G Fxyz dV 01 0yx Fxyz dz dy dx Projeção do sólido no plano yz Projeção do sólido no plano xz Exercícios Calcule a integral tripla abaixo onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x0 y0 e z0 e por xyz1 001 010 100 z y x y x 1 1 1 0 1 01 0 y x z x y x x y z E y1x E zdV 1 0 1 01 0 y x z x y x x y z E zdzdydx zdV x y x E 1 0 1 0 1 0 dydx z zdV x y x E 1 0 2 1 0 1 0 2 dydx y x zdV x E 2 1 2 1 0 1 0 dydx y x zdV x E 2 1 2 1 0 1 0 dx y x zdV x E 1 0 3 1 0 3 1 2 1 24 1 4 1 6 1 3 1 2 1 1 0 4 3 1 0 x dx x zdV E 𝑧𝑑𝑉 1 2 0 1 0 1𝑥 1𝑥𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 Solução 2 001 010 100 z y x z y 1 1 1 0 1 01 0 z y x y z y x y z E z1y Solução 3 001 010 100 z y x z x 1 1 1 0 1 01 0 z x y x z x x y z E z1x Exercícios Ache o volume do sólido delimitado pela parábola yx2 e pelos planos yz4 e z0 4 04 2 2 2 y z y x x x y z E y E dV z x 4 4 x 4 2 y 2 dzdydx dV y x E 4 0 4 2 2 2 17 25615 10 3 4 8 2 4 8 2 4 4 2 2 5 3 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 0 4 2 2 2 2 2 x x x x dx x dx y y ydydx dydx z x x y x 4 0 4 2 2 2 y z x y x x x y z E Exercícios Ache o volume do sólido delimitado pela parábola xy2 e pelos planos xz x1 e z0 01 1 1 2 x z x y y x y z E y E dV z x 1 y 1 1 x 1 dzdxdy dV x y E 0 1 1 1 2 10 8 10 1 2 1 10 1 2 1 10 2 1 2 2 1 2 1 1 5 4 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 y y dy y dy x xdxdy dxdy z y y x y 01 1 1 2 x z x y y x y z E dzdxdy dV x y E 0 1 1 1 2 Coordenadas cilíndricas Em um sistema de coordenadas cilíndricas um ponto P no espaço tridimensional é representado pela coordenada tripla rz onde r são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy a P r x y z Prz x Pr0 Conversão de Coordenadas Cilíndricas Retangulares Para converter de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas usamos as equações cos x r s y r en z z Para converter de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas utilizamos as equações 2 2 2 r x y z z x arctag y Exercícios a Marque o ponto com coordenadas cilíndricas 2 23 1 rz e encontre suas coordenadas cartesianas r2 23 x y z Prz z1 xr cos 2 cos 231 yr sen 2 sen23312 z1 b Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas cartesianas 337 z7 3 2 3 3 2 2 2 2 y x r n arctag 2 4 7 3 3 c Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é rr0 d Descreva as superfícies cujas equações são em coordenadas cilíndricas são 0 zcte e rr0 0 d Escreva a equação em coordenadas retangulares e esboce seu gráfico z4r2 r4sen z4r² r4sen rr4senr r24rsen x2 y2 4y x2 y2 4y 0 x2 y2 4y4 4 x2 y 22 4 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas P r θ z R1 r R2 1 θ 2 Z1 z Z2 dVrdrddz Exercício Calcule a integral tripla dzd dr r r 3 2 0 2 0 2 5 16 5 64 16 5 2 5 2 4 2 2 2 2 2 2 0 5 4 2 0 5 4 4 3 2 0 2 0 4 3 2 0 4 3 2 0 2 0 2 3 2 0 2 0 r r r r dr r r dr r r r d dr r r z d dr r Exercício Calcule o volume do sólido contido em um cilindro x2y21 limitado na parte superior pelo plano z4 e inferiormente pela parabolóide z1x2y2 4 2 1 01 0 2 z r r x y z E E E rdrd dz dV r2 1 cilindro 1 r2 z parabolóide 4 14 4 7 4 2 3 3 1 4 2 0 4 2 2 0 3 1 0 2 0 2 1 0 2 0 4 1 1 0 2 0 2 d d r r r drd r drd r r r drd rz r rdzdrd dV r E 4 1 1 0 2 0 2 Exercício Calcule o volume da esfera x2y2z2a2 usando coordenadas cilíndricas Dica faça a integral da metade da esfera e multiplique por dois 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r a z r a z r a z a z r 2 0 0 a r rdzdrd rdzdrd dV r a a E E 2 2 0 0 2 0 3 2 3 1 3 1 3 1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 3 2 0 0 2 32 2 2 0 0 2 3 2 0 0 32 2 0 0 2 0 0 2 0 2 2 2 2 0 2 0 0 0 2 0 2 2 a d a d r a d u d u udud d r u du r rdr du r a u r drd r a drd rz a a a a a a r a a Esta é metade da esfera com isso 3 4 a3 V Exercícios Calcule o volume do sólido delimitado por z x2y212 e pelo plano z2 2 2 02 0 z r r x y z E Em coordenada cilindricas a equação é zr y x z y x x dr rdzd r 2 2 0 2 0 2 2 02 0 z r r x y z E 3 8 3 16 8 3 2 2 3 2 2 4 2 4 2 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 r r r r r dr r dr r r r d dr r rz r d dr θ π3 empty Coordenadas esféricas Em um sistema de coordenadas esféricas um ponto P no espaço tridimensional é representado pela coordenada tripla onde é a distância da origem a P é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas ângulo da projeção de P no plano xy e é o ângulo entre o eixo z positivo e segmento de reta 0P x y z P x Pr0 0 0 2 0 Conversão de Coordenadas Esféricas Retangulares P x y z O P x y z x y P 0 x y r z Do triângulo retângulo temos OPP Q cos z cos z sen r sen r Conversão de Coordenadas Esféricas Retangulares P x y z O P x y z x y P 0 x y r z Q Do triângulo retângulo obtemos QOP cos x r cos x r sen y r sen y r sen cos x sen sen y Para converter de coordenadas esféricas para coordenadas retangulares usamos cos z 2 2 OP 5 2 2 2 x y z Para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas usamos cos z sen x r x cos Identificar os gráficos das seguintes equações em coordenadas esféricas 3 3 4 ρ 3 ϕ π4 c π4 Converta as coordenadas esféricas 4 4 3 em coordenadas cartesianas 2 2 3 4 3 4 2 2 3 3 cos 4 4 cos 2 4cos 3 cos sen sen sen sen y sen sen x z Converta as coordenadas cartesianas 2 2 em coordenadas esféricas 2 2 4 4 8 4 2 2 2 2 z y x 3 2 1 2 4 2 cos z rad sen x 095 3 3 3 1 2 3 4 2 cos Integrais em coordenadas esféricas sen d d d dV 2 Exemplo Calcular onde B é a esfera BxyzR3x2y2z21 dxdydz e B z x y 2 3 2 2 2 Temos 01 0 0 2 sen d d d e 3 2 sen d d d e 2 1 0 2 0 0 3 d d e sen d d sen e o 1 3 1 3 1 2 0 0 1 2 0 0 3 d e sen 1 3 2 0 1 3 4 1 cos 3 2 e e o Exercício Escreva os limites de integração para o cálculo do o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera x2y2z2z utilizando coordenadas esféricas e calcule o volume do sólido 2 2 y x z Quando x e y são 0 zero a esfera tem z2z zz10 z0 origem e z1 topo A equação da esfera em coordenadas esféricas é cos cos 2 sen sen sen sen 2 2 2 2 2 2 cos cos A equação do cone em coordenadas esféricas é Ou seja sen cos 4 tg 1 Com isso os limites de integração são cos 0 4 0 2 0 d d sen d d d sen cos 0 3 4 0 2 0 2 cos 0 4 0 2 0 3 8 12 cos 3 cos 4 0 4 2 0 3 4 0 2 0 d d d sen 4 4 3 4 0 3 4 0 3 4 0 cos 12 1 12 1 3 1 3 cos 3 cos u du u sen du sen u sen d du u d sen 4 4 3 4 0 3 4 0 3 4 0 cos 12 1 12 1 3 1 3 cos 3 cos u du u sen du sen u sen d du u d sen Exercício Escreva os limites de integração para o cálculo do volume do sólido limitado pelos cones e e pelo plano z3 utilizando coordenadas esféricas e calcule o volume do sólido 2 2 y x z 3 2 2 y x z sen sen sen sen 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 tg 2 2 y x z 3 2 2 y x z 3 cos 3 cos 2 2 2 2 2 2 sen sen sen sen 3 1 tg 4 6 z3 zcos Com isso os limites de integração são 3 cos 0 4 6 2 0 d d sen d d d sen cos 3 0 3 4 6 2 0 2 cos 3 0 4 6 2 0 3 sen du d sen d du u d d sen cos cos 9 3 4 6 2 0 6 2 4 3 1 2 1 1 2 9 6 4 cos 2 9 9 2 2 0 3 4 6 2 0 x x d dud u Funções vetoriais As funções vetoriais são funções cujo domínio é um conjunto de números reais e a imagem é um conjunto de vetores Seja rt uma função vetorial cujos vetores são tridimensionais Isto implica que para cada valor de t pertencente ao domínio de rt existe apenas um vetor V3 denotado por rt Se ft gt e ht são as componentes de rt então fge h são chamadas funções componentes de r rt ft gt ht fti gtj htk Exemplo Seja então as funções componentes são e As expressões destas componentes estão definidas para 1 ln4 2 t t t t r 2 t f t ln4 t g t 1 t t h 4t0 t4 t10 t1 1t4 Este intervalo é o domínio da função rt que constitui todos os valores de t para os quais a expressão rt está definida Exercício Seja determine o domínio de rt 6 5 ln 4 t t t r t Limite das Funções vetoriais Os limites das funções vetoriais são definidos tomandose os limites das funções componentes desde que os limites destas funções existam lim lim lim lim h t g t f t t r a t a t a t a t Exemplo Seja calcule te t t r t 1 2 lim 0 t r t lim lim lim lim 0 0 0 0 h t g t f t t r t t t t 2 1 t f t t g t te h t 1 lim 0 t f t 0 lim 0 t g t 1 lim 0 t h t k i t r a t 101 lim Para o conceito de continuidade das funções vetoriais temos uma definição bem próxima daquela dada para as funções de valores reais Uma função vetorial é contínua em t k se Isto equivale a dizer que a função vetorial rt é contínua num ponto t k se suas componentes escalares ft gt e ht também forem contínuas nesse mesmo ponto Curvas espaciais Se traçarmos uma curva que obedeça ao movimento da ponta do vetor rt no espaço quando t varia em seu domínio teremos uma curva espacial Cada componente do vetor rt pode ser representado da seguinte maneira Equações 1 a 3 Equação 1 Equação 2 Equação 3 Estas equações são denominadas equações paramétricas da curva espacial O desenho destas curvas é uma tarefa mais difícil que o desenho das curvas planas Por isso é que se recomenda o uso de ferramentas gráficas para obtêlas Derivadas das Funções Vetoriais As derivadas das funções vetoriais são definidas da mesma forma que as funções reais desde que o limite funções exista h r t h r t r t dt dr h lim 0 Se rt ft gt ht fti gtj htk onde fg eh são funções diferenciáveis então rt ft gt ht fti gtj htk Exercícios Seja calcule rt Seja calcule rt t e t t r t cos 1 2 t k t i r t 2 3 1 Regras de derivação Sejam vt e wt funções vetoriais diferenciáveis k um escalar e gt uma função escalar derivável Então as fórmulas de abaixo podem ser empregadas produto escalar produto vetorial Derivadas Direcionais Quando abordamos as derivadas parciais em funções de duas variáveis tínhamos Estas derivadas representam a taxas de variação de z fxynas direções x e y A dotando a terminologia de vetores podemos dizer que elas representam a variação de z nas direções dos versores e i k b a Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de z no ponto x0 y0na direção de um vetor arbitrário para tal tomaremos uso seu versor vetor unitário que tem a mesma direção e sentido do vetor original Se f é uma função diferenciável em x e y então sua derivada direcional no ponto x0y0na direção de qualquer versor ucd é d y x f c y x f y f x D y x u 0 0 0 0 0 0 Exemplo Ache a derivada direcional de f no ponto 12 na direção do vetor u 43 sendo fxy x3y2 Solução determinamos inicialmente o versor do vetor u O versor de qualquer módulo é encontrado dividindose o vetor pelo seu módulo 5 3 4 2 2 u u j i j i de u versor 5 3 5 4 5 3 4 3 2 2 x y f x x y f y 2 3 12 1 2 3 2 2 0 0 y x f x 4 1 2 2 3 0 0 y x f y d y x f c y x f y f x D y x u 0 0 0 0 0 0 12 5 12 5 48 5 3 4 5 12 4 1 2 Du f Vetor Gradiente Observando a equação da derivada direcional podemos notar que a mesma pode ser escrita pelo produto de dois vetores sendo um deles o versor que determina a direção O primeiro vetor neste produto escalar aparece não somente na derivada direcional mas também em várias outras situações e é denominado vetor gradiente possuindo a notação grad f ou f u y x f y x f y f x D y x u 0 0 0 0 Se f é uma função de duas variáveis x e y o gradiente de f é a função vetorial f dada por Desta forma podemos reescrever a expressão para derivadas direcionais como x y j f x y i f f x y f x y f f y x y x u y f x y Du f x 0 0 0 0 Expandindo nosso conceito para funções de três variáveis u z y f x z y Du f x 0 0 0 0 0 0 Integrais de funções vetoriais A integral das funções vetoriais segue definição análoga à das funções com valores reais ou seja podemos dizer que uma função Rt é uma primitiva de uma função rt se dRtdt rt onde w é um vetor constante vetor cujas componentes sejam constantes 𝒓 𝑡 𝒓 𝑡𝑡 2𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 Determine a integral de onde Determine a integral definida Solução Conforme a fórmula 13 CAMPOS VETORIAIS Se tivermos uma região na qual a cada um de seus pontos Q está associado um vetor F denominamos o conjunto de todos os vetores F de campo vetorial Um exemplo destes campos é o campo elétrico onde a cada ponto de uma região está associado um vetor força de natureza elétrica Se a região for um plano no qual Fxy é o vetor associado ao ponto Qxy temos a seguinte expressão que define o campo vetorial Fxy Mxyi Nxyj na qual Mxy e Nxy são funções reais das duas variáveis x e y Observe que um campo vetorial é em última instância uma função vetorial Descreva o campo vetorial F se Fxy yi xj Para representarmos graficamente o campo vetorial desenhamos o vetor Fxy com origem no ponto xy Por exemplo desenhamos o vetor i começando no ponto 01 e com isso a sua extremidade será 11 xy Fxy xy Fxy 01 i 02 2i 10 j 20 2j 10 J 20 2j 01 i 02 2i GRADIENTE DIVERGENTE E ROTACIONAL Vamos introduzir o operador diferencial del Quando este operador é aplicado em funções escalares do tipo fxyz ele produz o gradiente desta função grad f Quando o operador del é aplicado em funções vetoriais campos vetoriais do tipo Fxyz realizando o produto escalar ele produz escalares números chamados cada um deles de divergente ou divergência desta função no ponto em que for calculado Para indicar o divergente da função F escrevemos divF ou Para calcular divF é só efetuar o produto escalar Agora se aplicarmos este mesmo operador em um campo vetorial realizando o produto vetorial estaremos produzindo em cada ponto do domínio do campo um novo vetor chamado rotacional e portanto estaremos produzindo um novo campo vetorial Este novo campo vetorial denominado Campo Rotacional de Fxy denotaremos por rotF ou F Para calcular rotF é só efetuar o produto vetorial F Dado encontre F eF INTEGRAIS DE LINHA Você já foi apresentado às integrais definidas de uma função Fx sobre um intervalo fechado no eixo x Estas integrais podem ser utilizadas para o cálculo de áreas de lâminas massa dessas lâminas e para o cálculo do trabalho realizado por uma força atuando na mesma direção do eixo x As integrais de linha têm aplicações semelhantes só que agora a área a massa ou o trabalho são calculados não mais na direção do eixo x mas na direção de uma curva genérica que pode estar situada tanto no plano como no espaço descrita por uma função vetorial 𝐶 𝐹 𝑥 𝑦𝑧 𝑑𝑠 𝐶 𝐹 Calcule sobre o segmento de reta C dado por rt titjtk no intervalo de 0 a 1 Solução Observando a equação rt titjtk temos ft gt ht t Sendo assim ft gt ht 1 Cada produto nos dá um elemento de área do cilindro que possui diretriz C e altura fxy Assim se a curva C for uma curva no plano xy e fxy for contínua e não negativa em C então a integral de linha será a área da superfície cilíndrica desde o plano até a altura fxy