Integrais Triplas - Guia Completo com Exercícios Resolvidos e Aplicações

Integrais triplas integrais para funções de três variáveis Caso a região de integração é definida por uma caixa retangular fxyz dv x determine os limites da integração para calcular a integral dupla de uma função fxyz sobre o tetraedro o primeiro octante limitado pelos planos z0 yxz e yz Calcule o volume do tetraedro g x 0 x y 0 y 1 v₀¹₀ʸ₀ᵍ fxyz dz dy dx ou ₀¹₀ˣˣʸ fxyz dz dy dx ₀ˣy2ˣ yx dy dz dx y2ˣx y dx ₀¹ ½x x²2 x² dx ₀¹ ½x x2 x² x² dx ½ x x²2 x³3 x³3 ½ 11 16 13 33126 16 μv calcule a integral tripla onde C é o tetraedro sólido delimitado pelos seguintes planos x0 y0 z0 e 001 n y1x 0 x 1 0 y 1x 0 z 1xy ₀¹₀¹ˣ₀ʸ z dz dy dx ₀¹ˣ z²2₀ʸ dy dx ₀¹ˣ 1xy² dy dx ½ ₀¹ˣ 1xy³3 dy ½₀¹ x 1xy³3 dx 1xx³5x² 3x y dy dx 16₀¹ x³ 3x² 2x 1 dy dx 16 x⁴4 x³ x²₀¹ 124 Coordenada cilíndrica Em um sistema de coordenadas cilíndricas um ponto P no espaço tridimensional é representado pelas coordenadas tupas rθz de rθ são as coordenadas polares do espaço P no plano xy e z é a distância entre o ponto do plano xy e P a marque o ponto com as coordenadas cilíndricas λ π3 1 λ¹ 0 2 b encontre as coordenadas cilíndricas do ponto Pr θ 0 2 λ n cos θ 3 cos π3 32 1 y σ sen θ 2 sen 2π3 3½ z 1 u l² r² du 2rdr dr du2r 02 θ 2π3 n 2 z 7 λ x²y² 5² 7² 33 θ arctg75 17π30 2π Ex Calcule o volume da esfera x² y² z² o² usando coordenadas cilíndricas Loca faço a integral da metade da esfera e depois multiplico por 2 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas Pr θ 2 R₁ r R₃ 0 θ θ₃ z₁ z z₃ dv rdr dθ dz x calule o volume do sólido contido em um cilindro rx 3y² limitado na parte superior pelo plano z 4 e inferiormente pela parábola z 1 x²2 1 xyz 0 r 1 0 θ π 1r² z 4 ₀² ₀ᶾ 1r² r dz dθ dr ₀² ₀ᶾ rz₁¹r² dθ dr ₀² ₀ᶾ r 4 1 r² dθ dr ₀² ₀ᶾ r 3r² dθ dr r 1 círculo z 1 n² parábola 0 0 2 0 0 r² 0 1 r² ₀¹ r dz rdr dθ ₀ᶾ ₁² n² r² dθ dr 3 r 1n² ₀ᶾ ₀¹ r n³ dr ₀ᶾ 3rⁿ r⁰ dθ 6π n 2π n³ ₀ᶾ 6π n 7π n³ dr 6π n²5 2π nλ4 6π2 2π4 1 πxxt 14x4 4 4