Distribuição Amostral dos Estimadores - Aula 14

z EXEMPLOS DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES AULA 14 Exemplo 1 Seja X N8026 em que 80 é a média de ligações atendidas semanalmente Dessa população retiramos uma amostra de n25 operadores de telemarketing a Calcular a probabilidade de encontrarmos mais de 83 ligações atendidas Solução Queremos Pˉx 83 1 Da população sabemos que μ80 σ²26 e σ 26 510 2 Da amostra temos que μˉx μ 80σˉx² σ²n 2625σˉx 2625 102 Logo a média amostral ˉx tem distribuição normal com média 80 e variância 2625 3 Z ˉx μˉx σˉx 83 80102 294 Então Pˉx 83 PZ 294 PZ 0 P0 Z 294 Pˉx 83 PZ 294 05 0498359 0001641 ou seja a probabilidade de encontrarmos operadores que atendem mais de 83 ligações é de 01641 b Calcule Pˉx 82 Solução Z ˉx μˉxσˉx 82 80102 196 Pˉx 82 PZ 196 PZ 0 P0 Z 196 Pˉx 82 PZ 196 05 0475002 0975002 A probabilidade de encontrarmos um operador que atenda menos de 82 ligações é de 975 c Calcule Pμ 2σˉx ˉx μ 2σˉx Solução Pμ 2σˉx ˉx μ 2σˉx P80 2102 ˉx 80 2102 P7796 ˉx 8204 P 7796 80102 Z 8204 80102 P2 Z 2 2 P0 Z 2 0477250 2 0954500 P95 x 105 PX 12128 PX 1200 15 P1200 15 X 1200 15 P1185 X 1215 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Dimensionamento de uma amostra Exemplo 4 Seja X N1200 840 em que 1200 é a média de quilos que um carreto transporta Qual deverá ser o tamanho de uma amostra de tal forma que o carreto transporte mais de 1196kg a menos de 1204kg sendo que a probabilidade deste fato ocorrer é de 90 Solução P1196 x 1204 090 1 Da população μ1200 e σ²840 2 Da amostra μ 1200 σ² σ²n 840n σ 840n DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Dimensionamento de uma amostra 164 1204 1200840n 164 840n 4 n 164 8404 Elevando ao quadrado em ambos os lados temos n 164² 84016 Resolvendo os cálculos obtémse n 14113 logo Devemos ter 142 elementos na amostra DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Exemplo 5 Uma empresa recebe em média trimestralmente 100 currículos com um desvio padrão de 10 currículos Qual a quantidade de pessoas amostra a empresa deve recrutar para analisar os currículos uma vez que provavelmente há 95 de certeza que a mesma receba mais de 90 e menos de 110 currículos em um trimestre Solução 1 Da população μ100 e σ10 2 Da amostra μ 100 σ 102n P90 x 110 095 n 095 z 0475 P0 Z Zcrit 0475 Zcrit 196 10n 196 10 n 38416 n 4 Caso especial Se a população for finita e de tamanho N conhecido e se a amostra de tamanho n dela retirada for sem reposição então Para a Variância σ²ₓ σ²n N nN 1 Para o Desvio Padrão σₓ σn N nN 1 Exemplo 6 Seja uma população de 5000 alunos de uma faculdade Sabese que a altura média dos alunos é de 175 cm e o desvio padrão de 5 cm Retirase uma amostra sem reposição de tamanho n100 Calcule a média das médias amostrais μₓ e o desvio padrão da média amostral σₓ Solução Dados N 5000 μ 175 σ 5 n 100 Exemplo 7 Suponha que as estaturas dos 4500 estudantes do sexo masculino de uma universidade tenha média de 1725 cm e desvio padrão de 78 cm 80 amostras aleatórias cada uma com 50 estudantes do sexo masculino são selecionadas sem reposição a Achar a média e o desvio padrão da média de cada amostra Solução População N 4500 μ 1725 σ 78 μₓ μ 1725 Para a amostra temos σₓ σn N nN 1 7850 4500 504500 1 109706 b Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando a população de 4500 alunos de tal forma que P1695 X 1755 095 Solução z 0952 0475 P0 Z Zcrit 0475 Zcrit 196 196 1755 1725782n 4500 n4500 1 196 3784499 4500 nn 196 784499 4500 nn 3 4500 nn 3 449915288 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES 4500n n 34499 15288 4500n n 4499 5096 4500n n 4499 50962 4500 n 1732435819n 4500 1732435819n n 4500 1742435819n n 4500 1742435819 n 26 elementos na amostra DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Exemplo 8 Considere X uma população normal com média igual a 1200 e a variância igual a 400 Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando uma população de 25000 objetos de tal forma que P1194 X 1206 090 Solução z 090 2 045 Zcrit 164 164 1206 1200 400 n 164 1206 1200 400 n 25000n 250001 164 1206 1200 400 25000n n 24999 164400 25000n n 6 Isolando os termos onde tem o n 25000n n 624999 328 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Continuando 25000n n 624999 328 25000n n 324999 164 25000n n 3224999 1642 25000 n 8365221395n 25000 8365221395n n 25000 8375221594289n n 25000 8375221594289 298856 O tamanho da amostra deverá ser de 30 elementos FIM