Equivalencia de Capitais - Juros Compostos e Data Focal

1 EQUIVALÊNCIA DA CAPITAIS CAPÍTULO 4 Nas operações financeiras de um modo geral antecipar ou de prorrogar títulos substituir um título por outro ou por vários outros substituir vários títulos por um único ou por vários São operações que se referem a comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes considerandose uma dada taxa de juros Na prática estas comparações são feitas utilizandose o critério de juros compostos 1 DEFINIÇÕES 11 DATA FOCAL Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes A data focal também é chamada data de avaliação ou data de referência Exemplo Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de 1500000 que vencerá em dois anos Além disto possui 2000000 hoje que irá aplicar à taxa de 2 am durante dois anos Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje ou seja a taxa de juros vigente no mercado é de 2 am perguntase a Quanto possui hoje b Quanto possuirá daqui a um ano c Quanto possuirá daqui a dois anos Resolução Representemos o problema graficamente Sejam x quantia que possui na data zero y quantia que possuirá na data 12 meses z quantia que possuirá na data 24 meses Temos então a Hoje 𝑿 𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟐𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟗 𝟑𝟐𝟓 𝟖𝟐 𝟐𝟗 𝟑𝟐𝟓 𝟖𝟐 b Daqui a 1 ano 𝒀 𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟐𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟑𝟔𝟒 𝟖𝟒 𝟏𝟏 𝟖𝟐𝟕 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝟏𝟗𝟐 𝟐𝟒 c Daqui a 2 anos 𝒁 𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟐𝟐𝟒 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟖 𝟕𝟒 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟕 𝟏𝟔𝟖 𝟕𝟒 2 Assim à taxa considerada podemos dizer que a pessoa possui hoje 2932582 Ela possuirá 3719224 daqui a 1 ano e 4716874 daqui a 2 anos 12 EQUAÇÃO DE VALOR A equação de valor permite que sejam igualados capitais diferentes referidos a datas diferentes para uma mesma data focal desde que seja fixada uma certa taxa de juros Em outras palavras a equação de valor pode ser obtida igualandose em uma data focal as somas dos valores atuais eou montantes dos compromissos que formam a alternativa em análise Exemplo As expressões de primeiro grau em x y e z são equações de valor Assim o valor y 3719224 calculado na data focal 12 é composto de duas parcelas 2536484 que é o montante de 2000000 à taxa de juros compostos de 2 am e 1182740 que é o valor atual ou valor presente de 1500000 à taxa de juros compostos de 2 am O valor z 4716874 foi obtido através de uma equação de valor com a qual passamos diretamente da data focal 0 para a data 24 Podemos pensar em uma nova equação de valor em que usemos o valor y 3719224 referido à data focal 12 e daí passemos à data focal 24 Nestas condições temos 𝒛 𝟑𝟕 𝟏𝟗𝟐 𝟐𝟒 𝟏 𝟎𝟐𝟏𝟐 𝒛 𝟒𝟕 𝟏𝟔𝟖 𝟕𝟒 Podemos concluir que usando a taxa de juros compostos a que se referem as aplicações de capital as equações de valor z e z dão resultados iguais Logo a solução deste problema de comparação de capitais no regime de juros compostos não depende da data focal considerada Esta propriedade não é válida para o regime de juros simples Esta é uma das grandes vantagens do regime de juros compostos pois nos permite garantir que uma comparação feita em uma dada data focal permanece válida em qualquer outra data focal CAPITAIS EQUIVALENTES dois ou mais capitais com datas de vencimento determinadas são equivalentes quando levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros tiverem valores iguais Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento Capital Data de vencimento C1 1 C2 2 C3 3 Cn n 3 Adotandose uma taxa de juros i estes capitais serão equivalentes na data focal 0 se 𝑉 𝐶1 1 𝑖1 𝐶2 1 𝑖2 𝐶3 1 𝑖3 𝐶𝑛 1 𝑖𝑛 Indicamos os valores por V já que estes são valores atuais à taxa de juros i na data focal 0 Exemplo Consideremos os valores nominais seguintes Capital Data de vencimento anos 110000 1 121000 2 133100 3 146410 4 161051 5 Admitindose uma taxa de juros compostos de 10 aa verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero Resolução Calculemos os valores atuais na data zero 𝑉1 𝐶1 1 𝑖1 110000 1101 100000 𝑉2 𝐶2 1 𝑖2 121000 1102 100000 𝑉3 𝐶3 1 𝑖3 133100 1103 100000 𝑉4 𝐶4 1 𝑖4 146410 1104 100000 𝑉5 𝐶5 1 𝑖5 161051 1105 100000 Logo podemos concluir que V1 V2 V3 V4 V5 Veja em outra data focal 4 3 VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS Suponhamos que uma pessoa tenha uma carteira de aplicações em títulos de renda fixa com datas de vencimento diferentes Esta carteira de valores nominais é um conjunto de capitais O conjunto pode ser caracterizado pelo valor nominal do título e por sua data de vencimento Capital Data de vencimento C1 1 C2 2 C3 3 Cn n Qual o valor da carteira Ou seja qual o valor do conjunto de capitais numa determinada data data focal 0 por exemplo dado uma certa taxa de juros 𝑉 𝐶1 1 𝑖1 𝐶2 1 𝑖2 𝐶3 1 𝑖3 𝐶𝑛 1 𝑖𝑛 O total obtido V é o valor atual do conjunto de capitais na data zero É o valor atual desta carteira é quanto a carteira vale Ou seja dado um custo de oportunidade de capital a taxa de juros vigente no mercado e uma data de comparação podemos dizer que o valor atual naquela data mede o valor da carteira Exemplo Considere o conjunto de capitais a seguir aplicado a taxa de juros de 3 am Capital Data de vencimento Mês 100000 6 200000 12 500000 15 𝑉 100000 1036 200000 10312 500000 10315 V 83748 140276 320931 V 544955 544955 é o valor da carteira na data zero à taxa de 3 am 5 Vejamos o que ocorre em outra data focal por exemplo a data 10 A representação gráfica é a seguinte O valor 𝑉 100000 1034 200000 1032 500000 1035 V 112551 1885 19 431304 V 732374 Então 732374 é o valor da carteira na data 10 à taxa de 3 am Observe que ao capitalizar o valor atual da data zero à data 10 à taxa de 3 am obtemos V 544955 10310 732374 que é o valor que já tínhamos obtido diretamente Este resultado permitenos concluir que quando se usa taxa de juros compostos uma vez obtido o valor atual de um conjunto de capitais carteira numa dada data focal para passar para outra data basta fazer a capitalização ou desconto à taxa de juros usada CONJUNTOS EQUIVALENTES DE CAPITAIS Sejam dados a taxa de juros i e dois conjuntos de valores nominais com seus respectivos prazos contados a partir da mesma data de origem 1º Conjunto 2º Conjunto Capital Data de vencimento Capital Data de vencimento C1 m1 C1 m1 C2 m2 C2 m2 C3 m3 C3 m3 Cn mn Cn mn Dizse que os dois conjuntos são equivalentes quando fixada uma data focal e uma taxa de juros os valores atuais dos dois conjuntos forem iguais Deste modo para a taxa i na data zero os conjuntos dados serão equivalentes se 𝐶1 1 𝑖𝑚1 𝐶2 1 𝑖𝑚2 𝐶𝑛 1 𝑖𝑚𝑛 𝐶1 1 𝑖𝑚1 𝐶2 1 𝑖𝑚2 𝐶𝑛 1 𝑖𝑚𝑛 6 Exemplo Verificar se os conjuntos de valores nominais referidos à data zero são equivalentes à taxa de juros de 10 aa 1º Conjunto 2º Conjunto Capital Data de vencimento Capital Data de vencimento 110000 1º ano 220000 1º ano 242000 2º ano 121000 2º ano 199650 3º ano 66550 3º ano 73205 4º ano 219615 4º ano Resolução Para fazer a comparação dos valores atuais à taxa dada escolhemos a data focal zero a 1 º conjunto de capitais 𝑉1 110000 111 242000 112 199650 113 73205 114 V1 100000 200000 150000 50000 V1 500000 b 2º conjunto de capitais 𝑉2 220000 111 121000 112 66550 113 219615 114 V2 200000 100000 50000 150000 V2 500000 Como V1 V2 concluímos que à taxa de 10 aa os dois conjuntos são equivalentes Vejamos agora se a equivalência permanece em uma outra data focal Para fazer esta comparação vamos escolher por exemplo o 4º ano a 1 º conjunto de capitais 𝑉1 110000 113 242000112 199650 111 73205110 V1 146410 292820 219615 73205 V1 732050 b 2º conjunto de capitais 𝑉2 220000 113 221000112 66550 111 219615110 V2 292820 146410 73205 219615 V2 732050 Logo temos que V1 V2 e os dois conjuntos também são equivalentes na data 4 Veja que 𝑉1 𝑉1 1 𝑖4 7 Ou seja 𝑉1 500000 114 732050 Podemos concluir que verificada a equivalência em uma determinada data a mesma permanece válida em outra data qualquer