Matemática Financeira - Anuidade e Empréstimos - 600 Exercícios Resolvidos

1 MATHIAS Washington Franco GOMES José Maria Matemática Financeira Com de 600 exercícios resolvidos e propostos 6 ed São Paulo Atlas 2010 ANUIDADES E EMPRÉSTIMOS Capítulo 5 Rendas Certas ou Anuidades Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos Quando o objetivo é constituirse um capital em uma data futura temse um processo de capitalização Caso contrário quando se quer pagar uma dívida temse um processo de amortização Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso sem que haja amortização que é o caso dos aluguéis Estes exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades que podem ser basicamente de dois tipos a Rendas certas ou determinísticas São aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados não dependendo de condições externas Os diversos parâmetros como o valor dos termos prazo de duração taxa de juros etc são fixos e imutáveis Tais tipos de renda são estudados pela Matemática Financeira b Rendas aleatórias ou probabilísticas Os valores eou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias É o que ocorre por exemplo com os seguros de vida os valores de pagamentos mensalidades são certos sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data de recebimento Rendas com essas características são estudadas pela Matemática Atuarial Neste texto serão abordadas apenas as rendas certas ou anuidades sob o regime de juros compostos a menos que explicitado o contrário Operase em juros compostos porque este regime de juros retrata melhor a realidade e porque as fórmulas são mais fáceis de manejar encontrando se tabelados seus coeficientes 1 Definições Seja a série seguinte de capitais referidos às suas respectivas datas que por sua vez são referidos a uma dada data focal R1 n1 R2 n2 Rm nm Estes capitais que podem ser pagamentos ou recebimentos referidos a uma dada taxa de juros i caracterizam uma anuidade ou renda certa Os valores que constituem a renda são os termos da mesma O intervalo de tempo entre dois termos chamase período e a soma dos períodos define a duração da anuidade 2 O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos soma esta feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros De modo análogo o montante de uma anuidade é a soma dos montantes de seus termos considerada uma dada taxa de juros e uma data focal 2 Classificação das anuidades 21 Quanto ao prazo a Temporárias quando a duração for limitada b Perpétuas quando a duração for ilimitada 22 Quanto ao valor dos termos a Constante se todos os termos são iguais b Variável se os termos não são iguais entre si 23 Quanto à forma de pagamento ou de recebimento a Imediatas quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período Postecipadas ou vencidas Se os termos são exigíveis no fim dos períodos Antecipadas Se os termos são exigíveis no início dos períodos b Diferidas se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período Postecipadas ou vencidas se os termos são exigíveis no fim dos períodos Antecipadas se os termos são exigíveis no início dos períodos 24 Quanto à periodicidade a Periódicas se todos os períodos são iguais b Nãoperiódicas se os períodos não são iguais entre si 25 Quadroresumo 3 Modelo básico de anuidade 31 Introdução Por modelo básico de anuidade entendemos as anuidades que são simultaneamente temporárias constantes imediatas e postecipadas periódicas 3 E que a taxa de juros i seja referida ao mesmo período dos termos Para a melhor compreensão do modelo básico de anuidade suponhamos um exemplo João compra um carro que irá pagar em 4 prestações mensais de 262624 sem entrada As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2 am Perguntase o preço do carro a vista Resolução O preço do carro a vista corresponde à soma dos valores atuais das prestações na data focal zero calculados à taxa de 2 a m A soma dos valores atuais P é dada por 𝑷 𝑅1 1021 𝑅2 1022 𝑅3 1023 𝑅4 1024 Porém dado que R1 R2 R3 R4 Temse 𝑃 𝑅 1021 𝑅 1022 𝑅 1023 𝑅 1024 𝑃 𝑅 1 102 1 1022 1 1023 1 1024 𝑃 𝑅0980392 0961169 0942322 0923845 𝑃 𝑅3807728 Como 𝑅 262624 temse 𝑃 262624 3807728 1000000 Concluímos que o preço do carro a vista é de 1000000 Observese que este valor foi obtido multiplicandose a prestação dada por uma constante numérica que depende do número de períodos e da taxa de juros adotada De modo inverso se tivermos o preço do carro a vista calculandose esta constante poderemos obter o valor da prestação Para tanto bastará fazerse a divisão do valor a vista pelo valor da constante 32 Valor atual do modelo básico Seja um principal P a ser pago em n termos iguais a R imediatos postecipados e periódicos Seja também uma taxa de juros i referida ao mesmo período dos termos A representação gráfica do modelo é a seguinte 4 A soma do valor atual dos termos na data zero é dada por 𝑃 𝑅 1 𝑖1 𝑅 1 𝑖2 𝑅 1 𝑖3 𝑅 1 𝑖𝑛 Ou colocandose R em evidência 𝑃 𝑅 1 1 𝑖1 1 1 𝑖2 1 1 𝑖3 1 1 𝑖𝑛 Colocandose a soma entre colchetes como sendo 𝑎𝑛𝑖 1 1 𝑖1 1 1 𝑖2 1 1 𝑖3 1 1 𝑖𝑛 Temos 𝑎𝑛𝑖 lêse a n cantoneira i ou simplesmente 𝑎𝑖 𝑛 𝒂𝒊 𝒏 𝟏 𝟏 𝒊𝒏 𝒊 A fórmula mais usual para o 𝒂𝒊 𝒏 é obtida multiplicandose o numerador e o denominador da expressão anterior por 1 in 𝒂𝒊 𝒏 𝟏 𝒊𝒏 𝟏 𝒊 𝟏 𝒊𝒏 Esta fórmula encontrase tabelada para diversos valores de í ou de n nos diversos livros de Matemática Financeira A fórmula do valor atual do modelo básico é 𝑷 𝑹 𝒂𝒏 𝒊 Por outro lado sendo fornecido o principal P a taxa de juros i e o número de períodos n o valor da prestação ou termo constante da anuidade R é dado por 𝑹 𝑷 𝒂𝒏 𝒊 Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Seja o exemplo já resolvido na Introdução item 31 Resolução 𝒂𝒏 𝒊 𝟏 𝒊𝒏 𝟏 𝒊 𝟏 𝒊𝒏 Onde 5 n 4 m i 2 am 𝒂𝒏 𝒊 𝟏 𝟎𝟐𝟒 𝟏 𝟏 𝟎𝟐𝟒 𝟎 𝟎𝟐 𝟑 𝟖𝟎𝟕𝟕𝟐𝟗 Portanto como 𝑹 𝟐 𝟔𝟐𝟔 𝟐𝟒 𝑷 𝟐 𝟔𝟐𝟔 𝟐𝟒 𝟑 𝟖𝟎𝟕𝟕𝟐𝟗 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 Exemplo 2 Um televisor em cores custa 500000 a vista mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3 am Calcular a prestação a ser paga pelo comprador Resolução 𝑹 𝑷 𝒂𝒏 𝒊 Onde P 500000 n 10 meses i 3 am Procurando numa tabela ou calculando diretamente temse 𝒂𝟏𝟎 𝟑 𝟏 𝟎𝟑𝟏𝟎 𝟏 𝟏 𝟎𝟑𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟑 𝟖 𝟓𝟑𝟎𝟐𝟎𝟑 Portanto o comprador deverá pagar uma prestação mensal de 58615 por 10 meses Exemplo 3 Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas seguintes condições 150000 de entrada e 3 prestações mensais iguais de 122548 Sabendose que o juro cobrado nas lojas de som é de 25 am calcular o preço a vista Resolução Chamando a entrada de E e as prestações de R temos 𝑃 𝐸 𝑅𝑎325 Onde E 150000 R 122548 𝑎3 25 2856024 Logo 𝑃 150000 122548 2856024 6 𝑃 150000 350000 500000 Portanto o preço a vista nas condições dadas é de 500000 33 Montante do modelo básico Seja um processo de capitalização em que são aplicadas parcelas iguais a R periódicas e postecipadas a uma taxa de juros i referida ao mesmo período dos termos O problema é determinar o montante S na data focal n que resulta deste processo de capitalização A representação gráfica deste modelo é a seguinte O montante S é o resultado da soma dos montantes de cada um dos termos à taxa de juros i na data focal n Vamos admitir que estejamos fazendo esta soma a partir do termo de nésima ordem ou seja o último termo e até o termo de 1ª ordem que é o primeiro termo 𝑆 𝑅 𝑅1 𝑖1 𝑅1 𝑖2 𝑅1 𝑖𝑛1 Colocandose o R em evidência 𝑆 𝑅1 1 𝑖1 1 𝑖2 1 𝑖𝑛1 Seja a seguinte notação para o valor da soma entre colchetes 𝑠𝑛 𝑖 1 1 𝑖1 1 𝑖2 1 𝑖3 1 𝑖𝑛1 𝑆 𝑅 𝑠𝑛 𝑖 𝑠𝑛 𝑖 lêse s n cantoneira i ou 𝑠𝑖 𝑛 𝑠𝑛 𝑖 1 𝑖𝑛 1 𝑖 𝑆 𝑅 𝑠𝑛 𝑖 Através desta relação podese calcular o montante que resulta quando são capitalizadas n parcelas de valor R à taxa de juros i Por outro lado sabendose qual o montante S desejado e sabendose qual a taxa de juros i de aplicação podese calcular o valor dos termos que devem ser aplicados 𝑅 𝑆 𝑠𝑛 𝑖 7 Exemplo 1 Uma pessoa deposita 100000 mensalmente Sabendose que ela está ganhando 2 am quanto possuirá em 2 anos Resolução 𝑆 𝑅 𝑠𝑛 𝑖 Onde 𝑅 100000 𝑠24 2 30421862 Então 𝑆 1000 30421862 3042186 Logo após 2 anos a pessoa possuirá 3042186 34 Relação entre os fatores 𝒔𝒏 𝒊 𝟏 𝒊𝒏 𝒔𝒏 𝒊 4 Exercícios resolvidos 1 Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de 1 00000 na hipótese abaixo Taxa de juros Prazo 1 am 24 meses Resolução Para o cálculo do valor atual de uma série periódica de n termos à taxa i temos a fórmula 𝑃 𝑅 𝑎𝑛𝑖 P Valor atual R Valor do termo ou da prestação 𝒂𝒏 𝒊 𝟏 𝟏 𝒊𝒏 𝒊 O fator 𝒂𝒏 𝒊 pode ser calculado conforme expressão acima ou então procurado em tabelas financeiras onde seu resultado é apresentado para taxas e períodos mais usuais R 1000 n 24 meses i 1 am 𝑃 𝑅 𝑎𝑛𝑖 𝑃 1000 𝑎241 Procurando nas tabelas encontramos que para i 1 am e n 24 𝒂𝒏 𝒊 𝟐𝟏 𝟐𝟒𝟑𝟑𝟖𝟕 𝑎24 1 1 10124 001 1 1 10124 001 𝑎24 1 1 0787566 001 0212134 001 212434 P 1000 21243387 P 2124339 8 2 Em uma agência de automóveis o preço de um carro a vista é de 5000000 Qual é o valor da prestação mensal se o carro for financiado em 24 meses sem entrada e a taxa de juros contratada for de 3 am Resolução P 5000000 n 24 meses i 3 am 𝑅 𝑃 𝑎𝑛 𝑖 50000 𝑎24 3 50000 1 𝑖𝑛 1 𝑖 50000 10224 002 50000 16935542 295237 3 O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital emprestado O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igual à prestação mensal Sabendose que a taxa de juros da loja é de 4 am qual é o coeficiente unitário para o prazo de 6 meses Resolução Deve ser calculado um coeficiente α alfa tal que o produto pelo capital financiado α p seja igual a prestação mensal R Portanto 𝑹 𝒑 Como 𝑹 𝟏 𝒂𝒏 𝒊 𝑷 Então 𝟏 𝒂𝒏 𝒊 Onde 𝒂𝒏 𝒊 𝟏𝟏𝒊𝒏 𝒊 isto implica que 𝟏 𝒂𝒏 𝒊 𝒊 𝟏 𝟏𝒊𝒏 i 4 am n 6 meses 𝒂𝟔 𝟒 𝟓 𝟐𝟒𝟐𝟏𝟑𝟕 𝟏 𝒂𝟔 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐𝟒𝟐𝟏𝟑𝟕 𝟎 𝟏𝟗𝟎𝟕𝟔𝟐 Por conseguinte este será o fator que aplicado ao valor financiado dará o valor das 6 prestações mensais considerandose a taxa de 4 am Exemplo Preço a vista 1000000 pagamento 6 prestações mensais Qual o valor das prestações 𝑅 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟗𝟎𝟕𝟔𝟐 𝟏 𝟗𝟎𝟕 𝟔𝟐 4 O preço a vista de um barco é de 50000000 João comprou o barco por 20000000 de entrada mais 12 prestações mensais de 3384762 Qual é a taxa de juros cobrada neste financiamento Resolução P 50000000 20000000 30000000 R 3384762 9 n 12 i 𝑷 𝑹 𝒂𝒏 𝒊 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟖𝟒𝟕 𝟔𝟐 𝒂𝒏 𝒊 𝒂𝒏 𝒊 𝟖 𝟖𝟔𝟑𝟐𝟓𝟐 1ª solução pesquisa em tabelas financeiras O número de períodos n é igual a 12 portanto devemos encontrar a taxa i que torna o fator 𝒂𝒏 𝒊 𝟖 𝟖𝟔𝟑𝟐𝟓𝟐 Encontrase a taxa i 5 ao mês 2ª solução além da pesquisa em tabelas financeiras podemos calcular o valor da taxa i por tentativa e erro Sabemos que 𝒂𝒏 𝒊 𝟏 𝟏 𝒊𝒏 𝒊 𝒂𝟏𝟐 𝒊 𝟖 𝟖𝟔𝟑𝟐𝟓𝟐 Portanto procurase a taxa i tal que 8863252 𝟏𝟏𝒊𝟏𝟐 𝒊 Para cálculo de primeira aproximação da taxa verdadeira utilizase a fórmula 𝒊𝟎 𝟏 𝒂𝒏 𝒊 𝒂𝒏 𝒊 𝒏𝟐 𝒊𝟎 𝟏 𝟖 𝟖𝟔𝟑𝟐𝟓𝟐 𝟖 𝟖𝟔𝟑𝟐𝟓𝟐 𝟏𝟐𝟐 𝒊𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟖𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟔𝟏𝟓𝟓𝟎 𝟎 𝟎𝟓𝟏𝟐𝟕𝟓 𝒐𝒖 𝟓 𝟏𝟐𝟕𝟓 𝒂 𝒎 Testando este resultado temse 𝒂𝟏𝟐 𝒊𝟎 𝟏 𝟏 𝟎𝟓𝟏𝟐𝟕𝟓𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟓𝟏𝟐𝟕𝟓 𝒂𝟏𝟐 𝟓𝟏𝟐𝟕𝟓 𝟖 𝟕𝟗𝟗𝟖𝟔𝟎 Como 8799860 886325 i0 i Portanto 51275 é superior à taxa verdadeira i devendose testar uma taxa inferior a ela Testandose 4 am e chamandoa de i1 temse 𝒂𝟏𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟎𝟒𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟒 𝟗 𝟑𝟖𝟓𝟎𝟕𝟒 Sendo 9385074 8863252 i1 i A taxa verdadeira i encontrase entre i0 e i1 Dizse que i0 i i1 Fazendose a interpolação linear temse 10 𝑖 1 4 51275 4 8863252 9385074 8799860 9385074 𝑖1 4 11275 0521822 0585214 𝑖 1 4 11275 0891677 𝑖 1 4 1005366 5005366 𝑎 𝑚 Testando o resultado temse 𝒂𝟏𝟐 𝒊𝟏 𝟏 𝟏 𝟎𝟓𝟎𝟎𝟓𝟒𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟓𝟎𝟎𝟓𝟒 𝒂𝟏𝟐 𝟓𝟎𝟎𝟓𝟒 𝟖 𝟖𝟎𝟓𝟎𝟎𝟓𝟒 Comparando 8860553 8863252 i1 i Como a diferença entre os fatores é pequena podese concluir que a taxa de juros é de 501 am Caso se queira a taxa exata devese prosseguir com as interpolações Assim temos 𝑖 2 4 50054 4 8863252 9385074 8860553 9385074 𝑖2 4 1000227 5000227 𝑖2 500 𝑎 𝑚 Testando 𝒂𝟏𝟐 𝒊𝟏 𝟏 𝟏 𝟎𝟓𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟓 𝒂𝟏𝟐 𝟓 𝟖 𝟖𝟔𝟑𝟐𝟓𝟐 Portanto a taxa exata é 5 am 5 João conversando com um amigo contalhe que fez o melhor negócio do mundo pois comprou uma motocicleta cujo valor a vista era de 3000000 em prestações mensais de 132606 sem dar entrada alguma João achou que o negócio fora bom porque apesar de o vendedor dizerlhe que a taxa de juros era de 4 am o valor da prestação era baixo Seu amigo perguntoulhe em quantas prestações comprara e ele respondeu que não sabia Calcule o número de prestações Resolução P 30000 R 132606 i 4 am n 11 Sabese que 𝑃 𝑅 𝑎𝑛 4 Portanto 30000 132606 𝑎𝑛 4 Então 𝑎𝑛 4 30000 132606 22623411 Por conseguinte devemos procurar nos valores tabelados para a taxa de 4 qual o n que satisfaz a igualdade 𝑎𝑛 4 22623411 Neste caso encontraremos que para n 60 𝑎60 4 22623411 Sendo este o fator mais próximo do valor procurado A diferença devese ao arredondamento do valor da prestação Não se tendo tabelas financeiras podese resolver através de logaritmos pois 𝑎𝑛 𝑖 1 1 𝑖𝑛 𝑖 𝑎𝑛 4 1 104𝑛 004 004 22623411 1 104𝑛 0904936 1 104𝑛 1 0904936 104𝑛 0095064 104𝑛 1 0095064 104𝑛 10519278 104𝑛 log 10519278 𝑛 log 104 1021986 𝑛 00127033 𝒏 𝟏 𝟎𝟐𝟏𝟗𝟖𝟔 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟕𝟎𝟑𝟑 𝟓𝟗 𝟗𝟗𝟗 𝒐𝒖 𝒏 𝟔𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔