Análise de Risco e Duration em Títulos de Renda Fixa

VaR de renda fixa Bruno Pérez Ferreira 1 Relação preçoretorno com a mudanças nas taxas de juros Investidores em títulos de renda fixa estão expostos ao risco de rentabilidade pois se os retornos mudam os preços dos títulos também variam Tratase de um risco que afeta o valor presente do título embora o detentor continue recebendo os pagamentos de cupons e do valor de face no vencimento Portanto esse risco se manifesta caso o investidor venda o título antes do vencimento de maneira que o preço seja determinado pela curva de preçoretorno 2 Volatilidade de preços de títulos Duration conforme Benninga 2000 é medida da sensibilidade do preço de um título a mudanças na taxa de juros à qual o título é descontado Quanto maior a Duração de um título maior o seu risco pois apresenta maior sensibilidade às variações na taxa de juros Em um título de renda fixa é uma média ponderada dos períodos nos quais os pagamentos são feitos sendo os pesos definidos pelos valor presente de cada fluxo de caixa 3 Duration Definese a Duration de um título como uma média ponderada dos períodos dos seus pagamentos na qual os pesos são dados pelo valor presente de cada fluxo de caixa individual n n n n n n n t n t y nM y nCp y Cp y Cp y y P y M n y Cp n y Cp y Cp y P y M y Cp y Cp y Cp y M y Cp P 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 1 1 em que P é o preço do título y representa a taxa de juros Cp se refere ao cupom a ser pago pelo título M corresponde ao montante principal do título e t consiste no tempo até o vencimento em n 4 Duration Ao dividir ambos os membros da equação 1 por P é obtida a variação percentual aproximada de preço P y nM y nC y C y C y dy P dP n n 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 Em que a expressão entre colchetes dividida pelo preço é a Duration de Macaulay D P y nM y tC D n t n t 1 1 1 3 A razão entre a Duration de Macaulay e 1y é conhecida como Duração modificada D 1 então 1 D dy P dP y D D 4 5 A convexidade C é definida como 2 2 1 y P P C 5 em que 2 1 2 2 2 1 1 1 1 n N t t t y M n n y C t t y P 6 Logo N t n t t y M n n y C t t y P C 1 2 1 1 1 1 1 1 7 Convexidade 6 Medidas de sensibilidade de renda fixa D o Maturity Δ Yield t ice Δ bond pr YTM dYTM dP P 1 y dy D P dP 1 Segundo Benninga 2000 a Duration pode ser interpretada como a elasticidade do preço de um título em relação à sua Yield to Maturity YTM de maneira a medir a volatilidade e o risco desse título De acordo com Luenberger 1997 duas interpretações úteis da Duration são Fator de desconto de elasticidade do preço de um título sendo que o fator de desconto é 1 YTM Medida da volatilidade do preço de um título pois 7 Volatilidade das taxas de juros As taxas vinculadas ao papel de renda fixa são definidas na negociação do deságio relativo à aquisição do investimento e apresentam relação com os juros praticados no mercado Esses juros conforme dispõe Ferreira 2004 envolvem as taxas spot as quais decorrem do prazo de vencimento dos papéis que são negociados no mercado o que constitui a curva de juros para um intervalo de maturidade do investimento de renda fixa As taxas decorrentes do efeito marginal de aumentos no prazo de vencimento dos títulos constituem as taxas forward ou seja a estrutura de taxas a termo 8 Volatilidade das taxas de juros Tempo 1s 2s 3s 4s 1f 2f 3f Taxa Anual fi taxas forward si taxas spot Tempo 1s 2s 3s 4s 1f 2f 3f Taxa Anual Tempo 1s 2s 3s 4s 1f 2f 3f Taxa Anual fi taxas forward si taxas spot Figura 1 Curva de juros e estrutura a termo da taxa de juros Fonte Ferreira 2004 p 43 9 VaR de renda fixa A estimação de VaR decorre de como é especificado o cálculo da probabilidade 𝑃𝑟 𝑟𝑡 𝑉𝑎𝑅𝑡 Seja essa probabilidade seja dada por 𝑃𝑟 𝑟𝑡 𝑉𝑎𝑅𝑡 𝑓 𝑟𝑡 𝑑𝑟𝑡 𝛼 𝑉𝑎𝑅𝑡 Para a Duration temse que 𝑑𝑃 𝑃 𝐷 𝑑𝑦 1 𝑦 e 𝐷 𝐷 1 𝑦 Logo 𝑑𝑃 𝑃𝐷 𝑑𝑦 1 𝑦 𝑃𝐷𝑑𝑦 𝑃 𝑃𝐷𝑦 10 VaR de renda fixa Supondo então que a um preço P e um YTM correspondente a Duração Modificada e a Convexidade são calculadas Então se dy é uma mudança infinitesimal no YTM e dP é a mudança correspondente no preço temos que é a aproximação de segundaordem para a curva preço retorno 2 2 PC dy D Pdy dP M VaR de renda fixa Assim a volatilidade da mudança nos preços de título de dívida pela duração modificada conjugada com o preço do título pela volatilidade do rendimento Assim para um título de dívida com duration D 289 preço P 9939 um e rendimento y 422 e volatilidade diária de y de 4 pontosbase 004 σΔP 9939 x 28910422 x 004 011 Logo o VaR no nível de confiança de 99 para uma distribuição normal é VaR199 233 σΔP 026 um y PD P 12 Fundamentação Em matemática temse que pela fórmula de Taylor o valor de uma função derivável pode ser calculado por meio de uma aproximação local realizada por uma função polinomial Seja f uma função derivável num intervalo contendo um ponto x0 tem se que 0 0 0 x x x f f x T x em que T é a função de uma reta tangente a f no ponto x0 fx0 relação baseada na idéia de diferencial 13 Fundamentação Logo ao fazer uma aproximação de f no ponto x verificase um erro de aproximação ou seja T x f x E x 0 0 0 x x x f f x f x E x 0 0 0 0 x f x x f x x f x x E x 14 Fundamentação Aplicando um limite temse lim lim 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x f x x x E x x x x 0 lim 0 0 0 0 x f x f x x x E x x Logo provase que o erro tende a zero e que T é a aproximação dada por uma função de uma reta tangente a f no ponto x0 fx0 relação baseada na idéia de diferencial 15 Fundamentação Uma série de Taylor é a expansão de uma série de funções ao redor de um ponto derivável em uma função com um erro ε ou seja 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 n x x x f n x x x f x x x f x x x f x x f x x f n n n N Sinteticamente n i i i i x x x f x f 0 0 0 16 Fundamentação Para uma função f com n variáveis derivável no n R com derivação em m vezes temse que a série de Taylor de f em torno do ponto 0 0 2 0 1 0 nx x x X é dada por k i n i i k i k m k n x x X x f k x f x 1 0 0 0 0 1 17 VaR de renda fixa Pela expansão de Taylor no nível de segunda ordem do preço do título de dívida temse que Ao descartar o termo de erro de terceira ordem temse que 2 2 2 2 1 y y P y y P P y y y P 2 2 2 1 2 1 1 y y P P y y P P y P P y y y P P P D CX 18 VaR de renda fixa De maneira que Assim a variação do preço pela expansão de Taylor no nível de segunda ordem Logo 2 2 1 CX y y D P P 2 2 1 y P CX y P D P 2 2 1 y P CX y P D P 19 Duration com Convexidade Duration Preço do Título Taxa de Juros Curva de Preço Duration com Convexidade Duration Preço do Título Taxa de Juros Curva de Preço Figura 2 Aproximação do preço de um título por meio da duration D e da convexidade CX Fonte Barros 2009 20 Exercício Para um título de dívida com duration D 489 preço P 9839 um e rendimento y 502 e volatilidade diária de y de 6 pontosbase 006 Calcule o VaR no nível de confiança de 95 para uma distribuição normal 21