Gestão Avançada de Riscos: Risco Absoluto e Relativo

Gestão Avançada de Riscos Bruno Pérez Ferreira 1 Risco Absoluto e Relativo A gestão de riscos de mercado pode em linhas gerais conforme Duarte Júnior 2005 ser levada a efeito de duas formas risco de mercado absoluto relacionado ao gerenciamento de riscos de mercado de maneira absoluta sem um índice referencial ou seja um benchmark Tal abordagem enfatiza a preocupação com a preservação do capital investido Como modelos voltados para realizar tal aferição devemse destacar o Value at Risk VaR e o Expected Shortfall ES e risco de mercado relativo baseado na mensuração de riscos relacionada a um referencial um benchmark Essa forma de medição é relevante para analisar o desempenho de investimentos frente a referenciais de mercado como a taxa do CDI eou metas de resultado e demandas mínimas de rentabilidade como a meta atuarial Como exemplo dessas técnicas podemse salientar o tracking error a Divergência não Planejada DnP e o erro médio quadrático 2 Risco Absoluto e Relativo Rockafellar et al 2003 destacam que a volatilidade dos preços pode envolver um índice referencial isto é um benchmark e essa meta de desempenho também pode apresentar variações de maneira que o risco envolve não somente as flutuações do ativo como também do benchmark que pode ser um índice de inflação ou um referencial de mercado Logo tão relevante quanto os modelos voltados para análise do risco absoluto são as técnicas voltadas para os resultados frentes a metas de desempenho baseadas no tracking error 3 Risco Absoluto e Relativo Tais técnicas permitem aferir o risco decorrente de flutuações no preço e no referencial de resultado de maneira que conjugam duas variações em uma volatilidade ao longo do período de observação Diante disso temse a aferição do denominado risco relativo que engloba o desempenho de um investimento considerandose um indexador de referência de resultado como a taxa do CDI destacada por Ferreira 2004 4 Propriedades para uma medida coerente de Riscos Segundo Artzner et al 1997 1999 considerandose um conjunto V de variáveis aleatórias a função V R pode ser definida como uma medida coerente de risco caso ela apresente as seguintes propriedades I monotonicidade Y X Y R X X Y assim sejam X e Y pertencentes ao conjunto dos números reais sendo X menor ou igual a Y para que a função ρ seja monótona a imagem desta função para X deverá ser maior ou igual à de Y pois X é um resultado pior que Y 5 Propriedades para uma medida coerente de Riscos Segundo Artzner et al 1997 1999 considerandose um conjunto V de variáveis aleatórias a função V R pode ser definida como uma medida coerente de risco caso ela apresente as seguintes propriedades II subaditividade Y X Y X V Y X Y X ou seja a medida de risco de um conjunto de ativos deve ser menor ou igual à soma das medidas de risco de cada ativo consideradas isoladamente Essa propriedade está relacionada à redução do risco por meio de diversificações 6 Propriedades para uma medida coerente de Riscos Segundo Artzner et al 1997 1999 considerandose um conjunto V de variáveis aleatórias a função V R pode ser definida como uma medida coerente de risco caso ela apresente as seguintes propriedades III homogeneidade positiva 0 X h hX V hX V h X Logo se uma constante multiplica o termo independente de uma função esta constante pode ser evidenciada na função e 7 Propriedades para uma medida coerente de Riscos Segundo Artzner et al 1997 1999 considerandose um conjunto V de variáveis aleatórias a função V R pode ser definida como uma medida coerente de risco caso ela apresente as seguintes propriedades IV invariância de translação X X R V X de maneira que se há um termo constante na variável independente ele pode ser retirado visto que não se constitui em um fator de risco por não proporcionar variação 8 Considerações acerca do VaR O cálculo do VaR de um investimento pode ser desenvolvido por meio de uma simulação histórica pela metodologia analítica eou Simulação de Monte Carlo SMC No entanto com a utilização de simulação histórica o VaR calculado não atende à propriedade da subaditividade visto que seria necessário que a soma das medidas de riscos dos ativos considerados individualmente deve ser maior ou igual à medida de risco da carteira de investimento Entretanto o VaR mensurado pela abordagem analítica e pela SMC não apresenta problemas de subaditividade porém pressupõe a hipótese de normalidade dos retornos Como os dados financeiros podem apresentar comportamentos distintos ao padrão normal essa pressuposição configurase em uma limitação do modelo analítico 9 Stress Test Explorar os resultados nas caudas grossas Mede a probabilidade de perda de uma carteira ou investimento em uma situação hipotética de cenário de estresse Verifica o que ocorreria em situações que os fatores ultrapassassem o limite de confiança 95 ou 99 de maneira a indicar situações extremas Suplementa o VaR podem ser utilizados conjuntamente para mensurar a exposição a perdas em cenários extremos 10 Devese selecionar todos os retornos menores ou iguais ao quantil α superior limitar o peso associado a este quantil até que o peso acumulado não ultrapasse o limite definido pelo nível de significância α o ES é obtido pelo simétrico da média desses retornos ponderados O quantil α superior é inf x P X x x R Expected Shortfall ES 13 Denomina o valor esperado de perda verificada a condição de exceder o valor c do VaR x dx f x dx xf c X E X q q Em que o numerador representa a mensuração do VaR e o denominador representa a probabilidade da perda exceder ao VaR logo identifica o quanto se pode perder caso se verifique um resultado inferior ao c Expected Shortfall ES 14 Divergência não Planejada DnP Segundo Pena 2005 tratase de uma técnica que avalia um desvio registrado no desempenho dos investimentos em relação à meta de rentabilidade estipulada para o fundo O cálculo do risco por este método parte da diferença entre a rentabilidade dos investimentos e o resultado demandado por um referencial de mercado como por exemplo o Ibovespa a taxa de juros do CDI e a inflação 15 Divergência não Planejada DnP 16 Divergência não Planejada DnP 17 Risco Relativo Com relação a medidas de risco relacionadas à evolução ao longo do tempo do desempenho de investimentos frente a uma demanda de retorno o que define técnicas de tracking error como a DnP Rockafellar et al 2003 destacam o conceito de medida coerente de desvio 18 Risco Relativo Uma medida coerente de desvio definida por uma função D deve apresentar as seguintes propriedades I D X k D X ou seja o desvio de uma variável aleatória X é igual ao apresentado por tal variável e uma constante k o que é equivalente a E X D X D X para todo X onde EX é a esperança da variável X 19 Risco Relativo Uma medida coerente de desvio definida por uma função D deve apresentar as seguintes propriedades II 0 0 D e kD X D kX para todo X e k 0 de maneira que o desvio do produto de uma variável e uma constante ambas maiores que zero é equivalente ao produto desta constante pela medida de desvio 20 Risco Relativo Uma medida coerente de desvio definida por uma função D deve apresentar as seguintes propriedades III D Y D X Y D X para todo X e Y de maneira que o desvio de uma composição de variáveis aleatórias é menor ou igual à soma dos desvios de cada uma o que envolve a diversificação de investimentos e 21 Risco Relativo Uma medida coerente de desvio definida por uma função D deve apresentar as seguintes propriedades IV 0 D X para uma variável X enquanto que 0 D X quando X for constante 22 Risco Relativo Com a finalidade de aplicar tais propriedades a medidas de risco relacionadas ao desvio na dinâmica de resultados de investimentos Rockafellar et al 2003 destacam que as propriedades das medidas de risco destacadas por Artzner et al 1997 1999 podem ser aplicadas à diferença entre a variável aleatória e seu valor esperado visto que tal relação é definida por i E X R X D X e ii D X E X R X em que R é uma função resultado da variável aleatória frente sua esperança matemática 23 Risco Relativo Logo conforme Rockafellar et al 2003 por meio de uma medida de desvio que atenda as propriedades destacadas por tais autores aplicandose i e ii temse uma medida que atende às propriedades abordadas por Artzner et al 1997 1999 desde que a medida de desvio esteja associada a uma medida de risco consistente com as propriedades de coerência enfatizadas por esses últimos autores 24 Backtesting Desde do princípio da década de 1990 uma diversidade de testes têm sido propostos para avaliar a qualidade do modelo de estimação do risco como o VaR e a ES Embora tais testes apresentem modificações em detalhes a maioria deles focam em comparações da mensuração do risco reportada com a perda ou lucro realizada 25 Backtesting Ao utilizar uma determinada abordagem de cálculo do VaR é recomendado que seja avaliada a qualidade da mensuração do risco Assim podese determinar se as perdas ocorridas na carteira ou no investimento estão dentro da estimativa prevista pelo modelo Medindo o VaR para um período o backtest consiste em constatar se o número de vezes em que as perdas superaram o VaR é próxima do nível de significância utilizado Exemplo para o intervalo de confiança de 95 e ao verificar os resultados da carteira em dado período constatase que os mesmos ficaram abaixo do VaR 18 das vezes então provavelmente o modelo necessita de um ajuste 26 Backtesting Diante disso podese trocar de um modelo paramétrico para um não paramétrico ou o contrário mudar o fator de decaimento do EWMA pesquisar novos métodos de cálculo da volatilidade dentre outras soluções que devem ser implementadas O backtest é um processo que permite medir o desempenho de um modelo de risco A idéia básica é comparar o resultado de uma avaliação de riscos declarada em uma data t 1 com a variação real da carteira em uma data t Após um certo período de tempo temse como resultado um gráfico ilustrativo da comparação do risco mensurado com o aferido pela variação real da carteira como ilustra a figura a seguir 27 Kupiec Denote por xtt1 a perda ganho em um período Dada a função indicadora definida por O problema de adequação de uma avaliação do VaR consiste em verificar se a seqüência indicadora satisfaz as seguintes propriedades Cobertura Incondicional PIt1 1 α Independência Itj Itk devem ser independentes Essas duas propriedades são equivalentes a 0 1 1 1 1 t t t t t t t VaR x se VaR x se I 29 Kupiec O teste de Kupiec concentrase somente na primeira propriedade A estatística do teste razão de max verossimilhança apresenta a forma que segue uma quiquadrado com 1 grau de liberdade Valor limite para 95 de confiança INVQUI51 384 30 Christoffersen Teste de Independência A função indicadora deve indicar uma cobertura incondicional e independência Hipótese nula h0 independência serial e Hipótese alternativa h1 dependência de primeira ordem 31 Christoffersen Teste de Independência T00 T10 T01 T11 T00 T10 T T01 T11 T00 T01 T10 T11 Tij é o número de observações no estado j após estar no estado i 32 Christoffersen Teste de Independência A estatística do teste é 2log LA L0 onde T 01 33 Christoffersen Teste de Independência A estatística aplicada nesse teste tem distribuição assintótica quiquadrado com um grau de liberdade Assim podese unir as duas propriedades cobertura incondicional e independência em um único teste Em que a estatística será a soma das duas anteriores e terá portanto distribuição assintótica quiquadrado com 2 graus de liberdade Cabe enfatizar que o teste de Christoffersen avalia apenas a dependência de primeira ordem 34