Modelos Univariados para Séries Temporais: Estacionaridade e Autocorrelação

1 Modelos Univariados para Séries Temporais 2 BIBLIOGRAFIA BÁSICA BROOKS C Introductory Econometrics for Finance 3e Cambridge University Press 2014 CAPÍTULO 6 GRIFFITHS W HILL RC JUDGE GG Learning and Practicing Econometrics John Wiley Sons 1993 CAPÍTULO 20 Introdução 3 Ao tratarmos o conjunto dos retornos de um ativo ou qualquer outra variável financeira como um conjunto observações de uma VA ao longo do tempo temos uma SÉRIE TEMPORAL 𝑟𝑡 𝑡1 𝑇 que é uma realização de 𝑟𝑡 𝑡 Introdução 4 Os modelos que veremos buscam capturar as Relações e Padrões existentes entre uma observação 𝑟𝑡 e as informações disponíveis até o momento t que podem ser os valores passados de 𝑟𝑡 𝑟𝑡1 𝑟𝑡2 e choques 𝜀𝑡 que afetam o ambiente em que o preço do ativo ou da série em geral é definido OBS Objetivos finais DESCREVER PREVER CONTROLAR ESTACIONARIDADE 5 Def Estacionaridade Estrita implica em uma relação de equilíbrio temporal da série em que os valores de 𝑟𝑡 se concentrarão em torno de uma média constante ao longo do tempo assim como deverão estar constantes os momentos de ordem superior da série temporal 𝑉𝑎𝑟 𝑟 𝑆 𝑟 𝐾 𝑟 6 Ou seja formalmente 𝑟𝑡 será estritamente estacionária se a distribuição 𝑟𝑡1 𝑟𝑡2 𝑟𝑡𝑘 for idêntica à distribuição 𝑟𝑡1𝑡 𝑟𝑡2𝑡 𝑟𝑡𝑘𝑡 t Isto é a distribuição conjunta deve ser INVARIANTE COM O TEMPO ESTACIONARIDADE ESTACIONARIDADE FRACA 7 É uma condição menos restritiva e mais fácil de se testar empiricamente Para uma série 𝑟𝑡 apresentar Estacionaridade Fraca devem ser verificadas as condições I E 𝑟𝑡 µ constante t II Var 𝑟𝑡 𝐸 𝑟𝑡 µ 2 𝜎2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 t III 𝐶𝑜𝑣 𝑟𝑡 𝑟𝑡 𝑙 γ𝑙 que só depende de l e é constante t 8 OBS Como a 𝐶𝑜𝑣 não possui limite superior nem inferior e a sua interpretação depende da unidade de medida de 𝑟𝑡 utilizamos uma medida mais apropriada chamada de Autocorrelação 𝜌 que será 𝜌𝑙 𝐶𝑜𝑣𝑟𝑡 𝑟𝑡𝑙 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡𝑙 𝐶𝑜𝑣𝑟𝑡 𝑟𝑡𝑙 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝛾𝑙 𝛾0 1 𝜌𝑙 1 𝜌𝑙 1 Autocorrelação perfeita positiva 𝜌𝑙 1 Autocorrelação perfeita negativa ESTACIONARIDADE FRACA Exemplo de cálculo das Autocorrelações 9 t 𝑋𝑡 𝑋𝑡2 𝑋𝑡3 𝑋𝑡4 1 1 2 2 3 5 1 4 7 2 1 5 5 5 2 1 𝜌 2 𝑋𝑡 𝑋 𝑋𝑡2 𝑋 5 𝑡2𝑖 𝑋𝑡 𝑋 2 5 𝑡1 5 4 1 4 7 4 2 4 5 4 5 4 5 𝑡3 1 4 2 2 4 2 5 4 2 7 4 2 5 4 2 5 𝑡1 8 24 𝜌 2 0333 𝐷𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑒 𝜌 3 0458 Autocorrelações 10 Dado 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟𝑡 Podemos formar 𝑡 1 pares 𝑟1 𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟𝑡1 𝑟𝑡 𝜌 1 𝑟𝑡 𝑟 𝑟𝑡1 𝑟 𝑇 𝑡2 𝑟𝑡 𝑟 2 𝑇 𝑡1 Para um valor qualquer de l 𝜌 𝑙 𝑟𝑡 𝑟 𝑟𝑡𝑙 𝑟 𝑇 𝑡𝑙1 𝑟𝑡 𝑟 2 𝑇 𝑡1 Com 0 𝑙 𝑇 1 A FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃOACF 11 Def Os valores estimados 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 3 𝜌 𝑘 definem a Função de Autocorrelação Amostral ACF para a série temporal 𝑟𝑡 Seu papel é fundamental na análise de qualquer série temporal auxiliando o pesquisador na tarefa de identificar a Dinâmica Linear dos dados O Correlograma ACF pode possuir diversas formas que poderão ser observadas em um Gráfico onde se representam no eixo horizontal as defasagens das autocorrelações e no eixo vertical os valores das autocorrelações Esse tipo de gráfico é chamado de Correlograma 12 O Correlograma 13 050 000 050 100 Autocorrelations of var1 0 10 20 30 40 Lag Bartletts formula for MAq 95 confidence bands Testes de Significância para a Função de Autocorrelação 14 H0 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 𝑘 0 H1𝜌 𝑖 0 para algum i ϵ12 K a Intervalo de confiança para o correlograma mostra a significância indivivual dos 𝝆 𝒍 Se assumirmos que a série tem distribuição normal então os coeficientes da ACF terão distribuição aproximadamente normal e podemos definir um intervalo com 95 de confiança 196 1 𝑇 15 Defasagens 2 1 𝜌 𝑘 7 3 4 5 6 196 1 𝑇 196 1 𝑇 16 b A Estatística Q de Ljung Box É um teste da hipótese conjunta de que os coeficientes de autocorrelação são iguais a zero contra a alternativa de que algum deles é diferente de zero até uma dada defasagem l 𝑄 𝑚 𝑇 𝑇 2 𝜌 𝑙 2 𝑇 𝑙 𝑚 𝑒1 𝜒𝑚 2 Em que 𝑚 ln𝑇 Regra de decisão do teste Se ValorP α Não rejeitamos H0 ausência de correlação serial Se ValorP α Rejeitamos H0 há evidência de correlação serial Exemplo de uso dos testes Suponha que um analista tenha estimado as seguintes 5 primeiras autocorrelações de uma série temporal de 100 observações Teste a significância estatística dessas autocorrelações usando os dois testes anteriores 17 Defasagem 1 2 3 4 5 Coeficiente de Autocorrelação 0207 0013 0086 0005 0022 a Usando o Intervalo de Confiança de 95 O IC para T 100 será 0196 0196 Assim apenas a primeira autocorrelação será significativamente diferente de 0 ao nível de 5 18 Defasagem 1 2 3 4 5 Coeficiente de Autocorrelação 0207 0013 0086 0005 0022 b Usando a Estatística de LjungBox 19 𝑄 𝑚 𝑇 𝑇 2 𝜌 𝑙 2 𝑇 𝑙 𝑚 𝑙1 𝜒𝑚 2 𝑄5 100 102 02072 100 1 00132 100 2 00862 100 3 00052 100 4 00222 100 5 526 O valor da estatística 𝜒2 com 5 graus de liberdade e α 5 será igual a 111 Como o valor calculado para Q é menor que o tabelado não se tem evidência para rejeitar a hipótese nula de que os coeficientes de autocorrelação são iguais a zero Questão para refletir Como proceder uma vez que os dois testes apresentaram resultados conflitantes PROCESSOS PURAMENTE ALEATÓRIOS RUÍDO BRANCO White Noise 20 Def Uma série temporal 𝜖𝑡𝑡 será chamada de Ruído Branco se e somente se 𝐸 𝜖𝑡 0 𝑉𝑎𝑟 𝜖𝑡 𝜎2 𝜌𝑙 0 𝑙 1 OBS A não significância da estatística Q de Ljung Box indica que se uma série tem características de Ruído Branco 𝜌 𝑘 As autocorrelações não são significativas MODELOS AUTOREGRESSIVOS 21 Se uma variável 𝑟𝑡 possuir por exemplo uma autocorrelação significativa com 𝑟𝑡1 1 defasagem poderemos utilizar essa informação para prever e descrever 𝑟𝑡 O Modelo AutoRegressivo de Primeira Ordem 𝑨𝑹𝟏 será definido para esse fim como 𝑟𝑡 𝜙0 𝜙1𝑟𝑡1 𝜖𝑡 Com 𝜖𝑡 Ruído Branco 𝑁0 𝜎𝜖2 O Modelo ARp 22 Para situações em que Autocorrelações de ordem superior forem importantes significantes em relação à 𝑟𝑡 podemos utilizar modelos AutoRegressivos de ordem superior AR2 𝑟𝑡 𝜙0 𝜙1𝑟𝑡1 𝜙2𝑟𝑡2 𝜖𝑡 ARp 𝑟𝑡 𝜙0 𝜙1𝑟𝑡1 𝜙2𝑟𝑡2 𝜙𝑝𝑟𝑡𝑝 𝜖𝑡 PROPRIEDADES DOS MODELOS ARp 23 MODELO AR1 a Média de 𝒓𝒕 𝐸𝑟𝑡 𝐸 𝜙0 𝜙1𝑟𝑡1 𝜖𝑡 𝜙0 𝜙1𝐸𝑟𝑡1 𝐸𝜖𝑡0 Dada a condição de estacionaridade 𝐸𝑟𝑡 µ 𝐸𝑟𝑡1 tem se µ 𝜙0 𝜙1 µ µ 𝜙1 µ 𝜙0 µ 𝜙0 1𝜙1 Dois resultados importantes Se 𝜙1 1 𝑟𝑎í𝑧 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 a média de 𝑟𝑡 não existirá 𝑟𝑡 não é estacionário Se 𝜙0 0 a média da série temporal 𝐸𝑟𝑡 será nula 24 b Variância Dado que 𝜙0 1 𝜙1 µ temse que o modelo AR1 pode ser rescrito 𝑟𝑡 1 𝜙1 µ 𝜙1 𝑟𝑡1 𝜖𝑡 µ 𝜙1 µ 𝜙1𝑟𝑡1 𝜖𝑡 𝑟𝑡 µ 𝜙1 𝑟𝑡1 µ 𝜖𝑡 Elevandose ambos os lados ao quadrado e aplicando o operador de esperança matemática 𝐸𝑟𝑡 µ2 𝐸𝜙1𝑟𝑡1 µ 𝜖𝑡2 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝐸𝜙1 𝑟𝑡1 µ 2 2𝜙1 𝑟𝑡1 µ 𝜖𝑡 𝜖𝑡 2 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝜙1 2𝐸 𝑟𝑡1 µ 2 2𝜙1𝐸 𝑟𝑡1 µ 𝜖𝑡 𝐸𝜖𝑡2 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝜙1 2𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡1 𝜎𝜖 2 PROPRIEDADES DOS MODELOS ARp 25 Dada a condição de estacionaridade 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡1 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝜙1 2𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝜎𝜖 2 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 1 𝜙1 2 𝜎𝜖 2 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡 𝛾0 𝜎𝜖 2 1 𝜙1 2 O que implica na seguinte condição de estacionaridade fraca para o AR1 𝜙1 2 1 𝑜𝑢 1 𝜙1 1 𝜙1 1 a variância não pode ser negativa nem infinita c A ACF PARA O MODELO AR1 26 Dado que 𝑟𝑡 µ 𝜙1 𝑟𝑡1 µ 𝜖𝑡 Multiplicandose ambos os lados por 𝜖𝑡 e aplicando a esperança matemática temse 𝐸 𝜖𝑡 𝑟𝑡 µ 𝜙1𝐸 𝜖𝑡 𝑟𝑡1 µ 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙 𝐸𝜖𝑡 2 𝜎𝜖 2 Mutiplicando por 𝑟𝑡𝑙 µ e aplicandose a Esperança temse 𝐸𝑟𝑡 µ𝑟𝑡𝑙 µ 𝐸𝜙1 𝑟𝑡1 µ 𝜖𝑡𝑟𝑡𝑙 µ 27 𝐶𝑜𝑣 𝑟𝑡 𝑟𝑡𝑙 𝐸 𝜙1 𝑟𝑡1 µ 𝑟𝑡𝑙 µ 𝜖𝑡𝑟𝑡𝑙 µ 𝐶𝑜𝑣 𝑟𝑡 𝑟𝑡𝑙 𝛾𝑙 𝜙1𝐸 𝑟𝑡1 µ 𝑟𝑡𝑙 µ 𝐸𝜖𝑡𝑟𝑡𝑙 µ 𝜙1 𝛾1 𝜎𝜖 2 𝑙 0 𝛾0 𝜙1 𝛾1 𝜎𝜖 2 𝛾𝑙 𝜙1 𝛾𝑙1 𝑙 0 c A ACF PARA O MODELO AR1 28 Assim sendo como 𝛾𝑙 𝜙1 𝛾𝑙1 𝑙 0 temse que 𝛾1 𝜙1 𝛾0 𝜙1 𝜎𝜖 2 1 𝜙1 2 𝛾2 𝜙1 𝛾1 𝜙1 𝜙1 𝜎𝜖 2 1 𝜙1 2 𝛾𝑙 𝜙1 𝑙 𝜎𝜖 2 1 𝜙1 2 c A ACF PARA O MODELO AR1 c A ACF PARA O MODELO AR1 29 Como a ACF é dada por 𝜌 𝑖 𝛾𝑖 𝛾0 temse 𝜌0 𝛾0 𝛾0 1 𝜌1 𝛾1 𝛾0 𝜙1 𝜎𝜖 2 1 𝜙1 2 𝜎𝜖2 1 𝜙1 2 𝜙1 𝜌2 𝜙1 2 𝜎𝜖 2 1 𝜙1 2 𝜎𝜖2 1 𝜙1 2 𝜙1 2 𝜌𝑙 𝜙1 𝑙 c A ACF PARA O MODELO AR1 30 𝜌𝑙 𝜙1 𝑙 implica que para 𝜙1 0 a autocorrelação cai exponencialmente 𝜌 𝑘 Defasagens 31 E para 𝜙1 0 o sinal fica alternandose 𝜌 𝑘 Defasagens c A ACF PARA O MODELO AR1 O CASO GERAL PARA O ARp 32 Os resultados demonstrados para o modelo AR1 podem ser generalizados e aplicados para o caso com p defasagens Assim temse que para um modelo ARp 𝑟𝑡 𝜙0 𝜙1𝑟𝑡1 𝜙2𝑟𝑡2 𝜙3𝑟𝑡3 𝜙𝑝𝑟𝑡𝑝 𝜖𝑡 33 a A Média de 𝒓𝒕 do processo ARp será µ 𝐸 𝑟𝑡 𝜙0 1 𝜙1 𝜙2 𝜙𝑝 Em que 𝜙𝑖 1 𝑝 𝑖1 Novamente se 𝜙0 0 E 𝑟𝑡 0 Se 𝜙1 1 𝑝 𝑖1 𝑟𝑡 não é estacionária pois a média 𝐸 𝑟𝑡 não será finita b Variância e Covariâncias do modelo ARp 34 Dada a expressão anterior para µ temse 1 𝜙1 𝜙2 𝜙𝑝µ 𝜙0 µ 𝜙1µ 𝜙2µ 𝜙𝑝µ 𝜙0 µ 𝜙0 𝜙1µ 𝜙2µ 𝜙𝑝µ Subtraindose µ dos dois lados do modelo ARp 𝑟𝑡 µ 𝜙1 𝑟𝑡1 µ 𝜙2 𝑟𝑡2 µ 𝜙𝑝 𝑟𝑡𝑝 µ 𝜖𝑡 Multiplicando ambos os lados dessa expressão por 𝑟𝑡𝑗 µ e aplicando o operador de esperança encontramos as Autocovariâncias do modelo ARp 35 𝐸𝑟𝑡 µ𝑟𝑡𝑗 µ 𝐸𝜙1 𝑟𝑡1 µ 𝜙2 𝑟𝑡2 µ 𝜙𝑝 𝑟𝑡𝑝 µ 𝜖𝑡 𝑟𝑡𝑗 µ 𝜙1𝐸 𝑟𝑡1 µ 𝑟𝑡𝑗 µ 𝜙2𝐸 𝑟𝑡2 µ 𝑟𝑡𝑗 µ 𝜙𝑝𝐸 𝑟𝑡𝑝 µ 𝑟𝑡𝑗 µ 𝐸 𝑟𝑡𝑗 µ 𝜖𝑡 𝜎𝜖2𝑗0 Em que 𝐸 𝑟𝑡1 µ 𝑟𝑡𝑗 µ 𝐶𝑂𝑉 𝑟𝑡1 𝑟𝑡𝑗 𝛾𝑗1 𝐸 𝑟𝑡2 µ 𝑟𝑡𝑗 µ 𝐶𝑂𝑉 𝑟𝑡2 𝑟𝑡𝑗 𝛾𝑗2 𝐸 𝑟𝑡𝑝 µ 𝑟𝑡𝑗 µ 𝐶𝑂𝑉 𝑟𝑡𝑝 𝑟𝑡𝑗 𝛾𝑗𝑝 𝐶𝑂𝑉 𝑟𝑡 𝑟𝑡𝑗 𝛾𝑗 𝜙1𝛾𝑗1 𝜙2𝛾𝑗2 𝜙𝑝𝛾𝑗𝑝 𝑗 123 E a Variância da série r dada por um processo ARp será 𝑉𝐴𝑅 𝑟𝑡 𝛾0 𝜙1𝛾1 𝜙2𝛾2 𝜙𝑝𝛾𝑝 𝜎𝜖2 𝑗 0 As Equações de YuleWalker 36 Como 𝜌𝑗 𝛾𝑗 𝛾0 encontraremos as chamadas Equações de YuleWalker dividindoas covariâncias por 𝛾0 𝜌𝑗 𝜙1𝛾𝑗1 𝛾0 𝜙2𝛾𝑗2 𝛾0 𝜙𝑝𝛾𝑗𝑝 𝛾0 𝜌𝑗 𝜙1𝜌𝑗1 𝜙2𝜌𝑗 2 𝜙𝑝𝜌𝑗 𝑝 𝑗 123 𝜌1 𝜙1𝜌0 𝜙2𝜌1 𝜙𝑝𝜌1𝑝 𝜌2 𝜙1𝜌1 𝜙2𝜌0 𝜙𝑝𝜌2𝑝 IDENTIFICAÇÃO DA ORDEM DE UM MODELO ARP 37 Como saber se o modelo a ser estimado deve ser AR1 AR2 AR3ARp A determinação de p deve ser empírica baseada em alguns critérios e estatísticas tais como PACF AIC ou SBIC de Schwarz a A Função de Autocorrelação Parcial PACF 38 Suponha os seguintes modelos para rt rt ϕ10 ϕ11rt1 ϵ1t AR1 rt ϕ20 ϕ21rt1 ϕ22rt2 ϵ2t AR2 rt ϕ30 ϕ31rt1 ϕ32rt2 ϕ33rt3 ϵ3t AR3 rt ϕj0 ϕj1rt1 ϕj2rt2 ϕjjrtj ϵjt ARp Esses modelos podem ser estimados por MQO sendo que um coeficiente 𝜙𝑘𝑘 será chamado de Coeficiente de Autocorrelação Parcial de ordem k e medem a correlação entre 𝑟𝑡 e 𝑟𝑡𝑘 depois que a influência de 𝒓𝒕𝟏 𝒓𝒕𝟐 𝒓𝒕𝒌𝟏 foi descontada 39 Assim 𝜙11 será o coeficiente da PACF de ordem 1 𝜙22 será o coeficiente da PACF de ordem 2 e 𝜙𝑘𝑘 será o coeficiente da PACF de ordem k Concluise que para um modelo de ordem p o coeficiente da PACF de ordem p não deve ser zero para todo j p Mas para j p 𝜙𝑗𝑗 0 estatisticamente igual a zero a A Função de Autocorrelação Parcial PACF a A Função de Autocorrelação Parcial PACF 40 Ou seja para ARp e para todo j p IC 95 FACP 196 1 𝑇 𝜙𝑗𝑗 196 1 𝑇 b Os Critérios de Informação de AKAIKE AIC e de SHWARZ SBIC 41 Def Um Critério de Informação IC é uma medida estatística que nos ajudará a encontrar de forma mais objetiva o número mais adequado de parâmetros de um modelo Em geral um IC possui dois componentes Um termo que é função da SQRes do modelo e outro termo que implica em uma penalidade pela perda de graus de liberdade que modelos com parâmetros adicionais terão Ou seja são medidas que apontam uma espécie de relação de custobenefício de modelos mais parcimoniosos relativamente a modelos com parâmetros adicionais Devese escolher o modelo que minimize esses IC 42 b Os Critérios de Informação de AKAIKE AIC e de SHWARZ SBIC Os dois IC mais utilizados em análise de séries de tempo serão 𝐴𝐼𝐶 ln𝜎 2 2𝑘 𝑇 𝑙𝑛 𝜖 𝑖 2 𝑇 2𝑘 𝑇 𝑆𝐵𝐼𝐶 ln𝜎 2 𝑘 𝑙𝑛𝑇 𝑇 𝑙𝑛 𝜖 𝑖 2 𝑇 𝑘 𝑙𝑛𝑇 𝑇 Em que 𝜎 2 variância dos resíduos 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑇𝑘 𝑇 número de observações 𝑘 número de parâmetros p q 1 Obs O SBIC é mais rigoroso em modelos com mais parâmetros e menos gl 43 Modelos Univariados do tipo MAq e ARMApq 44 Em um modelo ARp a variável econômica 𝑟𝑡 é relacionada aos seus valores passados e a um termo de erro Todavia nem todas as variáveis econômicas tem essa característica No Mercado Financeiro existem diversas variáveis que se comportam como se de um período para o outro a sua média fosse zero e os seus valores não seriam correlacionados com seus próprios valores passados MODELOS DO TIPO MÉDIASMÓVEIS Moving Average MAq 45 MODELOS DO TIPO MÉDIASMÓVEIS Moving Average MAq Seja por exemplo uma variável yt que represente a variação diária dos preços de uma ação 𝑝𝑡 preço do ativo no dia t 𝑝𝑡1 preço no dia t1 𝑦𝑡 𝑝𝑡 𝑝𝑡1 𝜖𝑡 𝜖𝑡 são os choques inesperados que refletem por exemplo notícias sobre a saúde financeira das corporações a popularidade de produtos que pode subir ou cair entrada de novos competidores em um mercado revelação de escândalos e etc 46 Suponha que impacto total dessas notícias choques inesperados não seja absorvido pelo mercado em apenas um período t e ainda exerça influência no período seguinte Nesse caso teríamos uma defasagem na relação de yt com os choques contemporâneos e de uma defasagem yt ϵt θϵt1 Em que ϵt efeito da nova informação do período t sobre yt e θϵt1 seria a continuação da contribuição do choque no dia período anterior MODELOS DO TIPO MÉDIASMÓVEIS Moving Average MAq MODELOS DO TIPO MÉDIASMÓVEIS Moving Average MAq 47 Def Seja 𝜖𝑡 𝑡 123 uma série de VA iid com média 𝐸 𝜖𝑡 0 e 𝑉𝐴𝑅 𝜖𝑡 𝜎2 Podemos definir um modelo do tipo Média Móvel de ordem q MAq para uma série 𝑟𝑡 como 𝑟𝑡 µ 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳2𝜖𝑡2 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 Em que a série 𝑟𝑡 depende da média μ e dos valores correntes e passados do termo de erro aleatório PROPRIEDADES DOS MODELOS MAq 48 a CASO DO MODELO MA1 rt µ ϵt 𝛳1ϵt1 a1 Média Aplicando E Ert Eµ ϵt 𝛳1ϵt1 Ert Eµ Eϵt E𝛳1ϵt1 Ert µ 0 𝛳1 Eϵt1 µ a2 Variância VARrt E rt Ert 2 Eµ ϵt 𝛳1ϵt1 µ2 E ϵt 2 2𝛳1ϵt ϵt1 𝛳1 2ϵ𝑡1 2 Eϵt 2 2𝛳1𝐸 ϵt ϵt1 𝛳1 2𝐸 ϵ𝑡1 2 𝜎ϵ 2𝛳1 2𝜎ϵ 2 VARrt 1 𝛳1 2𝜎ϵ 2 PROPRIEDADES DOS MODELOS MAq 49 a3 Covariâncias 𝜸𝒊 e Autocorrelações 𝝆𝒊 𝐶𝑂𝑉 𝑟𝑡 𝑟𝑡1 𝛾1 𝐸𝑟𝑡 𝐸 𝑟𝑡 𝑟𝑡1 𝐸 𝑟𝑡1 𝛾1 𝐸µ 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 µ µ ϵt1 𝛳1ϵt2 µ 𝛾1 𝐸𝜖𝑡𝜖𝑡1 𝜖𝑡𝛳1𝜖𝑡2 𝛳1𝜖𝑡1𝜖𝑡1𝛳1 2𝜖𝑡1𝜖𝑡2 Aplicando o operador E 𝛾1 𝐸𝜖𝑡𝜖𝑡1 𝛳1𝐸𝜖𝑡𝜖𝑡2 𝛳1𝐸𝜖𝑡1 2 𝛳1 2𝐸𝜖𝑡1𝜖𝑡2 𝛾1 𝛳1𝜎ϵ2 como 𝑉𝐴𝑅 𝑟𝑡 𝛾0 1 𝛳1 2𝜎ϵ 2 Temse 𝜌1 𝛾1 𝛾0 𝛳1𝜎ϵ2 1𝛳12𝜎ϵ2 𝛳1 1𝛳12 50 Observe que para o Modelo MA1 temos 𝐶𝑂𝑉 𝑟𝑡 𝑟𝑡2 𝐸 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝜖𝑡2 𝛳1𝜖𝑡3 𝛾2 𝐸 𝜖𝑡 𝜖𝑡2 𝛳1𝐸 𝜖𝑡 𝜖𝑡3 𝛳1𝐸 𝜖𝑡1 𝜖𝑡2 𝛳1 2𝐸𝜖𝑡1 𝜖𝑡3 𝛾2 0 e 𝜌2 𝛾2 𝛾0 0 𝛾0 0 Assim sendo o correlograma da ACF de um modelo MA1 terá a seguinte forma Defasagens 𝜌 IC Correlograma para um MA1 Correlograma para um MA1 51 Ou Defasagens 𝜌 IC b GENERALIZANDO PARA UM MODELO MAq 52 Aplicando os mesmos procedimentos utilizados no caso MA1 podese demonstrar os seguintes resultados para um processo MAq 𝑟𝑡 µ 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳2𝜖𝑡2 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 b1 MÉDIA 𝐸 𝑟𝑡 𝐸 µ 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 µ 0 0 0 µ b2 VARIÂNCIA 𝑉𝐴𝑅 𝑟𝑡 𝛾0 𝐸 𝑟𝑡 𝐸 𝑟𝑡 2 𝐸 µ 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 µ µ 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 µ 𝐸 𝜖𝑡 2 𝛳1 2𝜖𝑡1 2 𝛳𝑞 2𝜖𝑡𝑞 2 2𝛳1𝛳2𝜖𝑡1𝜖𝑡2 𝛾0 𝜎ϵ 2 𝛳1 2𝜎ϵ 2 𝛳𝑞 2𝜎ϵ 2 1 𝛳1 2 𝛳2 2 𝛳𝑞 2𝜎ϵ 2 53 b3 COVARIÂNCIAS 𝛾𝑘 𝐸 𝑟𝑡 𝐸 𝑟𝑡 𝑟𝑡𝑘 𝐸 𝑟𝑡𝑘 𝐸 µ 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳2𝜖𝑡2 𝛳𝑘𝜖𝑡𝑘 𝛳𝑘1𝜖𝑡𝑘1 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 µ µ 𝜖𝑡𝑘 𝛳1𝜖𝑡𝑘1 𝛳2𝜖𝑡𝑘2 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑘𝑞 µ 𝐸 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳2𝜖𝑡2 𝛳𝑘𝜖𝑡𝑘 𝛳𝑘1𝜖𝑡𝑘1 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 𝜖𝑡𝑘 𝛳1𝜖𝑡𝑘1 𝛳2𝜖𝑡𝑘2 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑘𝑞 𝛾𝑘 0 0 𝛳𝑘𝐸𝜖𝑡𝑘 2 𝛳𝑘1𝛳1𝐸𝜖𝑡𝑘1 2 𝛳𝑘2𝛳2𝐸𝜖𝑡𝑘2 2 𝛳𝑞𝛳𝑘𝑞 𝐸𝜖𝑡𝑘𝑞 2 0 0 Aplicando novamente o operador E 𝛾𝑘 𝛳𝑘 𝛳𝑘1𝛳1 𝛳𝑘2𝛳2 𝛳𝑞𝛳𝑘𝑞 𝜎ϵ 2 𝑘 123 𝑞 0 𝑘 𝑞 GENERALIZANDO PARA UM MODELO MAq O Correlograma para o MAq 54 O que implica 𝜌𝑘 𝛾𝑘 𝛾0 𝑘 123 𝑞 𝜌𝑘 0 𝑘 𝑞 Logo o gráfico da Função de Autocorrelação ACF do modelo MAq poderá ter coeficientes significativos até no máximo a defasagem de ordem q não necessariamente todos e a Função de Autocorrelação Parcial PACF terá uma queda geométrica dado que um modelo MA pode ser representado com um AR INVERTIBILIDADE Representação de um MA como um AR 55 Seja um MA1 por exemplo com µ 0 yt ϵt 𝛳1ϵt1 ϵt yt 𝛳1ϵt1 ϵt1 yt1 𝛳1ϵt2 yt ϵt 𝛳1yt1 𝛳1ϵt2 ϵt 𝛳1𝑦t1 𝛳1 2ϵt2 Como ϵt2 𝑦t2 𝛳1𝜖t3 temos 𝑦t ϵt 𝛳1𝑦t1 𝛳1 2𝑦t2 𝛳1𝜖t3 𝑦t ϵt 𝛳1𝑦t1 𝛳1 2𝑦t2 𝛳1 3ϵt3 56 Generalizando esse processo e supondo sua estacionaridade 𝛳1 1 θ1 i ϵti 0 quando 𝑖 Teremos como resultado que o MA1 poderá ser rescrito como um AR 𝑦t 𝜃1 𝑖𝑦ti ϵt i1 INVERTIBILIDADE O caso de um MA1 como um AR INVERTIBILIDADE REPRESENTAÇÃO DE UM MODELO AR COM UM MA 57 Supondo um AR1 com 𝜙0 0 temse 𝑦t 𝜙1𝑦t1 𝜖𝑡 que vale também para 𝑦t1 𝜙1𝑦t2 𝜖𝑡1 𝑦t 𝜙1 𝜙1𝑦t2 𝜖𝑡1 𝜖𝑡 𝜙1 2𝑦t2 𝜙1𝜖𝑡1 ϵt Mas 𝑦t2 𝜙1𝑦t3 𝜖𝑡2 𝑦t 𝜙1 2 𝜙1𝑦t3 𝜖𝑡2 𝜙1𝜖𝑡1 ϵt 𝑦t 𝜙1 3𝑦t3 𝜙1 2𝜖𝑡2 𝜙1𝜖𝑡1 ϵt 58 Repetindose sucessivamente esse procedimento temse 𝑦t 𝜙1 𝑦t 𝜙1 i 𝜖𝑡𝑖 𝑖0 Como 𝜙1 𝑦t 0 quando há estacionaridade 𝜙1 1 temse que o modelo AR pode ser rescrito como um modelo MA infinito 𝑦t 𝜙1 i 𝜖𝑡𝑖 𝑖0 MA INVERTIBILIDADE REPRESENTAÇÃO DE UM MODELO AR COM UM MA ALGUNS EXEMPLOS 59 ACF PACF a rt 𝛳1ϵt1 ϵt MA1 60 ACF PACF b rt 𝛳3ϵt3 𝛳2ϵt2 𝛳1ϵt1 ϵt MA3 61 ACF PACF c rt 𝛳2ϵt2 𝛳1ϵt1 ϵt MA2 62 ACF PACF d rt 𝛳6ϵt6 𝛳4ϵt4 𝛳1ϵt1 ϵt MA O MODELO ARMA pq 63 Em algumas situações a ordem de um modelo AR ou de um modelo MA pode ficar alta demais com esses modelos apresentando um elevado número de parâmetros para que se possa captar a dinâmica das séries temporais É consenso em econometria que modelos parcimoniosos em termos de parâmetros são preferíveis Nesse sentido o modelo ARMAp q se torna útil Sua forma geral é 𝑟t δ 𝜙1𝑟t1 𝜙𝑝𝑟tp 𝛳1ϵt1 𝛳𝑞ϵtq 𝜖𝑡 Com 𝐸 𝜖𝑡 0 𝑉𝐴𝑅 𝜖𝑡 𝐸 𝜖t 2 σ𝜖 2 e 𝐶𝑂𝑉 𝜖𝑡 𝜖𝑡𝑖 0 𝑡 𝑖 O MODELO ARMA pq 64 Esse modelo estabelece que 𝑟t é função dos seus valores passados e de uma média ponderada dos valores passados do termo de erro Algumas representações alternativas do modelo ARMA pq podem ser obtidas utilizandose o Operador de Defasagens Backshift Operator B Em que 𝐵𝑟t 𝑟t1 𝑒 𝐵𝑖𝑟t 𝑟ti O MODELO ARMA pq 65 Assim 𝑟t δ 𝜙𝑖𝑟ti p i1 𝜖𝑡 𝛳𝑖ϵti q i1 𝑟t 𝜙1𝑟t1 𝜙2𝑟t2 𝜙𝑝𝑟tp δ 𝜖𝑡 𝛳1ϵt1 𝛳2ϵt2 𝛳𝑞ϵtq 1 𝜙1𝐵 𝜙2𝐵2 𝜙𝑝𝐵𝑝 𝑟t δ 1 𝛳1𝐵 𝛳2𝐵2 𝛳𝑞𝐵𝑞𝜖𝑡 Ou de forma compacta Ф 𝐵 𝑟t Θ𝐵𝜖𝑡 PROPRIEDADES DOS MODELOS ARMA 66 Utilizando procedimentos similares aos aplicados individualmente para ARp e MAq podese demonstrar que para o Modelo ARMA11 teremos a Média µ δ 1𝜙1 b Variância 𝛾0 1𝛳122𝜙1𝛳1 1𝜙12 σ𝜖 2 Obs Assumindo δ 0 𝛾1 1 𝜙1𝛳1 𝜙1 𝛳1 1 𝜙1 2 σ𝜖 2 𝛾2 𝜙1𝛾1 𝛾𝑘 𝜙1𝛾𝑘1 para todo k que 1 67 Assim a ACF terá os seguintes valores 𝜌1 𝛾1 𝛾0 1 𝜙1𝛳1 𝜙1 𝛳1 1 𝜙1 2 1 𝜙1 2 2𝜙1𝛳1 1 𝜙1 2 1 𝜙1𝛳1 𝜙1 𝛳1 1 𝜙1 2 2𝜙1𝛳1 E para maiores defasagens 𝜌𝑘 𝜙1𝜌𝑘1 k 2 Identificando a Ordem de um ARMApq 68 Para o Modelo ARMA pq as deduções os cálculos se tornam mais complexos Ver capítulo 3 de Hamilton 1994 por exemplo Todavia é importante notar que como o modelo ARMApq é uma combinação do ARp com o MAq as funções ACF e PACF apresentarão ambas forma de senoídes amortecidas ou queda exponencial dependendo dos sinais de 𝛟 e 𝚹 Exemplos da ACF e PACF para o ARMA ACF PACF 69 Exemplos da ACF e PACF para o ARMA ACF PACF 70 Exemplos da ACF e PACF para o ARMA ACF PACF 71 Exemplos da ACF e PACF para o ARMA ACF PACF 72 Exemplos da ACF e PACF para o ARMA ACF PACF 73 Identificando a Ordem de um ARMApq 74 Para identificar a ordem pq de um modelo ARMA para uma série temporal podemos montar um quadro com os valores de AIC eou SBIC a partir de várias ordens de modelos estimados Exemplo AIC Nesse exemplo o menor valor indica a especificação ARMA 33 como a mais adequada para a série p q 1 2 3 4 5 1 15089 16545 15121 15089 16545 2 16489 16047 15013 16489 16047 3 15489 15499 14847 15489 15499 4 15574 16841 14956 15574 16841 5 16935 15794 15124 16935 15794 75 Identificando a Ordem de um ARMApq SBIC O menor valor pelo SBIC indicaria a especificação ARMA 32 como a mais adequada p q 1 2 3 4 5 1 15089 16545 15121 15089 16545 2 16489 16047 15013 16489 16047 3 15489 14832 15169 15489 15499 4 15574 16841 14956 15574 16841 5 16935 15794 15124 16935 15794