Não Estacionaridade e Modelos ARIMA

1 NãoEstacionaridade e o Modelo ARIMApdq 2 BIBLIOGRAFIA GRIFFITHS W HILL RC JUDGE GG Learning and Practicing Econometrics John Wiley Sons 1993 CAPÍTULO 20 BROOKS C Introductory Econometrics for Finance 2e Cambridge University Press 2008 CAPÍTULOS 5 e 7 HEIJ C et al Econometric Methods with Applications in Business and Economics Oxford University Press 2004 CAPÍTULO 7 Tópicos 71 a 73 NÃOESTACIONARIDADE TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS E MODELOS ARIMA p d q 3 Os modelos ARMApq partem do pressuposto de que a série 𝑟t seja estacionária em Variância e Covariância Estacionaridade Fraca isto é a E 𝑟t µ t média constante b VAR 𝑟t 𝑡 variância finita c COV 𝑟t 𝑟tk 𝛾k t Só depende de k e não do tempo 4 Todavia na prática diversas séries temporais econômicas e financeiras não apresentam essas propriedades essas séries são chamadas de nãoestacionárias O uso de séries nãoestacionárias em modelos de regressão pode levar ao problema conhecido como regressões espúrias Exemplo Se z e w forem estacionárias dois ruídos brancos por exemplo 𝑧 𝛽0 𝛽1w 𝜖𝑡 𝑟2 baixo 𝛽1 não significativo Mas se z e w não forem estacionárias podemos encontrar 𝑅2 auto e 𝛽1 significativo mesmo que ambas não tenham nenhuma ligação teórica ou empírica 5 Os dois tipos mais comuns de processos não estacionários são a Processos estacionários em tendência TSP Ocorre quando a média µ da série varia de modo determinístico em relação ao tempo isto é 𝑟t pode ser descrita por modelo como 𝑟t 𝑇t 𝜖𝑡 em que 𝑇t é um modelo de tendência determinística do tipo 𝑇t 𝛼0 𝛼1t 𝑇t 𝛼0 𝛼1t 𝛼2𝑡2 e onde 𝜖𝑡 𝑁0 σ𝜖 2 Processos Estacionários em Tendência TSP 6 Essa série é dita estacionária em tendência Trend Stationary Process TSP pois ela é estacionária em torno da tendência isto é eliminandose a tendência determinística de 𝑟t obtemos uma série estacionária Por exemplo 𝑟t 𝑇t 𝑇 t 𝑇t 𝜖𝑡 𝑧t 𝜖𝑡 em que 𝑧t é uma série estacionária tendência µII µIII µI 𝑡 I II III 7 Processos Estacionários por Diferença DSP Suponha o seguinte modelo 𝑟t 𝜙𝑟t1 𝜖𝑡 que também vale para 𝑡 1 𝑒 𝑡 2 𝑟t1 𝜙𝑟t2 𝜖𝑡1 𝑟t2 𝜙𝑟t3 𝜖𝑡2 Substituindo 𝑟t 𝜙 𝜙𝑟t2 𝜖𝑡1 𝜖𝑡 𝜙2𝑟t2 𝜙𝜖𝑡1 𝜖𝑡 𝑟t 𝜙2 𝜙𝑟t3 𝜖𝑡2 𝜙𝜖𝑡1 𝜖𝑡 𝜙3𝑟t3 𝜙2𝜖𝑡2 𝜙𝜖𝑡1 𝜖𝑡 Generalizandose temos após m substituições 𝑟t 𝜙𝑚𝑟tm 𝜙𝑚𝜖𝑡𝑚 𝜙2𝜖𝑡2 𝜙𝜖𝑡1 𝜖𝑡 8 Temos 3 casos possíveis a 𝜙 1 𝜙𝑚 0 quando m O que implica que 𝑟t será estacionária e que um choque na série ocorrido em um período t irá gradualmente perder efeito sobre 𝑟t até desaparecer 𝑏 𝜙 1 𝜙𝑚 𝜙3 𝜙2 𝜙 Esse é o caso não estacionário em que a série terá um comportamento explosivo após um choque em um período t pois em t 1 o efeito sobre 𝑟t será maior e assim por diante 9 𝑐 𝜙 1 𝜙𝑚 1 𝑚 Nesse caso 𝑟t será não estacionária e os choques que ocorrerem em 𝑟t modificarão para sempre o seu valor e nunca desaparecerão 𝑟t 𝑟0 𝜖𝑡 t0 T O que implica que o valor da série em um dado momento t será igual ao seu valor inicial mais a soma dos choques passados 10 O caso 𝜙 1 é chamado de Raiz Unitária e define o tipo de processo não estacionário mais comum em Finanças chamado de Passeio Aleatório Random Walk 𝑟t 𝑟t1 𝜖𝑡 que em alguns casos pode ter um drift 𝑟t µ 𝑟t1 𝜖𝑡 µ 0 𝑟t tenderá a aumentar com maior probabilidade do que cair com o passar do tempo µ 0 𝑟t inverso 11 Uma série DSP pode ser estacionária tomandose a 1º diferença Isto é 𝛥𝑟t 𝑟t 𝑟t1 será estacionária para a maioria das séries financeiras 12 Por ex 𝑟t 𝑟t1 µ 𝑟t1 𝜖𝑡 𝑟t1 𝛥𝑟t µ 𝜖𝑡 Que será estacionário em diferença Obs Devese tomar cuidado ao buscar tornar uma série não estacionária em estacionária pois a aplicação do método apropriado para uma TSP em uma DSP e vice versa pode não levar ao objetivo ou gerar uma nova série com propriedades indesejáveis Processos estacionários por Diferença DSP TESTES DE RAÍZ UNITÁRIA 13 a O TESTE DE DICKEYFULLER EXPANDIDO O objetivo básico é testar as hipóteses 𝐻0 𝑟t possui raiz unitária VS 𝐻1 𝑟t é estacionária Que para um modelo 𝑟t 𝜙𝑟t1 𝜖𝑡 𝐻0 𝜙 1 𝑜𝑢 𝐻1 𝜙 1 Que é o mesmo que 𝑟t 𝑟t1 𝜙𝑟t1 𝑟t1 𝜖𝑡 𝛥𝑟t 𝜙 1𝑟t1 𝜖𝑡 𝛥𝑟t 𝛼 𝑟t1 𝜖𝑡 𝐻0 𝛼 0 𝑜𝑢 𝐻1 𝛼 0 Teste de DickeyFuller Todavia um teste mais abrangente é o Teste de DickeyFuller Expandido ADF 𝛥𝑟t µ βt 𝜙 1 𝑟t1 𝜙𝑘 p1 k1 𝛥𝑟tk 𝜖𝑡 A vantagem desse teste é que incorpora a possibilidade da nãoestacionaridade em função da tendência determinística t de que exista um drift e também permite que 𝑟t possa ser gerado por um processo AR de ordem superior REGRAS DE DECISÃO DO TESTE ADF 14 Dado 𝛥𝑟t µ βt 𝜙 1 𝑟t1 𝜙𝑘 p1 k1 𝛥𝑟tk 𝜖𝑡 Temse 𝑯𝟎 𝒓𝐭 é Estacionária 𝑯𝟏 𝒓𝐭 é NãoEstacionária do tipo TSP DSP ou uma composição Ou seja 𝐻0 𝛽 0 𝑒 𝜙 1 0 é o que se espera encontrar se a série 𝑟t for ESTACIONÁRIA Casos possíveis 15 I 𝜙 1 0µ 0 𝛽 0 𝑟t possui raiz unitária e será um passeio aleatório Não possui tendência determinística nem drift e será estacionária por diferença DSP Casos possíveis 16 II 𝜙 1 0 µ 0 𝛽 0 𝑟t é um passeio aleatório com drift e será DSP Casos possíveis 17 III 𝜙 1 0 µ 0 𝛽 0 𝑟t é um passeio aleatório com drift e tendência determinística Apenas a tomada de diferenças não tornará rt estacionária pois a presença da tendência determinística a mantém não estacionária Ausência de Raiz Unitária 18 Para todos os caso em que 𝜙 1 0 temse que 𝑟t não possui raiz unitária e se 𝛽 for significativamente 0 temos que 𝑟t será uma série que pode se tornar estacionária pela eliminação da Tendência Determinística ou seja é TSP Se além de 𝜙 1 0 𝜷 𝟎 a série 𝒓𝐭 é estacionária e não há necessidade de ser estacionarizada em tendência ou diferença 19 b O TESTE DE PHILLIPSPERRON PP Um problema no teste ADF é que ele considera que 𝜖𝑡 é um Ruído Branco 𝜖𝑡𝑁0 σ𝜖 2 Ou seja que tem variância constante e é não autocorrelacionada Se este não for o caso como geralmente ocorre com dados financeiros o melhor teste seria o de PP dado por 𝛥𝑟t µ 𝛽𝑡 𝜌𝑟t1 𝜖𝑡 Em que µ β e ρ tem seus testest corrigidos para os problemas de Autocorrelação e Heterocedasticidade do termo ϵt A Ordem de Integração de uma Série 20 Uma vez determinada uma raiz unitária em uma série 𝑟t dizemos que ela é I1 Integrada de ordem um E sua primeira diferença 𝛥𝑟t será I0 Para casos de séries não estacionárias de ordem superior teremos I2 quando 𝛥2𝑟t 𝛥𝑟t 𝛥𝑟t1 𝑟t 𝑟t1 𝑟t1 𝑟t2 𝛥2𝑟t 𝑟t 2𝑟t1 𝑟t2 for estacionária e assim por diante Poderemos generalizar e dizer que 𝑟t será não estacionária de ordem d SSS 𝑤t 𝛥𝑑𝑟t for uma série estacionária 21 Obs Uma vez que tenhamos 𝑤t podemos voltar para 𝑟t somando integrando 𝑤t d vezes Para 𝑑 1 𝑟t 𝑤t 𝑤i 0 i 𝑤i t i1 𝑟0 𝑤1 𝑤2 𝑤t Exemplo 𝑟t 𝛥𝑟t 𝑤t 100 110 125 10 15 100 10010110 1001015125 O Modelo ARIMApdq 22 Uma vez descoberta a ordem d de integração de rt e obtida a série 𝛥𝑑𝑟𝑡 estacionária pode se utilizar a metodologia dos modelos ARMA para modelar a série Ou seja o Modelo ARIMA é o Modelo ARMA aplicado a uma série diferenciada Nesse caso teremos um modelo ARIMApdq cujo valor de d referese à ordem de integração da série 23 Sazonalidade e o Modelo SARIMApdqxPDQs 24 BIBLIOGRAFIA HEIJ C et al Econometric Methods with Applications in Business and Economics Oxford University Press 2004 CAPÍTULO 7 Tópicos 71 a 73 ENDERS W Applied Econometric Time Series 3e John Wiley Sons Inc USA 2010 Capítulo 2 SAZONALIDADE Dizemos que uma série temporal é sazonal quando os fenômenos que ocorrem durante o tempo se repetem a cada período idêntico de tempo Dados sazonais tenderão a apresentar correlações significativas com os dados de períodos similares anteriores no tempo Exemplos fáceis de apontar seriam o aumento das vendas de passagens aéreas nas férias ou ainda o aumento das vendas do comércio no período do natal 25 O gráfico do número de visitantes de um Parque da Nova Zelândia ilustra o caso de um padrão sazonal com um picos entre os meses de dezembro e janeiro 27 O Modelo SARIMA pdq x PDQs Até agora restringimos nossa atenção a dados não sazonais e modelos ARIMA não sazonais No entanto os modelos ARIMA também são capazes de modelar uma ampla gama de dados sazonais 29 Um modelo ARIMA sazonal é formado incluindo termos sazonais adicionais nos modelos ARIMA que vimos até agora Está escrito da seguinte forma SARIMA pdq x PDQs Parte não Sazonal do Modelo Parte Sazonal do Modelo 30 A parte sazonal do modelo consiste em termos que são semelhantes aos componentes não sazonais do modelo mas envolvem defazagens do período sazonal Por exemplo para uma série trimestral s 4 um ARIMA 111x1114 será Os termos sazonais adicionais são simplesmente multiplicados pelos termos não sazonais O Modelo SARIMA pdq x PDQs Os modelos do tipo SARIMA teriam portanto a seguinte representação geral 1 𝜙1𝐵 𝜙2𝐵2 𝜙𝑝𝐵𝑝 1 Ф1𝐵𝑠 Ф2𝐵2𝑠 Ф𝑝𝐵𝑝𝑠 1 𝐵 𝑑 1 𝐵𝑠 𝐷𝑟t 1 𝛳1𝐵 𝛳𝑞𝐵𝑞 1 𝛩1𝐵𝑠 𝛩2 2𝑠 𝛩𝑄𝐵𝑄𝑠𝜖𝑡 Ou de forma compacta 𝜑𝐵Ф𝐵𝑠𝛥𝑑𝛥sD𝑟t 𝛳𝐵𝛩𝐵𝑠𝜖𝑡 S 31 Exemplo SARIMA O modelo inclui um termo MA 1 não sazonal um termo MA 1 sazonal sem diferenciação sem termos AR e o período sazonal é S 12 O polinômio não sazonal MA 1 é O polinômio sazonal MA 1 é O modelo é Quando multiplicamos os dois polinômios no lado direito obtemos 33 Exemplo SARIMA O modelo inclui um termo AR 1 não sazonal um termo AR 1 sazonal sem diferenciação sem termos MA e o período sazonal é S 12 O polinômio não sazonal AR 1 é O polinômio sazonal AR 1 é O modelo é Se fizermos para simplificar multiplicando os dois componentes AR e passando todos menos zt para o lado direito obteremos Diferenciação Sazonal 35 É um caso especial aplicável a uma série temporal não estacionária que apresente um comportamento sazonal em função de momentos específicos do ano tais como dias meses e etc com padrões que se repetem ano após ano Nesse caso a diferenciação usual 𝛥𝑟t pode não tornar a série estacionária Precisaríamos utilizar diferenciação sazonal 𝛥s𝑟t 𝑟t 𝑟ts está ligado à defasagem em que o efeito sazonal ocorre 36 Para uma série mensal com efeito sazonal teríamos 𝛥12𝑟t 𝑟t 𝑟t12 Assim 𝛥s 1 𝐵𝑠 operador de diferença sazonal de modo que 𝛥syt 1 𝐵𝑠 yt yt yts Caso necessário 𝛥s 2yt 1 𝐵𝑠 2yt 1 2𝐵𝑠 2𝐵2𝑠 yt 𝛥s 2yt yt 2yts yt2s Em geral 𝛥s dyt 1 𝐵𝑠 dyt Supondo a necessidade de d diferenças sazonais para obter uma série 𝑧t estacionária a partir de uma yt não estacionária teríamos 𝑧t 𝛥s D𝛥𝑑yt 37 Exemplo Suponha uma série não estacionária yt mensal Se d D 1 temse 𝑧t 𝛥12𝛥yt 𝛥12yt 𝛥12yt1 yt yt12 yt1 yt13 𝑧t yt yt12 yt1 yt13 Assim sendo a série yt poderá ser modelada com um modelo SARIMA que leve em conta essa necessidade de diferenciação sazonal e que incorpore a influência de termos defasados sazonais tanto para yt quanto para 𝜖𝑡 ACF e PACF de Modelos SARIMA 38 A parte sazonal de um modelo AR ou MA será vista nas defasagens sazonais do PACF e ACF Por exemplo um ARIMA 000x00112 o correlograma mostrará um pico no lag 12 no ACF mas nenhum outro pico significativo queda exponencial nas defasagens sazonais do PACF ou seja nas defasagens 12 24 36 S ACF e PACF de Modelos SARIMA 39 Da mesma forma para um ARIMA 000x10012 o correlograma mostrará Queda exponencial nas defasagens sazonais da ACF Um único pico significativo no lag 12 no PACF Ao considerar as ordens sazonais apropriadas para um modelo ARIMA sazonal restrinja a atenção às defasagens sazonais O procedimento de modelagem é quase o mesmo que para dados não sazonais exceto que precisamos selecionar os termos AR e MA sazonais bem como os componentes não sazonais do modelo S Identificação dos modelos SARIMA 40 Encontrar d e D observando a ACF e a PACF Valores elevados e persistentes para ACF e PACF no lags iniciais e sazonais indicam a necessidade de diferenciar eou diferenciar sazonalmente Após tornar a série estacionária podemos usar o quadro a seguir 41 Síntese dos Padrões Teóricos Típicos das Funções de Autocorrelação Tipo de Modelo Padrão Típico da ACF Padrão Típico da PACF ARp Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags iniciais Picos significativos nos p lags do modelo MAq Picos significativos nos q lags do modelo Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags iniciais ARMApq Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags iniciais Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags iniciais SARP Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags sazonais Picos significativos nos P lags sazonais do modelo SMAQ Picos significativos nos Q lags sazonais do modelo Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags sazonais SARMAPQ Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags sazonais Queda exponencial ou na forma de uma senóide amortecida nos lags sazonais 42 Previsão com Modelos Univariados 43 BIBLIOGRAFIA GRIFFITHS W HILL RC JUDGE GG Learning and Practicing Econometrics John Wiley Sons 1993 CAPÍTULO 20 HEIJ C et al Econometric Methods with Applications in Business and Economics Oxford University Press 2004 CAPÍTULO 7 Tópicos 71 a 73 PREVISÕES 44 A elaboração de previsões sobre os valores futuros de uma série temporal é uma das principais aplicações da análise estatística de dados No âmbito das finanças retornos risco e etc controladoria em empresas vendas custos lucro e etc da macroeconomia desemprego taxa de câmbio risco país e etc se encontram diversas situações em que a possibilidade de minimização da incerteza quanto ao futuro se configura como uma necessidade vital 45 Assim sendo a especificação de modelos de previsão sujeitos aos menores erros possíveis pode significar maiores lucros vendas bemestar social e eficiência econômica em geral Os modelos de séries temporais vem ao longo do tempo se destacando dentre outros motivos pela sua qualidade preditiva e praticidade para fins de previsão quando comparados aos modelos econométricos de regressão múltipla tradicionais 46 Isso ocorre pois na elaboração de um modelo de previsão com séries temporais geralmente os únicos insumos são os dados sobre os valores passados e presentes das séries 𝑟t 𝑟t1 𝑟t2𝑟tk para que se possa prever os seus valores futuros 𝑟 t1 𝑟 t2𝑟 tk Por outro lado para que se possa prever valores para a série yt de um modelo como yt f x1t x2t xet precisamos primeiramente obter previsões sobre os valores futuros de x1t x2t xet O que impõe sérias restrições sobre esse tipo de modelos para fins de previsão ALGUMAS DEFINIÇÕES BÁSICAS 47 Suponha que estamos no período de tempo t e interessados no valor que uma variável 𝑟 possuirá 𝑙 períodos à frente Temos que t origem da previsão 𝑙 horizonte de previsão 𝑟 t𝑙 valor previsto para a variável 𝑟 𝑙 períodos à frente a partir da origem t 𝑟t𝑙 valor verdadeiro de 𝑟 no período 𝑡 𝑙 A Amostra de Controle 48 Um recurso muito comum para testar a qualidade preditiva de um modelo implica na omissão de uma parte da amostra 10 dos dados por exemplo antes da especificação do ARIMApdq apropriado e posterior comparação dos valores previstos com os valores omitidos 𝑡0 t 𝑡𝑙 Intervalo para previsões dentro da amostra Intervalo para previsões fora da amostra 49 Se o modelo ARIMA puder prever bem será explicitado depois os valores dentro da amostra podese supor que seja uma boa base para elaboração do modelo de previsão O modelo pode ser melhorado pela incorporação da parte omitida da amostra Partese então para a realização de previsões fora da amostra O OPERADOR DE ESPERANÇA CONDICIONAL 50 Def A esperança matemática ou média de uma variável aleatória 𝐸 𝑟t µ é uma medida do valor médio provável de 𝑟 independente do tempo Todavia um conceito muito útil em previsões é o dado pela esperança condicional de 𝑟 que depende do momento no tempo em que se está formalmente 𝐸 𝑟t1 𝐼t E𝑟t1𝑟t 𝑟t1 𝑟t2 Será o valor esperado para 𝑟 no período t 1 dado o conjunto de informações 𝐼t disponível no momento 𝑡 em que se faz a previsão PREVISÕES COM MODELOS ARIMApdq 51 Dada uma série 𝑟 não estacionária em que 𝛥𝑑𝑟t 𝑤t é uma série estacionária temos que o modelo ARMApq para a série estacionária 𝑤t será 𝑤t 𝜙1𝑤t1 𝜙2𝑤t2 𝜙𝑝𝑤tp 𝜖𝑡 𝛳1𝜖𝑡1 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞 δ Para obter uma previsão r t 𝑙 devemos primeiramente obter a previsão 𝑤 𝑡𝑙 um período à frente da série 𝑤 a partir da origem 𝑡 52 Como 𝑤t1 𝜙1𝑤t 𝜙𝑝𝑤tp1 𝜖𝑡1 𝛳1𝜖𝑡 𝛳𝑞𝜖𝑡𝑞1 δ Calculamos a previsão 𝑤 t1 aplicando o operador de esperança condicional 𝑤 t 1 E 𝑤t1 𝑤t 𝑟t1 𝜙1𝑤t 𝜙2𝑤t1 𝜙𝑝𝑤tp1 𝛳1𝜖 t 𝛳𝑞𝜖 tq1 δ Obs E 𝜖𝑡1 0 Resíduos Choques Observados Previsões para vários períodos futuros 53 Assim a previsão para 2 períodos à frente 𝑤 t 2 pode ser obtida por 𝑤 t 2 E 𝑤t2 𝑤 t 1 𝑤t 𝑤t1 𝑤 t 2 𝜙1𝑤 t 1 𝜙2𝑤t 𝜙𝑝𝑤tp2 𝛳2𝜖 t 𝛳𝑞𝜖 tq2 δ Generalizando para l períodos à frente podese obter recursivamente 𝑤 t 𝑙 𝜙1𝑤 t 𝑙 1 𝜙2𝑤 t 𝑙 2 𝜙𝑙𝑤t 𝜙𝑝𝑤tp𝑙 𝛳𝑙𝜖 t 𝛳𝑞𝜖 tq𝑙 δ 54 Obs Caso 𝑟t seja estacionária basta substituir 𝑤 por 𝑟 nesta equação e aplicar o mesmo raciocínio Uma vez que a diferença 𝑤t foi prevista podemos prever o valor da série original 𝑟t somando 𝑤t d vezes Por exemplo se a ordem de diferenciação for d 1 a previsão para 𝑟 l períodos à frente será 𝑟 t 𝑙 𝑟t 𝑤 t 1 𝑤 t 2 𝑤 t 𝑙 55 Def O Erro de Previsão para uma observação l será dado pela diferença entre o seu valor verdadeiro observado e a sua previsão 𝜖𝑡 𝑙 𝑟t𝑙 𝑟 t 𝑙 Os erros de previsão terão duas propriedades desejáveis i 𝐸 𝜖𝑡 𝑙 𝐸 𝑟t𝑙 𝑟 t 𝑙 𝐸 𝜖𝑡𝑙 0 o que indicaria que a previsão de 𝑟t𝑙 é nãoviesada ii A Variância do Erro de Previsão dada por 𝜎𝑓 2 𝐸 𝜖𝑡 𝑙 2 𝐸 𝜖𝑡𝑙2 𝜎2 seja a menor variância possível entre todas as possíveis previsões feitas a partir de modelos de regressão linear ERROS DE PREVISÃO Intervalo de Confiança da Previsão 56 Se o erro de previsão for normalmente distribuído com média zero e variância 𝜎2 podese calcular o Erro Normalizado a partir de 𝜆 𝑟 t 𝑙 𝑟t𝑙 𝜎 Onde 𝜎 é o Erro Padrão da Previsão Dado que λ é normalmente distribuído com média 0 e desvio padrão 1 pode se determinar um intervalo de confiança de 95 por exemplo utilizandose o resultado da teoria de probabilidades de que 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝜆005 𝑟 t 𝑙 𝑟t𝑙 𝜎 𝜆005 095 Onde 𝜆005 é obtido da tabela de distribuição normal com nível de significância de teste α de 5 57 Assim o Intervalo de Confiança da Previsão de 5 será 𝑟 t 𝑙 𝜆005𝜎 𝑟t𝑙 𝑟 t 𝑙 𝜆005𝜎 Assim sendo à medida que os valores reais da série forem observados e se localizem dentro do intervalo de confiança isso indicaria que o modelo está gerando previsões satisfatórias Mas se os valores reais futuros da série não se localizarem dentro do intervalo de confiança teríamos que o modelo de previsão não estaria apresentando boa performance ERRO QUADRÁTICO MÉDIO EQM 58 Sejam 𝑇 Tamanho total da amostra incluindo os dados dentro da amostra para a previsão mais os dados fora da amostra omitidos no processo de geração das previsões 𝑡1 Número que indica a posição da 1º previsão a ser feita 1 2 3 t 15 𝑡1 16 T20 𝐸𝑄𝑀 𝑟t𝑙 𝑟 t 𝑙 2 𝑇 𝑡𝑡1 𝑇 𝑡1 1 Dados dentro da amostra Dados fora da amostra ERRO ABSOLUTO MÉDIO EAM ou MAE 59 𝐸𝐴𝑀 𝑟𝑡𝑙 𝑟 t 𝑙 𝑇 𝑡𝑡1 𝑇 𝑡1 1 Estas duas medidas dependem da unidade de medida das variáveis previstas e devem ser usadas para comparar previsões para a mesma série feitas por diferentes modelos Quanto menores os erros maior será a capacidade preditiva do modelo ERRO ABSOLUTO PERCENTUAL MÉDIO EAPM ou MAPE 60 Caso haja interesse na análise e interpretação dos erros de previsão gerados podemos utilizar medidas independentes da unidade de medida de 𝑟t para comparar modelos para séries diferentes Uma medida mais apropriada será 𝐸𝐴𝑃𝑀 100 𝑇 𝑡1 1 𝑟𝑡𝑙 𝑟 t 𝑙 𝑟t𝑙 𝑇 𝑡𝑡11 Obs 0 𝐸𝐴𝑃𝑀 100 EAPM pode ser interpretado em termos percentuais