Cointegração e Modelos Vetoriais com Correção de Erro (VEC)

1 Cointegração e Modelos Vetoriais com Correção de Erro VEC 2 BIBLIOGRAFIA GRIFFITHS W HILL RC JUDGE GG Learning and Practicing Econometrics John Wiley Sons 1993 CAPÍTULO 21 BROOKS C Introductory Econometrics for Finance 2e Cambridge University Press 2008 CAPÍTULO 7 HEIJ C et al Econometric Methods with Applications in Business and Economics Oxford University Press 2004 CAPÍTULO 7 Tópicos 75 e 76 JOHNSTON J DINARDO J Métodos Econométricos 4ª edição McGrawHill de Portugal Lisboa 2001 CAPÍTULO 9 COINTEGRAÇÃO E MODELOS VETORIAIS COM CORREÇÃO DE ERROS VEC 3 Granger e New Bold 1974 suporam 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝑣𝑡 e 𝑥𝑡 𝑥𝑡1 𝑣𝑡 dois passeios aleatórios gerados por simulação A regressão de 𝑦𝑡 em função de 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝛽𝑥𝑡 𝜖𝒕 apresentou em geral 𝑅2 auto e significância estatística para os coeficientes Todavia como 𝑦𝑡 é I1 e 𝑥𝑡 também era I1 os resíduos 𝜖𝑡 também foram I1 Ou seja os resíduos desse tipo de equação que envolve suas séries não estacionárias serão em geral não estacionários e portanto não terão média variância e covariância constantes 4 Todavia em algumas circunstâncias a regressão de duas séries I1 pode resultar em resíduos estacionários 𝜖𝑡𝐼 0 Esse tipo de resultado implica que as séries 𝑦𝑡𝐼1 e 𝑥𝑡𝐼1 são cointegradas Ou seja as séries compartilham a mesma tendência estocástica e tendem a caminhar junto ao longo do tempo Exemplo do bêbado e do cachorro 5 Bar Casa Bêbado Cachorro Parâmetro de Cointegração e Erro de Equilíbrio 6 Temse portanto que a tendência em uma variável cancela a da variável cointegrada de forma que se pode estabelecer uma relação de equilíbrio de longo prazo com 𝑦𝑡 𝛽𝑥𝑡 𝜖𝒕 regressão de cointegração 𝜖𝒕 𝑦𝑡 𝛽𝑥𝑡 0 𝑦𝑡 𝛽𝑥𝑡 parâmetro de cointegração Assim o valor de 𝜖𝑡 mensura o quanto o sistema está afastado do equilíbrio e será chamado nesse contexto de Erro de Equilíbrio 7 𝑦𝑡 t t t t 𝑦𝑡 𝑥𝑡 𝜖0 𝑥𝑡 𝑥𝑡 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝜖 0 𝜖0 Supondo 𝛽 1 Exemplos 8 I Função Consumo Macroeconômica Em geral a análise do nível de Consumo Agregado Ca e do Produto Interno Bruto y de uma economia vai mostrar que essas variáveis são não estacionárias e do tipo 𝐶𝑎𝐼1 e 𝑦𝐼1 Todavia 𝐶𝑎 𝛽0 𝛽1𝑦 𝜖𝑡 com 𝜖𝑡𝐼0 pois caso contrário o consumo poderia flutuar livremente em relação à 𝑦 ultrapassando 𝑦𝑡 de forma permanente o que não tem sentido economicamente 9 II Relação entre Preços Futuros e Preços Spot Caso não ocorra a igualdade em t os agentes poderiam comprar a futuro e vender no spot t 10 Obs Em alguns casos a cointegração ocorrerá não entre um par de variáveis mas entre um conjunto de variáveis Por exemplo Seja o modelo Macro que em geral são I1 𝑚𝑡 𝛽0 𝛽1𝑝𝑡 𝛽2𝑦𝑡 𝛽3𝑟𝑡 𝜖𝑡 Em que 𝑚𝑡 é a demanda da moeda 𝑝𝑡 é o nível de preços 𝑦𝑡 é a renda real 𝑟𝑡 é a taxa de juros 𝜖𝑡 é o termo de erro estacionário 11 𝜖𝑡 𝑚𝑡 𝛽0 𝛽1𝑝𝑡 𝛽2𝑦𝑡 𝛽3𝑟𝑡 Se 𝜖𝑡 for I1 a hipótese de equilíbrio macroeconômico para o mercado monetário seria violada e os erros seriam cumulativos Portanto para o caso de n variáveis 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑥𝑛𝑡 com 𝛽1 𝛽2 𝛽𝑛 o equilíbrio de longoprazo implica 𝛽1𝑥1𝑡 𝛽2𝑥2𝑡 𝛽𝑛𝑥𝑛𝑡 0 e o erro de equilíbrio será 𝜖𝑡 𝛽𝑥𝑡 TESTE DE ENGLEGRANGER PARA COINTEGRAÇÃO 12 Suponha que duas séries yt e zt sejam supostamente I1 e que se acredite que exista uma relação de equilíbrio entre elas O Teste de Cointegração de EngleGranger implica nos seguintes passos 1º Verifique a estacionaridade de cada série e identifique suas respectivas ordens de integração Podese usar um teste como o ADF ou PP para este fim Se as duas variáveis forem I0 não há necessidade de se prosseguir pois os modelos anteriores são aplicáveis Se forem integradas de ordem diferente ytI 1 e ztI2 por exemplo elas não são cointegradas 13 2º Estime a relação de equilíbrio de longo prazo Se yt e zt forem I1 no 1º passo estime a equação yt β1zt 𝜖𝑡 Obtenha a nova série 𝜖 𝑡 e aplique o teste de DickeyFuller na forma 𝛥𝜖 𝑡 𝛼𝜖 𝑡1 µt Sem intercepto pois 𝜖𝑡 são resíduos de um modelo Se não pudermos rejeitar a hipótese 𝐻0 𝛼 0 nós podemos concluir que os resíduos têm raiz unitária Obs lembrese que 𝛥𝜖𝑡 𝛼𝜖𝑡1 µt 𝜖𝑡 𝜖𝑡1 𝛼𝜖𝑡1 µt 𝜖𝑡 𝜖𝑡1 𝛼𝜖𝑡1 µt 𝜖𝑡 1 𝛼𝜖𝑡1 µt Se 𝛼 0 𝜖𝑡 𝜖𝑡1 µt Passeio aleatório Raiz unitária 14 Todavia se o teste rejeitar a hipótese de Raiz Unitária concluímos que os resíduos são estacionários e que as séries yt e zt são cointegradas Assim sendo uma vez que yt e zt forem cointegradas o modelo mais apropriado para sua modelagem será o modelo VAR com Correção de Erros ou simplesmente VEC Vector Error Correction Model dado por 𝛥yt 𝛼1 𝛼2 𝑦𝑡1 β1zt1 π𝑖𝛥yti ii 𝛾𝑖𝛥zti ii µyt 𝛥zt 𝛼3 𝛼4 𝑦𝑡1 β1zt1 δ𝑖𝛥yti ii 𝜆𝑖𝛥zti ii µzt Em que β1 é o parâmetro de cointegração µyt e µzt são ruídos brancos 𝛼i δ𝑖 𝜆𝑖 π𝑖 𝛾𝑖 são os parâmetros do modelo 15 Granger e Engle indicam que o sistema pode ser estimado com 𝛥yt 𝛼1 𝛼2𝜖 𝑡1 π𝑖𝛥yti ii 𝛾𝑖𝛥zti ii µyt 𝛥zt 𝛼3 𝛼4𝜖 𝑡1 δ𝑖𝛥yti ii 𝜆𝑖𝛥zti ii µzt Uma vez que 𝜖 𝑡1 é uma estimativa do desvio do equilíbrio de longoprazo no período t 1 O VEC pode ser estimado usando a mesma metodologia do VAR Estimamos portanto o Modelo 𝑦𝑡1 𝛽0 β1𝑧𝑡1 𝜖𝑡 pode estar ou não incluído Termo de correção de erro Interpretação do VEC 16 𝑦 varia entre 𝑡 𝑒 𝑡 1 em função de variações na variável explicativa 𝑧 e de suas defasagens e em parte em função do desequilíbrio que existia no período anterior dado por 𝜖 𝑡1 𝛼2 e 𝛼4 são parâmetros que descrevem a velocidade de ajustamento das séries 𝑦 e 𝑧 ao desvio do equilíbrio de longoprazo apresentado pelas séries no último período Assim pequenos valores para esses parâmetros indicariam que as séries não responderiam rapidamente a um erro de equilíbrio apresentado no último período e viceversa VERIFICAÇÃO DA ADEQUAÇÃO DO MODELO E ANALÍSE DOS RESULTADOS 17 Verificar se µt são correlacionados Caso forem ampliar o número de defasagens Os coeficientes 𝛼2 e 𝛼4 indicam a velocidade de ajustamento e mostram a dinâmica do sistema Se 𝛼4 for zero a mudança em z não responde ao desvio do equilíbrio de Longo Prazo em 𝑡 1 Verificar as Funções de Resposta ao Impulso que devem convergir para zero após um tempo