Modelos Multivariados de Séries Temporais: Teste de Causalidade de Granger

MODELOS MULTIVARIADOS DE SÉRIES TEMPORAIS O MODELO DE AUTO REGRESSÃO VETORIAL VAR 1 2 BIBLIOGRAFIA GRIFFITHS W HILL RC JUDGE GG Learning and Practicing Econometrics John Wiley Sons 1993 CAPÍTULO 21 HEIJ C et al Econometric Methods with Applications in Business and Economics Oxford University Press 2004 CAPÍTULO 7 Tópicos 75 e 76 BROOKS C Introductory Econometrics for Finance 2e Cambridge University Press 2008 CAPÍTULOS 6 Tópicos 611 a 613 JOHNSTON J DINARDO J Métodos Econométricos 4ª edição McGrawHill de Portugal Lisboa 2001 CAPÍTULO 9 Introdução 3 Como uma variável econômica eou financeira 𝑦 geralmente possui correlação com outras variáveis da economia os modelos ARIMA podem deixar de fora importantes informações para a modelagem e previsão de 𝑦 Assim um modelo que melhorasse a capacidade de previsão de 𝑦1 por exemplo levando em conta outras variáveis 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑝 seria desejável O Teste de Causalidade de Granger Um passo preliminar no processo de análise multivariada de séries temporais implica na implementação de um Teste de Causalidade de Granger que consiste em 4 𝑦𝑡 𝛼𝑖𝑥𝑡𝑖 𝑛 𝑖1 𝛽𝑖𝑦𝑡𝑖 𝜖1𝑡 𝑛 𝑖1 𝑥𝑡 𝛳𝑖𝑦𝑡𝑖 𝑛 𝑖1 𝜙𝑖𝑥𝑡𝑖 𝜖2𝑡 𝑛 𝑖1 Se apenas 𝛼𝑖 for 0 x y Causalidade unidirecional de x sobre y Se apenas 𝛳𝑖 for 0 y x Causalidade unidirecional de y sobre x Se ambos forem significativos teremos Causalidade bidirecional e se nenhum for significativo teremos ausência de causalidade de Granger O Teste de Causalidade de Granger A Idéia central do Teste de Causalidade de Granger consiste em avaliar se defasagens em uma variável X ajudam a melhorar as previsões de uma outra variável Y e viceversa Quando isso ocorre dizemos que há Causalidade no sentido definido por Granger da variável X sobre a variável Y por exemplo Essa causalidade pode ser Uni ou Bidirecional dependendo do resultado do teste 5 Causalidade de Granger 6 Em Síntese Causalidade no sentido de Granger Dadas duas séries z e w podemos ter 𝒛 𝒘 w causa z no sentido de Granger 𝒘 𝒛 z causa w no sentido de Granger 𝒘 𝒛 causalidade bidirecional no sentido de Granger 𝐰 𝐳 ausência de causalidade no sentido de Granger Causalidade implica em melhoria na capacidade de previsão e não uma relação causal tradicional embasada em teorias O Modelo de AUTOREGRESSÃO VETORIAL VAR 7 É um modelo que busca melhorar a capacidade de previsão de 𝑦1 por exemplo levando em conta outras variáveis 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑝 Possuem a seguinte estrutura geral 𝒀𝒕 𝛅 Ф𝒕𝒀𝒕𝟏 Ф𝒑𝒀𝒕𝒑 𝝐𝒕 𝜣𝟏𝝐𝒕𝟏 𝜣𝒒𝝐𝒕𝒒 Modelo ARMA Vetorial ou VARMA em que 8 𝒀𝒕 𝑦1𝑡 𝑦2𝑡 𝑦3𝑡 𝑦𝑘𝑡 são séries temporais e Ф𝒊 𝜙11𝑝 𝜙1𝑘𝑝 𝜙𝑘1𝑝 𝜙𝑘𝑘𝑝 𝑖 12 𝑃 𝛅 𝜙10 𝜙20 𝜙𝑘0 𝜣𝒊 𝛳11𝑞 𝛳1𝑘𝑞 𝛳𝑘1𝑞 𝛳𝑘𝑘𝑞 𝑞 12 𝑄 e 𝝐𝒕 é um vetor de dimensão k do tipo Ruído Branco Multivariado com E𝝐𝒕 𝟎 e E𝝐𝒕𝝐𝒕 Г𝜖 com 𝝐𝒕 e 𝝐𝒔 independentes st O VARp 9 Fazendo q0 em na equação geral teremos o modelo VARp 𝒀𝒕 Ф𝟏𝒀𝒕𝟏 Ф𝒑𝒀𝒕𝒑 𝝐𝒕 E fazendo p0 teremos o modelo VMAq 𝒀𝒕 𝝐𝒕 𝜣𝟏𝝐𝒕𝟏 𝜣𝒒𝝐𝒕𝒒 Obs Todavia como os modelos VARp são os mais comuns e geralmente aplicados vamos nos ater a este modelo Processos Estocásticos Vetoriais Estacionários 10 Um processo estocástico vetorial será estacionário se iTodos os vetores aleatórios 𝒀𝒕 tiverem o mesmo vetor médio µ E𝒀𝒕 𝐸 𝑦1𝑡 𝑦2𝑡 𝑦𝑘𝑡 E𝑦1𝑡 𝐸𝑦2𝑡 𝐸𝑦𝑘𝑡 µ1 µ2 µ𝑘 µ iiAs variâncias de todas as variáveis aleatórias forem finitas 𝑉𝐴𝑅 𝑦𝑖𝑡 𝑖 12 𝑘 𝑒 𝑡 iiiAs matrizes de covariâncias dos vetores 𝒀𝒕 e 𝒀𝒕𝒌 separados no tempo por k períodos não dependerem de t mas apenas de k 𝐶𝑂𝑉 𝒀𝒕 𝒀𝒕𝒌 𝐸 𝒀𝒕 µ 𝒀𝒕𝒌 µ Г𝑌 𝑡 Exemplo 11 Suponha o caso do modelo VAR1 para duas séries de retornos 𝑦1 𝑒 𝑦2 temse para 𝑘 2 𝒀𝒕 𝑦1𝑡 𝑦2𝑡 𝝐𝒕 𝜖1𝑡 𝜖2𝑡 logo o VAR1 será 𝒀𝒕 𝛅 Ф𝒀𝒕𝟏 𝝐𝒕 Em que 𝒀𝒕 𝑦1𝑡 𝑦2𝑡 𝛅 𝜙10 𝜙20 Ф 𝜙11 𝜙12 𝜙21 𝜙22 𝝐𝒕 𝜖1𝑡 𝜖2𝑡 12 Ou seja 𝑦1𝑡 𝜙10 𝜙11𝑦1𝑡1 𝜙12𝑦2𝑡1 𝜖1𝑡 𝑦2𝑡 𝜙20 𝜙21𝑦1𝑡1 𝜙22𝑦2𝑡1 𝜖2𝑡 Assim 𝜙𝑖𝑗 será o elemento ij de Φ em que i indica a equação e j a variável a que se refere 𝜙𝑖0 será o intercepto da iésima equação 𝜙12 por exemplo mostra a dependência linear entre 𝑦1𝑡 𝑒 𝑦2𝑡1 dado 𝑦1𝑡1 ou seja é o efeito de 𝑦2𝑡1 na Previsão de 𝑦1𝑡 Se 𝜙12 0 𝑦1𝑡 não dependerá de 𝑦2𝑡1 depende apenas do seu próprio passado 13 O mesmo tipo de análise vale para 𝜙21 se 𝜙21 0 𝑒 𝜙12 0 há um Feedback retroalimentação entre as séries Se apenas um for 0 existirá uma relação unidirecional e se forem ambos 0 as séries não estarão ajudando a previsão umas das outras Isso vai de acordo com o conceito de Causalidade no sentido de Granger conforme visto FUNÇÕES DE RESPOSTA A IMPULSOS 14 De forma similar ao que foi feito para os modelos autoregressivos podese demonstrar ver Hamilton 1994 que um modelo VAR estacionário pode ser escrito como um VMA 𝒀𝒕 𝝐𝒕 𝚿𝟏𝝐𝒕𝟏 𝚿𝟐𝝐𝒕𝟐 𝚿𝒒𝝐𝒕𝒒 Com 𝒀𝒕𝒔 𝝐𝒕 𝜳𝑠 Matrizes e vetores Essas matrizes são multiplicadores dinâmicos do sistema e representam a resposta do modelo a um choque unitário em cada uma das variáveis 15 O elemento da iésima linha e jésima coluna de 𝜳𝑠 indicará a conseqüência de uma variação de uma unidade na inovação na j ésima variável no período t 𝝐𝒋𝒕 para o valor da iésima variável no tempo 𝑡 𝑠 𝑦𝑖 𝑡 𝑠 tudo o mais constante 16 O gráfico do elemento da linha i e coluna j de 𝜳𝑠 dado por 𝑌𝑖𝑡𝑠 𝜖𝑗𝑡 obs não são matrizes como uma função de s será chamada de Função de Resposta a Impulsos e descreve a resposta 𝑌𝑖 𝑡𝑠 a um impulso em 𝑌𝑗𝑡 ceteris paribus Ou seja um choque na iésima variável de um sistema VAR não terá impacto apenas sobre aquela variável mas será transmitido para as demais variáveis do sistema Exemplo 17 1 2 3 s Leads Nesse exemplo o efeito do choque em 𝑦𝑗 sobre 𝑦𝑖 se dissipa após s períodos 18 1 2 3 s Leads O impacto maior só se verifica após 3 períodos de tempo Exemplo numérico 19 𝒚𝒕 Ф𝒚𝒕𝟏 𝝐𝒕 𝑦1𝑡 𝑦2𝑡 05 03 00 02 𝑦1𝑡1 𝑦2𝑡1 𝜖1𝑡 𝜖2𝑡 Que pode ser escrito como 𝑦1𝑡 05𝑦1𝑡1 03𝑦2𝑡1 𝜖1𝑡 𝑦2𝑡 00𝑦1𝑡1 02𝑦2𝑡1 𝜖2𝑡 Dada a Invertibilidade de um VARp em um VMA 𝒚𝒕 𝝐𝒕 Ф𝝐𝒕𝟏 Ф𝟐𝝐𝒕𝟐 Ф𝒉𝝐𝒕𝒉 𝑦1𝑡 𝑦2𝑡 𝜖1𝑡 𝜖2𝑡 05 03 00 02 𝜖1𝑡1 𝜖2𝑡1 05 03 00 02 𝒉 𝜖1𝑡ℎ 𝜖2𝑡ℎ 20 Supondo o tempo 𝑡 0 1 um choque unitário em 𝑦1𝑡 ou 𝜖1𝑡 no momento 𝑡 0 implica 𝑦0 1 0 05 03 00 02 0 0 0 1 0 𝑦1 0 0 05 03 00 02 1 0 0 05 030 01 020 05 0 𝑦2 0 0 05 03 00 02 0 0 05 03 00 02 05 03 00 02 1 0 0 𝑦2 025 021 000 004 1 0 025 00 𝑦3 0 0 05 03 00 02 𝟑 1 0 0 𝑦3 0125 0117 00 0008 1 0 0125 0 Ф𝟐 Plotando o gráfico da função de resposta a impulso em relação a um choque unitário em no tempo temos 21 Sugestão Façam o mesmo desenvolvimento para o caso de um choque unitário em 𝒚𝟐 no período 𝒕 𝟎 1 𝑦𝑡 Resposta de 𝒚𝒕 a um choque unitário em 𝝐𝟏𝒕 Resposta de 𝑦1 Resposta de 𝑦2 05 025 0125 0 1 2 3 t Determinação da ordem p de um modelo VARp 22 Observar os valores do Critério de Informação de Akaike Multivariado MAIC e optar pelo modelo que o minimizar MAIC p 𝑙𝑛 detГ𝑝 2 𝑀2𝑝 𝑇 Em que 𝑀 𝑛º de variáveis no sistema 𝑇 tamanho da amostra Г estimativa da matriz de variânciacovariância dos resíduos das equações do VAR PREVISÕES COM O VARp 23 𝒀𝒕 𝑙 𝑬𝒕 𝒀𝒕𝒍 𝛅 Ф𝟏𝑬𝒕 𝒀𝒕𝒍𝟏 Ф𝒑𝑬𝒕 𝒀𝒕𝒍𝒑 𝒀𝒕 𝑙 𝛅 Ф𝟏𝒀𝒕𝒍 𝟏 Ф𝒑𝒀𝒕𝒍 𝒑 Em que se usou 𝒀𝒕 𝑙 𝑖 𝒀𝒕𝒍𝒊 𝑖 𝑙 e 𝑬𝒕 𝜖𝒕𝒍 0 𝑙 1