Lista de Exercícios sobre Análise e Previsão de Séries Temporais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Bacharelado em Controladoria Finanças Análise e Previsão de Séries Temporais CIC 134 1ª Lista de Exercícios Resolver Individualmente as Questões e Entregar ao Professor na aula do dia 27 de abril NÃO SERÁ ACEITA ENTREGA APÓS A AULA uma vez que as respostas serão discutidas em sala nesse dia PARTE TEÓRICA Prof Wagner Moura Lamounier 1 Escrever as expressões a seguir na forma de equações em diferenças 2 a ty t t y y b 10 9 2 t t y y c 0 2 ty d 2 Encontre a solução para as seguintes equações de diferenças finitas 𝑎 𝑦𝑡1 𝑦𝑡 2 𝑐𝑜𝑚 𝑦0 15 𝑏 𝑦𝑡1 09𝑦𝑡 3 Explique o conceito de multiplicador dinâmico e apresente a sua expressão para o caso de uma equação de diferenças de segunda ordem 4 Uma importante aplicação das equações de diferenças finitas se dá pelo modelo da teia de aranha Cobweb Model para explicar a dinâmica dos mercados de algumas commodities agropecuárias Explique esse modelo e discuta os casos possíveis de comportamento dinâmico que podem surgir Ilustre sua resposta com gráficos 5 Defina detalhadamente os seguintes conceitos a Processos Estocásticos b Estacionaridade Estrita c Estacinoaridade Fraca d Ruído Branco e Equações de YuleWalker f Critério de Informação g Operador de Atraso h Função de Autocorrelação Parcial i Correlograma 6 Seja o seguinte modelo MA2 𝑦𝑡 𝜀𝑡 𝜃1𝜀𝑡1 𝜃2𝜀𝑡2 Demonstre matematicamente para esse modelo a A Média de 𝑦𝑡 b A variância de 𝑦𝑡 c As Autocovariâncias de ordem 1 2 e 3 d As autocorrelações de ordem 1 2 e 3 e O Correlograma para a série caso 𝜃1 05 𝑒 𝜃2 025 7 Por que costuma se dizer que séries temporais de Índices e de preços de ações em Bolsas de Valores se comportam como Random Walks Pesquise a bibliografia teórica e empírica sobre esse fenômeno e o explique Se esse pressuposto para as séries do Mercado Financeiro for verdade discuta o que isso implicaria para o trabalho de um analista financeiro que queira fazer previsões sobre o mercado 8 Explique como seriam os Correlogramas prováveis para as ACF e PACF dos seguintes processos estocásticos a AR3 b MA5 c ARMA11 PARTE PRÁTICA Obs Utilize o Software STATA ou qualquer outro que você domine e tenha acesso para resolver as questões práticas a seguir Apresente as principais telas ou saídas do software com os resultados para as questões copiadas e coladas em um texto juntamente com suas respectivas análises e respostas para as perguntas apresentadas em cada questão 1 Utilizando dados de séries temporais mensais da Macroeconomia Brasileira apresentados nas 3 Tabelas em anexo a essa lista a Obtenha os gráficos das séries temporais no nível e analise os no que tange a possíveis padrões de Tendência Ciclos Sazonalidade e Volatilidade Heterocedástica b Obtenha os correlogramas amostrais ACF e PACF de até 36 defasagens para as séries e analise a significância dos coeficientes c Qual padrão geral você verifica Intuitivamente qualis dessas séries temporalis parecem ser estacionárias Explique d Com base apenas nas ACF e PACF quais seriam os dois modelos univariados mais apropriados para cada uma das séries na sua opinião Justifique sua resposta 2 Considere as séries temporais na Tabela 1 Suponha que você queira ajustar um modelo univariado ARMApq apropriado para descrever o processo estocástico gerador desses dados Delineie os passos envolvidos para que se realize essa tarefa e implemente todos eles chegando a uma conclusão sobre a especificação mais adequada Justifique sua resposta apresentando comparativamente e analisando os critérios de informação para esses modelos Os resultados encontrados foram diferentes dos que você esperava com base na ACF e PACF GABARITO PARTE TEÓRICA QUESTÃO 3 Slides 30 até 39 do arquivo sobre equações em diferenças finitas disponibilizado no Moodle Solução da Questão 4 com base no Livro Matemática Para Economistas de Alpha C Chiang e Kevin Wainwright 2005 QUESTÃO 5 CONCEITOS BÁSICOS DISPONÍVEIS EM QUALQUER BOM LIVROTEXTO SOBRE SÉRIES TEMPORAIS QUESTÃO 6 QUESTÃO 7 Uma explicação introdutória sobre o assunto pode ser vista aqui httpswwwsunocombrartigosrandomwalk Para aprofundar no tema um excelente livro é este aqui A random walk down Wall Street including a lifecycle guide to personal investing Burton G Malkiel Norton Company Inc 500 Fifth Avenue New York NY 1996 Pode ser acessado aqui httpsyourknowledgedigestfileswordpresscom202004arandomwalkdownwallstreetpdf QUESTÃO 8 A Slides 34 a 40 disponíveis no Moodle sobre Modelos Univariados B Slides 53 a 62 disponíveis no Moodle sobre Modelos Univariados C Slides 66 a 73 disponíveis no Moodle sobre Modelos Univariados PARTE PRÁTICA QUESTÃO PRÁTICA 1 A B C e D Série temporal de Exportações Características visíveis no gráfico i Tendência determinística quadrática de alta logo a série não parece ser estacionária ii Após 2007 a volatilidade aumenta drasticamente iii Parecem existir ciclos e sazonalidade mas visualmente não fica tão evidente considerandose a série inteira ACF e PACF para Exportações 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 197701 197812 198011 198210 198409 198608 198807 199006 199205 199404 199603 199802 200001 200112 200311 200510 200709 200908 201107 201306 201505 201704 201903 202102 202301 Exportações FOB US milhões 36 00053 00002 55257 00000 35 00052 00004 55255 00000 34 00052 00002 55253 00000 33 00051 00000 55252 00000 32 00051 00005 5525 00000 31 00051 00001 55249 00000 30 00052 00004 55247 00000 29 00052 00004 55245 00000 28 00052 00011 55244 00000 27 00052 00021 55242 00000 26 00052 00213 55241 00000 25 01119 01410 55239 00000 24 01076 00066 54509 00000 23 01208 01431 53835 00000 22 00080 01078 52986 00000 21 00080 00588 52982 00000 20 00080 00999 52979 00000 19 00080 01221 52975 00000 18 00080 01058 52971 00000 17 01222 01721 52968 00000 16 01152 01370 52109 00000 15 01160 02378 51348 00000 14 00079 00933 50577 00000 13 02019 01094 50574 00000 12 02992 02067 48248 00000 11 01959 01242 43151 00000 10 02086 01461 4097 00000 9 02074 00090 38501 00000 8 03343 02214 36066 00000 7 02185 01893 29752 00000 6 01087 00658 27058 00000 5 00907 01018 26393 00000 4 01947 00744 25931 00000 3 01894 00566 23804 00000 2 03256 01008 21794 00000 1 05332 05332 15867 00000 LAG AC PAC Q ProbQ Autocorrelation Partial Autocor 1 0 1 1 0 1 Observase que a ACF apresenta um comportamento de queda gradual nas autocorrelações com valores significativos até a 13ª autocorrelação aproximadamente o que sugere que alguma especificação de modelo do tipo ARp pode ser indicada para a série de Exportações A PACF por outro lado apresenta inicialmente um coeficiente da autocorrelação parcial de ordem 1 significativo e vários seguintes não significativos Todavia próximo aos lags sazonais 12 e 24 percebe se a ocorrência de coeficientes significativos na PACF Isto sugere que provavelmente existe um padrão de recorrência sazonal na série mensal de exportações brasileiras Assim poderiase testar um modelo AR1 e um modelo Sazonal SAR para a série 1 A B C e D Série temporal de INFLAÇÃO IGPM Características visíveis i Não parece haver tendência determinística e nem estocástica na série da inflação ii A volatilidade apresenta alguns momentos de pico mas não parece mudar significativamente com o tempo iii Visualmente não fica evidente a existência de ciclos e sazonalidade 2 0 2 4 6 inf 1995m1 2000m1 2005m1 2010m1 2015m1 2020m1 2025m1 data Observase que a ACF apresenta um comportamento de queda relativamente rápida nas autocorrelações indicando uma memória curta da série com valores significativos até a 5ª autocorrelação Isto sugere que alguma especificação de modelo do tipo ARp pode ser indicada para a série de Exportações A PACF por outro lado apresenta inicialmente um coeficiente da autocorrelação parcial de ordem 1 significativo e quase todos os outros não significativos A princípio esse padrão para a ACF e PACF sugere um modelo AR1 para a modelagem da série de inflação no Brasil Uma outra opção dado o padrão da ACF seria entender que se trata de uma série representável por um modelo MA4 eou MA5 pois só esses 5 picos iniciais foram significativos pelo gráfico da ACF dado Outro detalhe a ser observado é que próximo aos lags sazonais 12 e 24 percebese a ocorrência de coeficientes significativos na PACF Isto sugere que é importante testar a ocorrência de sazonalidade na série mensal de inflação no Brasil Assim também poderiase testar um modelo AR1 e um modelo Sazonal SAR para a série 36 00036 00365 30397 00000 35 00043 00557 30397 00000 34 00047 00588 30396 00000 33 00207 00355 30395 00000 32 00157 00180 30379 00000 31 00253 00727 3037 00000 30 00592 00449 30346 00000 29 00322 00482 30215 00000 28 00027 00115 30176 00000 27 00054 00276 30176 00000 26 00187 00083 30175 00000 25 00294 00145 30162 00000 24 00595 00005 3013 00000 23 00627 00177 300 00000 22 00797 00198 29856 00000 21 00961 00107 29625 00000 20 00616 01468 29289 00000 19 00178 00072 29151 00000 18 00239 00419 2914 00000 17 00373 00277 29119 00000 16 00034 00539 29069 00000 15 00334 00013 29069 00000 14 00511 00224 29029 00000 13 00771 00756 28936 00000 12 00929 01283 28725 00000 11 00165 00053 2842 00000 10 00129 01020 28411 00000 9 00703 00361 28405 00000 8 00538 00549 28231 00000 7 00507 00315 2813 00000 6 00988 00269 28041 00000 5 01392 00385 27702 00000 4 02257 00212 27031 00000 3 03118 00012 25273 00000 2 04537 00351 21928 00000 1 06593 06604 14868 00000 LAG AC PAC Q ProbQ Autocorrelation Partial Autocor 1 0 1 1 0 1 corrgram inf lags36 1 A B C e D Série temporal de Taxa de Juros SELIC Características visíveis i Tendência determinística linear de queda ao longo dos anos A série não parece ser estacionária pois sua média cai de forma sistemática ao longo do período ii Antes de 2000 a volatilidade era sensivelmente maior iii Parecem existir ciclos em intervalos de 3 em 3 anos mas visualmente não fica tão evidente a existência de sazonalidade Observase que a ACF apresenta um comportamento de queda bastante lenta nas autocorrelações memória longa tendo correlações significativas e altas até a 36ª defasagem Isso é um indício forte 00000 05000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 199501 199601 199701 199801 199901 200001 200101 200201 200301 200401 200501 200601 200701 200801 200901 201001 201101 201201 201301 201401 201501 201601 201701 201801 201901 202001 202101 202201 202301 Taxa de juros Over Selic acumulada no mês am BM12TJOVER12 36 03859 01107 39401 00000 35 04013 00320 38833 00000 34 04269 00313 38221 00000 33 04305 01460 3753 00000 32 04385 00102 3683 00000 31 04368 00736 36106 00000 30 04294 00525 3539 00000 29 04285 00265 3470 00000 28 04205 01410 34015 00000 27 04140 01286 33358 00000 26 04104 00826 32723 00000 25 04057 00046 32101 00000 24 04071 00189 31495 00000 23 04053 00590 30887 00000 22 04077 01004 30286 00000 21 04122 00662 2968 00000 20 04215 00501 29062 00000 19 04307 00855 28418 00000 18 04426 00482 27748 00000 17 04644 00789 27043 00000 16 04835 00851 26269 00000 15 05023 00198 25432 00000 14 05149 01986 24532 00000 13 05237 01690 23589 00000 12 05514 00688 22616 00000 11 05708 00832 21541 00000 10 05963 00152 20393 00000 9 06181 01220 19144 00000 8 06419 01201 17805 00000 7 06777 00045 16366 00000 6 07239 00856 14767 00000 5 07727 00437 12948 00000 4 08181 00018 10882 00000 3 08669 00117 8572 00000 2 09161 01139 59866 00000 1 09532 09532 31075 00000 LAG AC PAC Q ProbQ Autocorrelation Partial Autocor 1 0 1 1 0 1 corrgram txj lags36 de que a série da Taxa de Juros Selic não é uma série estacionária Testes posteriores de estacionaridade precisarão ser feitos para verificar essa hipótese A PACF por outro lado apresenta inicialmente um coeficiente da autocorrelação parcial de ordem 1 significativo e quase todos os outros não significativos A princípio esse padrão para a ACF e PACF sugere um modelo AR1 para a modelagem da série de Taxa de Juros analisada Todavia próximo aos lags sazonais 12 e 24 percebese a ocorrência de coeficientes significativos na PACF Isto sugere que é importante testar a ocorrência de sazonalidade na série mensal de inflação no Brasil Mas dada a possibilidade de não estacionaridade da série antes da modelagem há que se testar essa hipótese pois caso contrário há grande chance de se cometer ERRO DE ESPECIFICAÇÃO ao se usar um modelo AR1 ou similar para uma série que não é estacionária QUESTÃO PRÁTICA 2 Série de Exportações Modelo AR1 Modelo AR2 sigma 9262691 1375481 6734 0000 8993102 9532281 L1 5955373 0208637 2854 0000 5546452 6364294 ar ARMA cons 2561711 3252681 079 0431 3813427 893685 exp exp Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 3301095 Prob chi2 00000 Wald chi21 81477 Sample 1977m1 2023m3 Number of obs 555 ARIMA regression Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 555 3301095 3 660819 6621147 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 555 329783 4 660366 6620936 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 9207914 1325438 6947 0000 8948133 9467695 L2 1162513 0115246 1009 0000 0936634 1388392 L1 5393009 0190486 2831 0000 5019663 5766356 ar ARMA cons 2677489 375306 071 0476 4678374 1003335 exp exp Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 329783 Prob chi2 00000 Wald chi22 84891 Sample 1977m1 2023m3 Number of obs 555 ARIMA regression Modelo AR12 Conforme podese perceber pelos critérios de informação menores Tanto AIC quanto BIC e por vários coeficientes significativos ao nível de significância escolhido de 5 para a maioria das defasagens o modelo AR12 parece ser o que apresentou o melhor ajuste entre os 3 apresentados Todavia o modelo SARMA pqxPQ a ser visto posteriormente na disciplina deverá tratar a possível sazonalidade mensal na série de forma mais adequada SÉRIE TEMPORAL DE INFLAÇÃO Modelo AR1 Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 555 3224976 14 6477952 6538417 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 802916 6430198 12487 0000 790313 8155189 L12 3697789 0107563 3438 0000 348697 3908608 L11 0483594 017041 284 0005 0149596 0817593 L10 1605312 0189754 846 0000 1233402 1977223 L9 1852318 0180416 1027 0000 2205926 1498709 L8 1616459 026508 610 0000 1096912 2136007 L7 0531191 0308332 172 0085 0073128 113551 L6 0418251 0211 198 0047 0831804 0004698 L5 1553762 0220483 705 0000 19859 1121623 L4 1182351 0299454 395 0000 0595432 176927 L3 0058393 0219474 027 0790 0371767 0488553 L2 0493909 0263884 187 0061 0023293 1011112 L1 4045189 0139209 2906 0000 3772343 4318034 ar ARMA cons 1827332 3444692 053 0596 4924141 8578804 exp exp Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 3224976 Prob chi2 00000 Wald chi212 904315 Sample 1977m1 2023m3 Number of obs 555 ARIMA regression Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 339 3437452 3 6934905 7049685 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 6664557 0171449 3887 0000 6328524 700059 L1 6585159 0308501 2135 0000 5980508 718981 ar ARMA cons 7062583 1220471 579 0000 4670504 9454661 inf inf Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 3437452 Prob chi2 00000 Wald chi21 45564 Sample 1995m1 2023m3 Number of obs 339 ARIMA regression Modelo MA4 Modelo MA5 Conforme podese perceber pelos critérios de informação menores Tanto AIC quanto BIC e pelos coeficientes significativos ao nível de significância escolhido de 5 o modelo AR1 parece ser o que apresentou o melhor ajuste entre os 3 apresentados Todavia o modelo MA4 também apresentou um bom ajuste com todos os coeficientes significativos e o mesmo deveria ser testado quanto à sua capacidade preditiva juntamente com o Modelo AR1 Esses testes serão vistos posteriormente na disciplina Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 339 3447162 6 7014325 7243885 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 6683685 0193608 3452 0000 630422 706315 L4 1804692 0411203 439 0000 0998748 2610636 L3 244755 0521169 470 0000 1426078 3469023 L2 4072353 0603596 675 0000 2889327 5255379 L1 6395008 04281 1494 0000 5555947 723407 ma ARMA cons 7076538 1005505 704 0000 5105784 9047291 inf inf Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 3447162 Prob chi2 00000 Wald chi24 23079 Sample 1995m1 2023m3 Number of obs 339 ARIMA regression Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 339 3442672 7 7025344 7293164 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 6674789 0194273 3436 0000 629402 7055557 L5 0581831 0455612 128 0202 0311153 1474814 L4 2069488 0510864 405 0000 1068212 3070764 L3 2682055 0533804 502 0000 1635819 3728291 L2 4139011 060936 679 0000 2944687 5333335 L1 633955 0432852 1465 0000 5491175 7187925 ma ARMA cons 7073765 1068318 662 0000 49799 916763 inf inf Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 3442672 Prob chi2 00000 Wald chi25 23283 Sample 1995m1 2023m3 Number of obs 339 ARIMA regression SÉRIE TEMPORAL DA TAXA DE JUROS SELIC Modelo AR1 Modelo AR2 Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 339 9319154 3 1803831 1689051 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 18299 0024358 7513 0000 178216 1877641 L1 9757876 011782 8282 0000 9526953 9988798 ar ARMA cons 1402392 4677699 300 0003 4855793 2319204 txj txj Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 9319154 Prob chi2 00000 Wald chi21 685923 Sample 1995m1 2023m3 Number of obs 339 ARIMA regression Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 339 9534239 4 1826848 1673808 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 1818044 0024203 7512 0000 1770608 186548 L2 1135057 0281953 403 0000 0582438 1687675 L1 8665672 0281031 3084 0000 8114862 9216482 ar ARMA cons 1454022 5446517 267 0008 3865241 2521519 txj txj Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 9534239 Prob chi2 00000 Wald chi22 671160 Sample 1995m1 2023m3 Number of obs 339 ARIMA regression Modelo AR12 Conforme podese perceber pelos critérios de informação menores e pelos coeficientes significativos ao nível de significância escolhido de 5 os modelos AR1 e AR2 parecem ter os melhores ajustes Todavia ao se observar o coeficiente angular da primeira defasagem do Modelo AR1 observase que esse valor é de 098 Quase igual a um o que configuraria uma série não estacionária Isso confirma o que o gráfico da série dos juros e da ACF já sugeriam Assim sendo devese proceder a TESTES DE RAÍZ UNITÁRIA da série para ratificar que a mesma não é estacionária Não sendo estacionária a modelagem da mesma deverá ser feita com modelos ARIMApdq que serão vistos a seguir no curso Note NObs used in calculating BIC see R BIC note 339 1047321 14 1814642 1279002 Model Obs llnull llmodel df AIC BIC estat ic sigma 1766366 0026227 6735 0000 1714963 181777 L12 0695775 0445444 156 0118 017728 1568829 L11 1616149 0532024 304 0002 2658897 0573401 L10 0819809 0526889 156 0120 0212874 1852492 L9 1394512 0686196 203 0042 0049592 2739432 L8 0249514 0669681 037 0709 1063037 1562066 L7 1402732 0506079 277 0006 2394628 0410836 L6 0944699 0491645 192 0055 1908305 0018907 L5 1335656 0578626 231 0021 020157 2469743 L4 0605933 0632781 096 0338 1846162 0634296 L3 0066886 051482 013 0897 1075914 0942143 L2 1420828 0577052 246 0014 0289828 2551829 L1 8590982 0458108 1875 0000 7693107 9488857 ar ARMA cons 1599282 6923318 231 0021 2423364 2956227 txj txj Coef Std Err z Pz 95 Conf Interval OPG Log likelihood 1047321 Prob chi2 00000 Wald chi212 794638 Sample 1995m1 2023m3 Number of obs 339 ARIMA regression