Álgebra 2

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS Questão 01 Seja f Rx R dada por fpx p1 a Mostre que f é um homomorfismo de anéis b Mostre que o núcleo desse homomorfismo é gerado pelo polinômio gx x 1 c Mostre ainda que tal núcleo é um Ideal Maximal de Rx Questão 02 Sejam D Zi a bi a b Z e D D 0 Considere o corpo das frações de D dado por K D D mn m D n D Mostre que K Qi Questão 03 Determine o corpo de frações de Z2 Z6 e Z7 Questão 04 Seja fx 2x10 3x7 5x4 1 Z7x Encontre um polinômio gx Z7x com gx 6 tal que fa ga a Z7 Questão 05 Determine o grau dos polinômios abaixo a fx 1 x21x34 Qx b gx 1 x x2 x3 x47 Z7x c hx 1 2x24 Z8x Questão 06 Seja D um domínio de integridade e fx gx Dx são tais que f3 15 e fg 8 Determine o grau do polinômio g f Questão 07 É possível encontrar um polinômio não constante inversível no anel Z8x Caso a resposta seja positiva dê um exemplo Questão 08 Seja fx x4 2x2 x 3 Z5x a Determine todas as raízes de f b Determine os polinômios mónicos que dividem f Questão 09 Efetue as divisões dos polinômios f pelos polinômios g nos casos abaixo a fx x5 3x2 x 3 gx x2 2x 1 Qx b fx x6 2x4 3x gx x2 x 3 Z7x c fx x2 1 gx 2 Z7x Questão 10 Mostre que se a K corpo é tal que a não é raiz de um polinômio fx Kx então fa r onde r é o resto da divisão de f por x a Questão 11 Determine MDC entre os polinômios abaixo a fx x2 1 gx x3 x 1 Qx b fx x i5 x3 2x 1 gx x4 1 Cx c fx x3 2x2 3x 2 gx x2 4 Z5x Questão 12 Verifique se os conjuntos abaixo são ideais de Qx a I fx Qx f2 0 f0 f1 b I fx Qx f2 f0 0