Álgebra 3v a

Disciplina Algebra Linear Semeste 20242 Professora Sylvia Ferreira Nome Terceira VA 1 Instrucoes gerais 11 Da entrega e realizacao A prova iniciara as 8h00 am do dia 21032025 tendo prazo final de envio da atividade para 22032025 as 12h00 pm O envio devera ser feito exclusivamente pelo SIGAA nao sendo aceita NENHUMA OUTRA FORMA DE ENTREGA A prova devera ser feita a mao constando em TODAS AS PAGINAS a assinatura do discente e em seguida devera ser digitalizada e anexada a Tarefa cadastrada no SIGAA PAGINAS NAO ASSI INADAS NAO SERAO CORRIGIDAS E importante atentar para a qualidade da digitalizacao bem como para a legibilidade das respostas 12 Das questoes Em cada sessao devera ser escolhida UMA e APENAS UMA dentre as questoes indicadas Cada questao esta avaliada em 25 pontos Nao serao corrigidas questoes que ultrapassem a pontuacao maxima de 100 pontos As questoes escolhidas em cada sessao deverao ser indicadas no inıcio do arquivo de respostas As respostas devem conter todos os calculos e explicacoes devidas para que sejam consideradas caso estejam corretas A avaliacao e individual e devera ser realizada e entregue deste modo Qualquer identificacao de copia fara com que a atividade seja anulada 1 2 Matrizes e sistemas lineares 25 Escolha UMA dentre as questoes desta secao para resolver 1 Dadas as matrizes A 1 5 1 2 0 2 3 4 0 0 4 2 0 0 0 3 e B 3 0 0 0 3 4 0 0 2 2 1 0 2 1 1 2 determine a detAB b A1 c B1 d BA1 e detC onde CAT 3BC2 2 Uma refinaria de petroleo processa dois tipos de petroleo com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre Cada tonelada de petroleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria ja o petroleo com alto teor sao necessarios 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria Se o setor de mistura esta disponıvel por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas quantas toneladas de cada tipo de combustıvel devem ser processadas de modo que os dois setores nao fiquem ociosos 3 Um fabricante de plastico produz dois tipos de plastico o normal e o especial Para produzir uma tonelada de plastico normal sao necessarias duas horas na fabrica A e 5 horas na fabrica B ja na producao de uma tonelada de plastico especial sao necessarias 2 horas na fabrica A e 3 horas na fabrica B Se a fabrica A funciona 8 horas por dia e a fabrica B funciona 15 horas por dia quantas toneladas de cada tipo de plastico devem ser produzidas diariamente para que as duas fabricas se mantenham totalmente ocupadas 3 Subespacos vetoriais Bases e geradores 25 Escolha UMA dentre as questoes desta secao para resolver 1 Considere o subespaco de R4 gerado pelos vetores v1 1 1 0 0 v2 0 0 1 1 v3 2 2 1 1 v4 1 0 0 0 a O vetor 2 3 2 2 v1 v2 v3 v4 b Exiba uma base para v1 v2 v3 v4 Qual a dimensao deste espaco c v1 v2 v3 v4 R4 Por quˆe 2 Exiba uma base para cada um dos espacos dados a seguir a F x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 R4 b x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 0 R4 c x y z x 2y 4z 0 R3 Transformacoes Lineares 25 Escola UMA dentre as questoes desta secao para resolver 1 Seja T R3 R2 uma transformacao linear definida por T1 1 1 1 2 T1 1 0 2 3 e T1 0 0 3 4 a Determine Tx y z b Determine v R3 tal que Tv 3 2 c Determine v R3 tal que Tv 0 0 d Determine a matriz desta transformacao nas bases canˆonicas 2 Considere a aplicação linear T representada na base canônica pela matriz 3 2 2 1 1 1 2 0 3 a Determine Txyz b Encontre uma base para o núcleo de T T é injetora c Encontre uma base para a imagem de T Ela é sobrejetora d Resolva a equação Txyz 711 4 Produto Interno 25 Escola UMA dentre as questões desta seção para resolver 1 Dado o vetor v1 110 a Determine v2 a partir de v1 de modo que v1 v2 b Determine v3 de modo que v1 v3 e v2 v3 c É possível encontrarmos v4 de modo que v1v2v3v4 forme um conjunto ortogonal Justifique 2 Verifique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado a 120321111 em R³ com o produto interno usual b 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 com o produto interno definido a seguir a b c d e f g h ae bf cg dh c 122321 com o produto interno usual do R² Matrizes e Sistemas Lineares 1 a Temos que o determinante de uma matriz triangular inferior ou superior é o produto dos elementos da diagonal principal Assim detA 1243 24 detB 3412 24 Por fim pelas propriedades detAB detAdetB 2424 576 b Para calcular a inversa de A vamos usar a eliminação de GaussJordan 1 5 1 2 1 0 0 0 0 2 3 4 0 1 0 0 0 0 4 2 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 1 L2 L22 L3 L34 1 5 1 2 1 0 0 0 1 32 2 0 12 0 0 0 1 12 0 0 14 0 0 0 0 1 0 0 0 13 L3 L3 12 L4 L2 L2 2L4 L2 L2 32 L3 L1 L1 L3 L1 L1 2L4 1 5 1 1 0 0 23 0 1 0 0 12 0 23 0 0 1 0 0 0 14 16 0 0 0 1 0 0 0 13 1 5 0 0 1 0 14 12 L1 L1 5L2 0 1 0 0 0 12 38 512 0 0 1 0 0 0 14 16 0 0 0 1 0 0 0 13 1 0 0 0 1 52 178 312 0 1 0 0 0 12 38 512 0 0 1 0 0 0 14 16 0 0 0 1 0 0 0 13 Portanto A¹ 1 52 178 3112 0 12 38 512 0 0 14 16 0 0 0 13 c Novamente vamos usar a Eliminação de GaussJordan 3 0 0 0 1 0 0 0 3 4 0 0 0 1 0 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 1 1 2 0 0 0 1 L1 L13 L2 L24 L3 L3 L4 L42 1 0 0 0 13 0 0 0 34 1 0 0 0 14 0 0 2 2 1 0 0 0 0 1 0 12 12 1 0 0 0 12 L2 L2 34 L1 L3 L3 2L1 L4 L4 L1 1 0 0 0 13 0 0 0 0 1 0 0 14 14 0 0 0 12 0 1 0 0 L3 L3 212 L4 L4 12 L2 1 0 0 0 13 0 0 0 0 1 0 0 14 14 0 0 0 76 12 1 0 0 0 1 0 0 2524 38 12 12 Portanto B¹ 13 0 0 0 14 14 0 0 76 12 1 0 2524 38 12 12 d Observe que BA¹ A¹ B¹ pois BAA¹ B¹ B A A¹ B¹ B I B¹ I Assim BA¹ 1 52 178 3112 0 12 38 512 0 0 14 16 0 0 0 13 13 0 0 0 14 14 0 0 76 12 1 0 2524 38 12 12 BA1 1314 51214 111876 3251224 51214 171812 371038 198 11 4 31212 31212 12 14 328256 12 14 31812 51038 311851212 14 76 16 2524 14 12 16 38 14 11 16 12 16 12 13 2524 13 38 13 12 13 12 1 34 detC detC 134 181 Observe que podemos escrever a e b em função de c Variáveis xy x1 x2 x3 Sendo assim construiremos uma base de dimensão 3 Primeiro definimos v1 de modo que x1 1 e x2 x3 0 Em seguida defini mos v2 de modo que x21 e x1 x3 0 Analogamente definimos v3 Em todos os casos x41 Assim obtemos v11001 v20101 e v3 0011 Por fim vamos verificar que este conjunto é LI a1001 b 0101 c 0001 0000 a b c abc 0000 abc0 Portanto v1 v2 v3 é uma base c Similar ao item b podemos escrever x 2y 4z Assim teremos uma base com dois vetores Para v1 escolha y1 1 e z 0 e para v2 escolha y20 e z1 Assim obtemos v1 210 e v2 401 Por fim vamos verificar que v1 e v2 são LI a210 b401 000 2a 4b a b 000 a b 0 Portanto v1 v2 é uma base Transformações Lineares 1 a Primeiro iremos expressar o vetor x y z como combinação linear de 111 110 e 100 x y z a111 b110 c 100 a b c a b a Assim az e y a b z b b y z x a b c z y z c c x y 1 34 detC detC 1 34 1 81 2 Sejam x a quantidade de petróleo de baixo teor de enxofre e y a quantidade de petróleo de alto teor de enxofre Ambos em toneladas Sabendo que 3h 180 min e 2h 120 min obtemos o seguinte sistema 5x 4y 180 Mistura 4x 2y 120 Refinaria Vamos resolver o sistema 5x 4y 180 5x 4y 180 3x 60 x 20 4x 2y 120 x2 8x 4y 240 L Subtraindo as equações Se x 20 então usando a 2a equação obtemos 4 20 2y 120 80 2y 120 2y 40 y 20 Portanto devem ser processadas 20 toneladas de cada tipo de petróleo Subespaços vetoriais Bases e Geradores 1 a Vamos verificar se o vetor 2 3 2 2 pode ser escrito como combinação linear de v1 v2 v3 e v4 Para isso veremos se existem a b c d tais que a1 1 0 0 b0 0 1 1 c2 2 1 1 d1 0 0 0 2 3 2 2 a a 0 0 0 0 b b 2c 2c c c d 0 0 0 2 3 2 2 ou seja a 2c d 2 x2a equação p 1a equação a 2c 3 a 2c 3 2c 3 2c d 2 d 1 b c 2 d b c 2 Substituimos na Temos que T 1 0 0 31 0 0 41 0 0 3 4 T 0 1 0 30 1 0 40 1 0 1 1 T 0 0 1 30 0 1 40 0 1 1 3 Portanto a matriz da transformação na base canônica é 3 1 1 4 1 1 2 a Como a matriz representa a transformação linear na base canônica Temos Tx y z 3 2 2 1 1 1 2 0 3 x y z 3x 2y 2z x y z 2x 3z b Vamos determinar o núcleo de T ou seja os vetores v x y z tais que Tv 0 0 0 ou seja 3x 2y 2z 0 x y z 0 2x 3z 0 Vamos usar a forma matricial aumentada 3 2 2 0 1 1 1 0 2 0 3 0 La L2 13 L1 3 2 2 0 0 13 53 0 L3 L3 4 L2 0 43 53 0 3 2 2 0 0 13 53 0 0 0 5 0 5 z 0 z 0 13 y 53 0 0 y 0 3x 20 20 0 x 0 Portanto o núcleo é trivial ou seja Ker T 0 0 0 consequentemente T é injetora e a base é vazia c O conjunto v1 v2 v3 com v1 3 1 2 v2 2 1 0 e v3213 é gerador de ImT Vamos verificar se o conjunto é L I det 3 2 2 1 1 1 2 0 3 313 212 210 212 213 310 9 4 4 6 11 0 Como o determinante é não nulo o conjunto é LI e forma uma base Como a base tem dimensão 3 e Imt R³ concluímos que a transformação é sobrejetora d Resolver a equação Txyz 711 é o mesmo que resolver o sistema da matriz escalonada 3 2 2 7 1 1 1 1 2 0 3 1 L2 L2 13 L1 3 2 2 7 0 13 53 43 0 43 53 113 L3 L3 23 L1 L3 L3 4 L2 3 2 2 7 0 13 53 43 0 0 5 9 Assim 5z 9 z95 13 y 53 z 43 y5 3x 25 295 7 x 115 Portanto a solução é 115 5 95T Produto Interno 1a O produto interno de v1 e v2 deve ser 0 Seja v2 xyz então v1v2 x y 0z 0 x y Escolhendo x1 e z1 obtemos v2 111 b Seja v3 abc assim v1v3 a b 0c 0 a b v2v3 a b c 0 c a b Escolhendo a1 obtemos v3 112 c Como estamos no espaço R3 o número máximo de vetores L I e ortogonais é 3 Portanto não há um quarto vetor ortogonal 2 Vamos verificar em cada caso se o produto interno dos vetores é nulo a 120321 13 22 01 1 0 Como o produto interno é diferente de 0 então o conjunto não é ortogonal b Temos que 1 00 11 11 0 11 01 01 10 1 0 Portanto o conjunto não é ortogonal c Temos que 1223 12 23 4 0 Portanto o conjunto não é ortogonal