Álgebra Linear - Matrizes Nulas e Semelhança de Matrizes 2x2

2 pontos Seja N M2x2C tal que N2 0 Mostre que N 0 ou N é semelhante sobre C à matriz 0 0 1 0 Seja o conjunto N M2x2C N20 Seja uma matriz M x1 y1i x2 y2i x3 y3i x4 y4i x1 y1 Z Calculamos N2 x1 y1i x2 y2i x3 y3i x4 y4i x1 y1i x2 y2i x3 y3i x4 y4i N2 11 x12 2x1 y1 i y12 x1 x3 x2 y3 y2 x3 i y1 x3 N2 21 x3 x1 x4 y1 x3 y1 i y1 y3 x4 x3 x4 y3 y4 x3 i y1 y4 N2 12 x1 x2 x2 y1 x1 y2 i y1 y2 x2 x4 x2 y4 x4 y2 i y2 y4 N2 22 x2 x3 x2 y4 x2 y4 i y2 y3 x42 2 x4 y4 i y42 Para as expressões acima devese igualar a 0 Naturalmente então a solução trivial onde x10 y10 x20 y20 x30 y30 x40 y40 Notese que há 8 variáveis porém apenas 4 equações o que implica em um sistema de infinitas soluções De acordo com a questão existe uma solução além da trivial que é similar à 0 0 1 0 Verificando 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Ou seja o elemento N21 pode ser não nulo Isto faz com que x1 y1 x2 y2 x4 y4 sejam nulos p x3 e y3 0 Logo a matriz seria 0 0 x3 y3 i 0 N211 0 x 0 0 x x3 y3 i 0 N221 0 x 0 0 x 0 0 N212 0 x 0 0 x x3 y3 i 0 N222 x3 y3 i x 0 0 x x3 y3 i 0 Ou seja N C2 N 0 0 x3 y3 i 0 x3y3 R pois N2 0 0 0 0