Geometria Diferencial e Álgebra Linear - Problemas Resolvidos

1 Vamos considerar a esfera S2 x2 y2 z2 r2 Escolha um valor numérico para r e escolher também dois pontos A B in S2 no hemisfério norte e fora dos planos coordenados Parametrizar o arco de geodésica determinado por estes pontos Calcular a distância na esfera S2 entre estes dois pontos 2 Sejam S2 x2 y2 z2 1 S1 xyz in S2 z 0 S2 xyz in S2 y 0 Seja varphi ID2 rightarrow S2 xy mapsto varphixy xyfxy onde ID2 xy in IR2 x2 y2 1 e f ID2 rightarrow IR fxy sqrt1x2y2 Seja Psi ID2 rightarrow S2 uv mapsto Psiuv usqrt1u2v2v Sejam U varphi1S1 cap S2 e V Psi1S1 cap S2 Explicitar a lei de correspondência da mudança de coordenadas F Psi circ varphi1 U rightarrow V Calcular o Jacobiano de F em um ponto escolhido de U 3 Exibir uma parametrização varphi U subset IR2 rightarrow IR3 da superfície S xyz in IR3 x2 y2 z2 Determinar se a curva C subset S parametrizada por gammat varphitt é uma geodésica 4 Seja S subset IR3 a superfície de revolução gerada pela rotação ao redor do eixo Z da curva plana C parametrizada pelo comprimento de arco por c I subset IR rightarrow IR3 t mapsto ct ft0ht Demonstrar que a curvatura Gaussiana é dada por K fracftft Escolha um valor constante K 1 para usar esta fórmula e encontrar uma superfície de curvatura Gaussiana constante K Álgebra Linear 1 Sn2 x2 y2 z2 n2 Escolha n2 A fracsqrt22fracsqrt22sqrt3 B fracsqrt22fracsqrt22sqrt3 Geodésica x2 y2 1 Rightarrow n heta cos heta sen heta sqrt3 fracpi4 leq heta leq frac3pi4 Geodésica x2 y2 1 Rightarrow n heta cos heta sen heta sqrt3 fracpi4 leq heta leq frac3pi4 Distância entre A e B em Sn2 Será o comprimento de arco dABSn2 intpi43pi4 n heta d heta intpi43pi4 2 d heta 2pi2 pi S² x² y² z² 1 S₁ x y z S² z 0 S₂ x y z S² y 0 ψ D² S² D² x y ℝ² x² y² 1 ψx y x y fx y f D² ℝ fx y 1 x² y² ψ D² S² ψμ ν μ 1 μ² ν² ν Solução Temos ψU U S₁ S₂ difeomorfismo ψ¹μ ν z μ ν Fμ ν z ψμ ν μ z ν ν z 0 Tome P 0 22 22 S₁ S₂ JFP 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ψ U ℝ² ℝ³ S x y z ℝ³ x² y² z² C γτ ψτ τ Solução Temos S ψ₁x y x y x² y² ψ₂x y x y x² y² γτ ψ₁τ τ τ τ 2 τ τ ℝ Note que C γℝ é a interseção π S onde π x y Logo C é uma geodésica pois é uma curva geodésica do cone S C I c R R3 Ct ft 0 ht S Superfície de revolução de cI em torno do eixo z Solução Uma parametrização de S é S πμn fncosμ fnsenμ hn 0 μ 2π n R Logo os coeficientes da primeira forma fundamental são E f2 F 0 G f2 h2 são E f2 F0 G f2 h2 e os coeficientes da Segunda Forma Fundamental são e fhf2 h2 f0 g sinalffh fhf2 h2 O vetor normal é dado por Nμn sinalff2 h2 hcosμ hsenμ f KL gG sinalffh fhf2 h232 K2 eE hff2 h2 K h2 f f h h f f2 h22 Como temos f2 h2 1 temos K ff Escolhendo k 2 temos f 2f 0 n2 2 0 n 2 i ft c1 cos2 t c2 sen2 t Escolhemos c1 c2 1 Logo a superficie S é a revolução de ct cos2 t sen2 t 0 1