Algebra Linear

Data para entrega 02052025 enviar em PDF para nazimefilhoufmtbr Nos Exercícios 1 e 2 determine se a equação é linear nas variáveis x e y 1 4y x 10 2 35 x 710 y 2 Nos Exercícios 3 e 4 use a eliminação de Gauss para resolver o sistema de equações lineares 3 x 2y 5 3x y 1 4 4x1 x2 3x3 11 2x1 3x2 2x3 9 x1 x2 x3 3 5 Use um software ou uma ferramenta computacional para resolver o sistema de equações lineares 02x 23y 14z 055w 1106 34x 13y 17z 045w 654 05x 49y 11z 16w 1662 06x 28y 34z 03w 1896 6 Encontre o conjunto solução do sistema de equações lineares representadas pela matriz aumentada 0 1 1 0 2 1 0 2 1 0 1 2 0 1 4 7 Resolva o sistema linear homogêneo correspondente à matriz de coeficientes 1 2 1 2 0 0 2 4 2 4 1 2 8 Determine os valores de k talis que o sistema seja consistente x 2y z 3 x y z 2 x y z k 9 Determine x e y na equação matricial 2A B I dados A 1 1 2 3 e B x 2 y 5 10 Encontre ATA para a matriz A 5 3 1 2 4 6 Mostre que este produto é simétrico Nos Exercícios 1114 encontre a inversa da matriz se existir 11 2 3 4 1 12 2 3 1 3 6 13 1 0 0 0 12 0 0 0 3 14 1 1 0 3 6 5 0 1 0 Nos Exercícios 15 e 16 use uma matriz inversa para resolver o sistema de equações lineares 15 x 2y 0 3x 6y 8 16 2x y 6 2x y 10 17 Encontre uma sequência de matrizes elementares cujo produto seja a seguinte matriz não singular 2 4 1 0 18 Encontre o determinante da matriz 4 0 3 2 0 1 3 5 0 1 5 1 1 1 0 3 19 Encontre a A b B c AB e d AB A seguir verifique que AB AB A 1 3 4 2 B 2 1 0 5 20 Encontre a A e b A1 A 5 2 3 1 0 4 6 8 2 21 Se A 7 e A é de ordem 4 encontre cada determinante a 3A b A7 c A1 d A1 22 Use a adjunta de A 1 5 1 0 2 1 1 0 2 para encontrar A1 23 Sejam x1 x2 x3 e b as matrizes coluna abaixo x1 0 1 x2 1 0 x3 0 1 b 1 2 3 Encontre constantes a b e c tais que ax1 bx2 cx3 b 24 Use um sistema de equações lineares para encontrar a parábola y ax2 bx c que passa pelos pontos 1 2 0 1 e 2 6 25 Use o determinante para encontrar uma equação da reta que passa pelos pontos 1 4 e 5 2 26 Use o determinante para encontrar a área do triângulo com vértices 2 2 8 2 e 6 5 27 Determine as correntes I1 I2 e I3 para a rede elétrica mostrada na figura à esquerda 28 Um fabricante produz três modelos diferentes de um produto e os envia para dois armazéns Na matriz A 200 300 600 350 250 400 aij representa o número de unidades do modelo i que o fabricante envia para o armazém j A matriz B 1250 900 2150 representa os preços dos três modelos em dólares por unidade Encontre o produto BA e diga o que representa cada elemento da matriz QUESTÃO 1 Determinar se a equação é linear 4y x 10 Passo 1 Multiplicar ambos os lados da equação por y para eliminar a fração 4 xy 10y Passo 2 Reorganizando 4 10y xy 0 10y xy 4 Passo 3 O termo xy é um produto entre as variáveis x e y Produtos de variáveis indicam não linearidade Conclusão A equação NÃO é linear nas variáveis x e y QUESTÃO 2 Determinar se a equação é linear 35x 710 25y Passo 1 Eliminar frações multiplicando toda a equação por 10 6x 7 4y Passo 2 Reorganizando 6x 4y 7 0 Passo 3 A equação é de primeiro grau em x e y Não existem produtos potências ou raízes envolvendo x e y Conclusão A equação É linear nas variáveis x e y QUESTÃO 3 Resolver o sistema X 2y 5 3x y 1 Passo 1 Representação em matriz aumentada 1 2 5 3 1 1 Passo 2 Eliminação de Gauss Linha 2 L2 L2 3L1 L2 3 1 1 31 2 5 0 7 14 Passo 3 Resolução do sistema triangular 7y 14 y 2 Substituindo x 22 5 x 4 5 x 1 Resposta x 1 y 2 QUESTÃO 4 Resolver o sistema 4x1 x2 3x3 11 2x1 3x2 2x3 9 X1 2x2 x3 2 Passo 1 Representação em matriz aumentada 41 3 11 2 3 2 9 1 2 1 2 Passo 2 Troca de linhas Troca L1 com L3 Passo 3 Eliminação de Gauss L2 L2 2L1 L3 L3 4L1 Novas linhas L2 0 7 4 5 L3 0 7 1 3 Passo 4 Eliminação na terceira linha L3 L3 L2 0 0 3 2 Passo 5 Resolução do sistema triangular 3x3 2 x3 23 7x2 4x3 5 Substituindo x3 7x2 83 5 x2 79 X1 2x2 x3 2 Substituindo x1 279 23 2 X1 149 69 2 x1 389 Resposta x1 389 x2 79 x3 23 QUESTÃO 5 Utilizando um software ou ferramenta computacional como Python com NumPy o sistema pode ser resolvido montando a matriz aumentada e aplicando a eliminação de Gauss ou uma função de solução de sistemas lineares A matriz aumentada é 02 23 14 055 1106 34 51 45 012 654 07 49 11 16 1866 52 17 26 33 846 31 38 21 09 512 11 24 33 19 986 Resolvendo esse sistema com ferramentas computacionais obtemos a solução aproximada para o vetor incógnita x1 x2 x3 x4 Exemplo com Python NumPy Import numpy as np A nparray02 23 14 055 34 51 45 012 07 49 11 16 52 17 26 33 31 38 21 09 11 24 33 19 B nparray1106 654 1866 846 512 986 X nplinalglstsqA b rcondNone0 Printx QUESTÃO 6 Considere a seguinte matriz aumentada do sistema 0 1 0 2 1 1 0 2 1 0 10 2 1 4 Passo 1 Eliminação de Gauss para obter forma escalonada Subtraia a linha 2 da linha 3 L3 3 L2 0 1 0 2 1 10 2 1 0 0 0 0 4 A última linha representa a equação 0 4 o que é uma contradição Portanto o sistema é inconsistente e não tem solução QUESTÃO 7 Sistema homogêneo os termos independentes são todos zero Matriz de coeficientes 10 1 2 02 1 2 7 1 0 2 2 4 1 2 Aplicamos eliminação de Gauss para reduzir a matriz e identificar as variáveis livres Passos principais aplicar operações elementares para obter a forma escalonada e determinar a solução geral Como é um sistema homogêneo sempre terá pelo menos a solução trivial todas variáveis zero Dependendo do posto da matriz pode ter infinitas soluções QUESTÃO 8 Determine os valores de k talis que o sistema seja consistente Sistema X 2y z 3 x y z 2 x y z k Resolução passo a passo As equações 2 e 3 são idênticas no lado esquerdo então o sistema será consistente se os termos constantes também forem iguais Comparando 2 k k 2 Portanto o sistema é consistente se e somente se k 2 QUESTÃO 9 Determine x e y na equação matricial 2A B I dados A 7 1 3 B x 2 y 5 I matriz identidade 2x2 10 01 Cálculo de 2A 2A 2 7 1 3 1 8 Aplicando na equação 2A B I 2 2 x 2 10 8 1 y 5 I 01 Subtraindo 2 x 2 2 10 4 y 6 5 I 01 Comparando elementos 2 x 1 x 3 4 y 0 y 4 Portanto x 3 e y 4 QUESTÃO 10 Encontre AᵀA para a matriz A 5 3 2 4 3 6 Resolução passo a passo Aᵀ transposta de A 5 2 3 3 4 6 Multiplicando Aᵀ por A AᵀA 5 2 3 5 3 3 4 6 2 4 3 6 Multiplicação Linha 1 x Coluna 1 55 22 33 25 4 9 38 Linha 1 x Coluna 2 53 24 36 15 8 18 41 Linha 2 x Coluna 1 35 42 63 15 8 18 41 Linha 2 x Coluna 2 33 44 66 9 16 36 61 AᵀA 8 41 961 Como AT A é simétrica pois AT A AT At o resultado é simétrico QUESTÃO 11 Matriz A 2 3 1 2 Determinante detA 22 31 4 3 1 Matriz adjunta 2 3 1 2 Inversa A1 2 3 1 2 QUESTÃO 12 Matriz A 1 2 3 1 3 4 1 4 5 Determinante detA 0 Conclusão A matriz não é inversível QUESTÃO 13 Matriz A 3 0 2 1 Determinante detA 31 02 3 Matriz adjunta 1 0 2 3 Inversa A1 13 0 23 1 QUESTÃO 14 Matriz A 3 6 5 0 Determinante detA 30 A inversa de A é A1 0 15 16 110 QUESTÃO 15 Sistema X 2y 8 3x y 6 Forma matricial AX B A 1 2 3 1 B 8 6 A1 17 1 2 3 1 X A1B 17 20 18 207 187 QUESTÃO 16 Sistema 2x y 6 2x y 0 Forma matricial AX B A 2 1 2 1 B 6 0 A1 14 1 1 2 2 X A1B 14 6 12 32 3 QUESTÃO 17 Desejamos encontrar uma sequência de matrizes elementares cujo produto seja A 2 4 1 2 Operações elementares 1 L1 2L1 E1 2 0 0 1 2 L1 L1 4L2 E2 1 4 0 1 3 L2 1L2 E3 1 0 0 1 Produto A E3 E2 E1