Subanéis Ideais Homomorfismos de Anéis Teorema dos Homomorfismos

Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Faculdade de Formação de professores Disciplina Álgebra III Professora Adriana Juzga León LISTA DE EXERCÍCIOS II Temas avaliados na primeira prova Subanéis ideais homomorfismos de anéis teorema dos homomorfismos teorema dos isomorfismos domínios euclidianos e domínios de ideais principais Exercício 0 Faça uma tabela indicando a definição de cada um dos seguintes termos alguns exemplos deste e os principais resultados eo propriedades relacionados a este vistos na aula Definição Exemplos Anel Domínio Elemento invertível Corpo Divisor de zero Elemento regular Subanel Ideal Ideal principal Anel quociente Homomorfismo de anéis Núcleo de um homomorfismo Isomorfismo Endomorfismo Automorfismo Elemento irredutível Elementos associados Elemento primo Ideal primo Ideal maximal Domínio de ideais principais Domínio Euclidiano 1 Seja A um anel e I um subconjunto não vazio de A Provar que I é um ideal de A se e somente se x y I para todo x y I e ax I para todo a A e x I Observe que provar isto é equivalente a provar que todo ideal é um subanel A reciprocao desta afirmação todo subanel é um ideal é verdadeira 2 Verifique se os seguintes subconjuntos são ideais à esquerda ou à direita ou se são apenas subanéis do anel M₂R i I a 0 0 b a b R ii J a b 0 c a b c R 3 Sejam R e S subanéis do anel A Mostre que R S é um subanel de A 4 Sejam R e S subanéis do anel A Determine se R U S é um subanel de R JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA 5 Prove que os únicos ideais de um corpo K são os ideais triviais isto é K 0 É possível concluir quais são os anéis quocientes do corpo R 6 No anel das matrizes M₂₂R determine qual é o ideal gerado pelo conjunto S 4 12 1 3 2 7 1 3 7 Seja ϕ A B um homomorfismo de anéis Provar as seguintes condições i ϕ0A 0B ii ϕa ϕa para todo a A iii Se a A é invertível então ϕa B é invertível e ϕa1 ϕa1 8 Em cada item determine se a função f A B dada é ou não é um homomorfismo do anel A no anel B i A Z B Z fx x 1 ii A Z B Z fx 2x iii A Z B Z Z fx 0 x iv A Z Z B Z fxy x v A B Z Z fxy y x vi A Z B Z₄ fx x vii A B C fa bi a bi 9 Seja B um anel Provar que a aplicação ϕ Z B definida por ϕn 1B 1B 1B n 0 n vezes ϕn 1B 1B 1B n 0 n vezes é um homomorfismo Ainda mais verifique que ele é o único homomorfismo de Z em B 10 Seja f A B um homomorfismo de anéis e J um ideal de B Prove que f1J a A fa J é um ideal de A 11 Seja A em anel não nulos Mostre que as seguintes condições são equivalentes i A é um corpo ii Os únicos ideais de A são 0 e A iii Todo o homomorfismo de anéis ϕ A B onde B é um anel não nulo é injectivo 12 Enuncie o teorema dos homomorfismos 13 Enuncie e demonstre o teorema dos isomorfismos 14 Mostre que Zₙ Zn n 2 15 Provar cada umas das afirmações i Mostre que um ideal I é primo se e somente se o anel quociente AI é um domínio ii Mostre que um ideal I é máximal se e somente se o anel quociente AI é um corpo iii Mostre que todo ideal máximal é um ideal primo 16 Usando o fato que Zn Zn n 2 e o exercício acima Mostre que no anel Z o ideal n é maximal se e somente se n é primo 17 Sejam D um domínio de ideais principais e x D um elemento não nulo Mostre que as condições seguintes são equivalentes i O ideal x é maximal ii O ideal x é primo iii O elemento x é irredutível 18 Seja D um DIP domínio de ideais principais e z um elemento irredutível de D Mostre que Dz é um corpo 19 Mostre que Z é um DIP e use este fato e os exercícios acmia para concluir que n é primo se e somente se n é um número primo 20 Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA i No anel Z o ideal 8 é primo ii Todo domínio euclidiano é um domínio principal ii Todo domínio principal é um domínio euclidiano iii Todo corpo é um domínio principal iv Todo domínio fatorial é um domínios de ideais principais 2 i I a 0 0 b a b R A matriz nula pertence a I basta tomar a b 0 logo I sejam A a₁ 0 0 b₁ B a₂ 0 0 b₂ I temos 1 A B a₁ 0 0 b₁ a₂ 0 0 b₂ a₁ a₂ 0 0 b₁ b₂ logo A B I 2 A B a₁ 0 0 b₁a₂ 0 0 b₂ a₁ a₂ 0 0 b₁ b₂ I ou seja A B I Por 1 e 2 segue que I é um subanel do M₂R Agora sejam M a b c d M2IR e A a1 0 0 b1 I Temos MA a b c da1 0 0 b1 aa1 bb1 ca1 db1 I logo I não é um ideal à esquerda AM a1 0 0 b1a b c d a1a a1b b1c b1d I logo I não é um ideal à direita Portanto I é apenas um subanel de M2IR ii J a b 0 c abc IR sejam A a1 b1 0 c1 B a2 b2 0 c2 J 1 J Pois tomando abc0 então 0 0 0 0 J 2 A B a1 a2 b1 b2 0 c1 c2 J 3 AB a1 a2 a1 b2 b1 c2 0 c1 c2 J logo J é um subanel de M2IR Agora vejamos se é um ideal Seja M a b c d M2IR MA a b c da1 b1 0 c1 aa1 ab1 bc1 ca1 cb1 dc1 J logo J não é um ideal à esquerda AM a1 b1 0 c1a b c d a1a b1 c a1b b1 d c1 c c1 d J logo J não é um ideal à direita Portanto J é apenas um subanel de M2IR 3 Sejam R e S subânéis do anel A Vejamos que RnS também é um subanel de A Temos i RnS Pois R e S são subânéis de A então R e S logo RnS ii Dados a b e RnS temos a b e R e a b e S Como R e S são subânéis de A então a b e R e a b e S ou seja a b e RnS iii Sejam a b e RnS então a b e R e a b e S Logo ab e R e ab e S pois R e S são subânéis de A Portanto ab e RnS Portanto RnS é um subanel de A 4 Sejam R e S subânéis do anel A O conjunto RUS não é um subanel de A Pois sejam a b e RUS então temos as seguintes possibilidades 1 a b e R a b e R a b e RUS 2 a b e S a b e S a b e RUS 3 a e R b e S a b RUS 4 b e R a e S a b e RUS Portanto RUS não é um subanel de A 5 Sejam K um corpo e I um ideal de K Vamos mostrar que I K Seja a e I a 0 a é inversi vel pois k é corpo então a1 e K logo aa1 e I e assim 1 e I Além disso dado b e I b b 1 e I Portanto K I logo K I Portanto os únicos ideais de K são os triviais Como IR é corpo logo os únicos ideais de IR são 0 e k Assim os anéis quocientes são IR0 e IRIR Como IRIR é isomorfo à 0 e IR0 é isomorfo à IR Portanto os únicos anéis quocientes de IR são IR e 0 6 Dado o conjunto S 4 121 3 2 71 3 O ideal gerado por S é conjunto de todas as combinações lineares das matrizes de S Sejam A a bc d M2IR x y temos x 4 121 3 y 2 71 3 4x y 12x 7yx y 3x 3y Logo A 4x y 12x 7yx y 3x 3y Portanto S 4x y 12x 7yx y 3x 3y x y IR 7 i Temos ℓOA ℓOA OA ℓOA ℓOA pois ℓ é um homomorfismo Logo ℓOA ℓOA ℓOA ℓOA ℓOA ℓOA ℓOA ℓOA OB ℓOA Portanto ℓOA OB ii Para cada a A temos OB ℓOA ℓa 1 a ℓa ℓ1 a pois ℓ é um homomorfismo Logo OB ℓa ℓ1 a ℓa ℓ1 a iii Se a A é invertível então existe a A tal que a a a a 1A Como ℓ é um homomorfismo temos ℓ1A ℓa a ℓa ℓa 1B Logo ℓa é invertível em B e seu inverso é ℓa e B Logo ℓa ℓa1 Portanto ℓa1 ℓa Um usamos o fato que ℓ1A 1B De fato ℓ1A ℓ1A 1A ℓ1A ℓ1A ℓ1A ℓ1A ℓ1A e1A e1Ae1A 0B e1A 1B e1A 0B logo e1A 0B ou e1A 1B Portanto e1A 1B 8 u Seja f Z Z dada por fx x 1 Dados x y Z temos fx y x y 1 Por outro lado fx fy x 1 y 1 logo fx y fx fy e portanto f não é um homomorfismo Sejam f Z Z dada por fx 2x Dados x y Z temos fx y 2x y 2x 2y fx fy ou seja fx y fx fy fxy 2xy Por outro lado fxfy 2x2y 4xy logo fxy fxfy e portanto f não é um homomorfismo iii seja f Z Z x Z dada por fx 0 x Dados x y Z temos fx y 0 x y 0 0 x y 0 x 0 y fx fy ou seja fx y fx fy fxy 0 xy 00 xy 0 x0 y fxfy ou seja fxy fxfy Portanto f é um homomorfismo uv Sejam f Z x Z Z dada por fxy x Dados x1y1 x2y2 Z x Z temos fx1 x2 y1 y2 x1 x2 fx1 y1 fx2 y2 ou seja fx1y1x2y2 fx1y1 fx2y2 fx1x2 y1y2 x1x2 fx1 y1 fx2y2 ou seja fx1y1x2y2 fx1y1fx2 y2 Portanto f é um homomorfismo vv Seja f Z x Z Z x Z dada por fxy yx Dados x1y1 x2y2 Z x Z temos fx1 x2 y1 y2 y1 y2 x1 x2 y1x1 y2x2 fx1y1 fx2y2 ou seja fx1y1x2y2 fx1y1 fx2y2 fx1x2 y1y2 y1y2 x1x2 y1x1y2x2 fx1 y1 fx2y2 ou seja fx1y1x2y2 fx1 y1 fx2y2 Portanto f é um homomorfismo vi Seja f Z Z4 dada por fx x Dados xy Z temos fx y x y fx fy fxy x y fx fy Portanto f é um homomorfismo vii Seja f C C dada por fabi a bi Dados a1 b1i a2 b2i C temos fa1 a2 b1 b2i a1 a2 b1 b2i a1 b1i a2 b2i fa1 b1i fa2 b2i fa1 b1ia2 b2i fa1a2 b1b2 a1b2 a2b1i a1a2 b1b2 a1b2 a2b1i a1 b1ia2 b2i fla₁ b₁i fla₂ b₂i Portanto fl é um homomorfismo 10 Sejam fl A B um homomorfismo de anéis e J um ideal de B Considere o conjunto fl¹J a A fla J Sejam ab fl¹J então fla flb J Como J é um ideal de B então fla flb J Como fl é um homomorfismo fla flb fla b J logo a b fl¹J Agora se a fl¹J e x A então fla J como J é ideal de B então x fla J logo como fl é um homomorfismo x fla flxa então xa fl¹J Portanto fl¹J é um ideal de A ii iii Suponha que A é um corpo Seja I um ideal de A com I 0 Vamos mostrar que A I Como A é corpo existe 0 a A inversível ou seja aa¹ 1 com a¹ A Logo para qqlqer x A temos x xa¹a Portanto I a A iii ii Suponha que os únicos ideais de A são 0 e A Seja ι A B um homomorfismo de anéis como B é não nulo então Kerι A caso contrário ι seria um homomorfismo não trivial Logo Kerι 0 e portanto ι é injetiva iii i Suponha que A não é um corpo Considere I a um ideal de A com a A a 0 Defina B AI Dado o homomorfismo ι A B definido por ιx x I temos que ι não é injetora pois Kerι I 0 contradizendo a hipótese de ι injetiva Portanto A é um corpo 12 Teorema dos homomorfismos Seja ℓ A B um homomorfismo de anéis Então a função Ψ A kerℓ ℓA definida por Ψa kerℓ ℓa é um homomorfismo de anéis Em particular A kerℓ é isomorfo à ℓA 14 Considere a função f Z Zn dada por fx x f é um homomorfismo Dados x y Z temos 1 fx y x y x y fx fy 2 fxy xy x y fx fy Se fx 0 então x 0 Logo kerf x Z x 0 x Z x 0 mod n nZ Pelo teorema dos homomorfismo Z kerf Imf ou seja Z nZ Zn pois Imf Zn