Lista de Exercícios Resolvidos: Cálculo de Integrais Impróprias e Teste da Comparação

ft 3 para t 1 ft0 para t 1 C article pgfplots t t para 0 1 t 1 ft x 2 A Para calcular a integral 0 dxx1x2 pelo teste da comparação vamos comparála com uma integral cuja convergência ou divergência conhecemos Vamos analisar essa integral passo a passo 1 A função dxx1x2 é uma função racional Para tornar a comparação mais fácil vamos decompor a fração em frações parciais dxx1x2 Ax1 Bx2 onde A e B são constantes a serem determinadas 2 Realizamos a decomposição das frações parciais 1 Ax2 Bx1 August 2023 1 Lista 1 A article pgfplots 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 ft 0 para t 2 ft 1 t2 para t 2 x fx article pgfplots 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 ft 0 para t 2 ft 1 t2 para t 2 x fx B article pgfplots 1 1 Esboce o gráfico de Fx x ftdt onde a ft 1t² se t2 0 se t2 b ft 3 se t 1 0 set 1 c ft 0 se t 0 t se 0 t 1 t² se t 1 2 Calcule as Integrais pelo teste da comparação a 0 dxx1x2 b 2 dxx²2x5 c 0 xcosh dx 3 Calcule a integrais impróprias a 0 ex sen x dx b 1 xx²1² dx c 0 xsenx dx d 0 x³1x⁴ dx 4 Determine se cada integral diverge ou converge a 1 x²x²1² dx b 0 12x5 dx c 0 ex dx d xex² dx 5 Determine m para que ft dx 4 onde fx mx² se x 2 0 se x 2 Resolvendo para A e B encontramos A 1 e B 1 3 Agora podemos reescrever a integral original 0 1x1x2 dx 0 1x1 1x2 dx 4 Vamos analisar cada uma das integrais no lado direito separadamente A integral 0 1x1 dx diverge porque a função é similar a 1x quando x é grande A integral 0 1x2 dx converge porque a função é similar a 1x quando x é grande 5 Dado que uma parte da integral diverge e a outra parte converge a integral original também diverge Portanto a integral 0 1x1x2 dx diverge pelo teste da comparação B Para calcular a integral 2 dxx²2x5 pelo teste da comparação vamos comparála com uma integral cuja convergência ou divergência conhecemos Vamos analisar essa integral passo a passo 1 A função no denominador é x²2x5 e podemos completar o quadrado para facilitar a análise x²2x5 x1²4 2 A integral pode ser reescrita como 2 dxx1²4 3 A função fx dxx1²4 é positiva e decrescente no intervalo de integração 4 Vamos comparar fx com uma função mais simples que conhecemos A função 1x² é uma função que sabemos que converge 5 Usando o teste da comparação vamos comparar fx com 1x² 1x1²4 1x² 6 Agora vamos calcular a integral da função de comparação 1x² no mesmo intervalo 2 2 1x² dx 1x 2 0 1 0 7 Como a integral da função de comparação é finita 0 e fx é menor ou igual a 1x² no intervalo de integração concluímos que a integral 2 1x²2x5 dx também converge Portanto a integral ₂ 1x²2x5 dx converge pelo teste da comparação C Para calcular a integral ⁰ x cosx dx pelo teste da comparação vamos comparála com uma integral cuja convergência ou divergência conhecemos Vamos analisar essa integral passo a passo 1 A função fx x cosx é contínua no intervalo 0 2 A função cosx está limitada entre 1 e 1 para todos os valores de x e a função x é negativa no intervalo 0 Isso significa que fx é sempre menor ou igual a x no intervalo de integração 3 Considerando x como a função de comparação sabemos que ⁰ x dx é uma integral que converge 4 Usando o teste da comparação se fx x no intervalo 0 e a integral de comparação ⁰ x dx converge então a integral ⁰ x cosx dx também converge Portanto a integral ⁰ x cosx dx converge pelo teste da comparação 3 A Começamos aplicando integração por partes uma vez eˣ sinx dx eˣ sinx eˣ cosx dx eˣ sinx eˣ cosx dx Em seguida aplicamos integração por partes novamente na segunda integral eˣ cosx dx eˣ cosx eˣ sinx dx eˣ cosx eˣ sinx dx Combinando as duas equações acima obtemos eˣ sinx dx eˣ sinx eˣ cosx eˣ sinx dx Isolando a integral no lado esquerdo eˣ sinx dx eˣ sinx dx eˣ sinx eˣ cosx Simplificando 0 eˣ sinx eˣ cosx Isolando a integral original eˣ sinx dx eˣ sinx eˣ cosx Calculando os limites da integral definida lima ₀ᵃ eˣ sinx dx lima eᵃ sina eᵃ cosa 1 sin0 1 cos0 0 1 1 Portanto a integral definida ₀ eˣ sinx dx é igual a 1 B 1 Começamos com a integral indefinida dx x²1² arctanx2 sin2 arctanx4 C 2 Aplicando os limites da integral definida ₁ dx x²1² lim a arctana2 sin2 arctana4 arctan12 sin2 arctan14 3 Avaliando os limites numericamente com a 1000 lim a arctana2 sin2 arctana4 arctan10002 sin2 arctan10004 4 Avaliando o segundo limite com a 1000 arctan12 sin2 arctan14 5 Calculando numericamente os valores das funções trigonométricas e da função arco tangente lim a arctana2 sin2 arctana4 039270 e arctan12 sin2 arctan14 039270 6 Subtraindo o segundo limite do primeiro ₁ dx x²1² 039270 039270 0 Portanto numericamente a integral imprópria ₁ dx x²1² é aproximadamente igual a 0 C article amsmath 1 Aplicando a integração por partes na integral x sinx dx usando u x e dv sinx dx x sinx dx x cosx cosx dx x cosx cosx dx x cosx sinx C₁ onde C₁ é uma constante de integração 2 Aplicando integração por partes novamente na integral x cosx dx usando u x e dv cosx dx x cosx dx x sinx sinx dx x sinx cosx C₂ onde C₂ é outra constante de integração 3 Substituindo a segunda integral de volta na primeira integral obtemos x sinx dx x cosx sinx C₁ x sinx cosx C₂ onde C₁ C₂ devido às constantes de integração arbitrárias 4 Aplicando os limites da integral definida ₀ ₀ x sinx dx lim a a sina cosa 0 sin0 cos0 5 Calculando os limites numericamente lim a a sina cosa indeterminado Aqui a integral não converge para um valor finito devido à oscilações das funções sin e cos à medida que a se aproxima do infinito Portanto a integral imprópria ₀ x sinx dx é divergente D 1 Fazendo a substituição u x² para simplificar o denominador du 2x dx e x⁴ u² A integral se torna x³ 1 x⁴ dx 12 2x³ 1 x⁴ dx 12 2x² 1 x⁴ x dx Substituindo u x² e du 2x dx temos 12 1 1 u² du 2 Resolvendo a integral trigonométrica Fazendo a substituição u tanθ o que implica du sec²θ dθ e 1 u² sec²θ A integral se torna 12 1 1 u² du 12 1 sec²θ sec²θ dθ 12 dθ 3 Revertendo as substituições Lembrese das substituições que fizemos u x² e u tanθ Vamos usar essas substituições para encontrar θ em termos de x u x²x² ux u e u tanθ tanθ uθ arctanu Portanto θ arctanx² 4 Aplicando os limites da integral definida ₀ ₀ x³ 1 x⁴ dx 12 arctanx²2 ₀ π4 Portanto a integral imprópria ₀ x³ 1x⁴ dx é igual a π4 4 APara determinar se a integral ₁ x² x³ 1² dx converge ou diverge vamos realizar uma análise de convergência utilizando o critério de comparação 1 Primeiro vamos comparar a integral dada com uma integral mais simples que conhecemos Note que x3 1 x3 então temos x2 x3 12 x2 x6 1 x4 2 A integral 1 1 x4 dx é uma integral pSeries que sabemos que converge pois o expoente da variável x é maior do que 1 3 Agora usando o critério de comparação se a integral 1 1 x4 dx converge então a integral 1 x2 x312 dx também converge Portanto a integral 1 x2 x312 dx converge B Para determinar se a integral 0 1 2x 5 dx converge ou diverge vamos realizar uma análise de convergência 1 A função 1 2x 5 é uma função racional Vamos verificar os limites de integração a Quando x 1 2x 5 se aproxima de 0 b Quando x 0 1 2x 5 tende a 2 A função 1 2x 5 é descontínua no ponto x 52 pois o denominador se torna zero No entanto a integral é avaliada em x 0 e a função não é descontínua nesse ponto 3 Portanto a função não possui descontinuidades no intervalo de integração 4 No intervalo 0 a função 1 2x 5 é negativa e tende ao infinito à medida que x se aproxima de 0 5 Dado que a função é contínua no intervalo de integração negativa e divergente à medida que x se aproxima de 0 a integral 0 1 2x 5 dx é divergente por critério de convergência Portanto a integral 0 1 2x 5 dx diverge C Para determinar se a integral ex dx converge ou diverge vamos dividir a integral em duas partes e analisar cada uma delas separadamente 1 Integral de x 0 0 ex dx 2 Integral de x 0 0 ex dx Para ambas as partes vamos verificar se as integrais convergem ou divergem 1 Para a integral 0 ex dx a função ex é positiva e crescente no intervalo de integração Como ex é uma função exponencial ela cresce rapidamente à medida que x aumenta Portanto a integral diverge 2 Para a integral 0 ex dx a função ex é positiva e decrescente no intervalo de integração Essa integral é equivalente à integral positiva que já consideramos na parte 1 Portanto essa integral também diverge Como ambas as partes da integral divergem a integral ex dx também diverge D Para determinar se a integral x ex2 dx converge ou diverge vamos utilizar o método da substituição trigonométrica Vamos analisar essa integral passo a passo 1 Começamos fazendo a substituição u x2 o que implica du 2x dx e x dx 12 du 2 Substituindo u e x dx na integral obtemos x ex2 dx 12 eu du 3 A integral eu du é uma integral simples da função exponencial e é conhecida como integral gaussiana Ela converge e tem como resultado a raiz quadrada de π eu du π 4 Voltando à variável original x temos 12 eu du 12 π Portanto a integral x ex2 dx converge e seu valor é 12 π 5 Para determinar o valor de m de modo que a integral definida ft dt 4 onde fx m x2 sex 2 0 sex 2 podemos dividir a integral em duas partes e calcular cada uma delas separadamente 1 Primeiro vamos calcular a integral no intervalo 2 x 2 22 fx dx 22 mx2 dx 2 Calculamos a integral da função mx2 no intervalo 2 x 2 22 mx2 dx 83m 3 Agora calculamos a integral no intervalo x 2 x 2 fx dx x 2 0 dx 0 4 A integral definida ft dt é a soma das duas integrais calculadas acima Portanto temos 83m 0 4 5 Resolvendo para m 83m 4 m 4 83 4 23 6 Portanto para que a integral definida ft dt 4 é necessário que m 6