Atividade Calculo3

1 Sejam D x R3 x1 1 x2 1 x3 1 e f D R fx lnx1 x2 x3 Prove que para todos x y D temos fx fy x y 2 Um campo vetorial F Ω R2 R2 é dito conservativo se existe um campo escalar ϕ Ω R tal que ϕ F Nesse caso dizemos que ϕ é uma função potencial associada à F Para cada campo vetorial F abaixo determine se ele é conservativo ou não Se ele for conservativo forneça uma função potencial associada a Fx 1 2x1x2 x3 2 x2 1 3x1x2 2 2x2 b Fx x2 21 cosx1 x2 2x1x2 2x2 x2 2 cosx1 x2 2x2 sinx1 x2 c Fx 6x2 1 2x1x2 2 2x2x1 2x2 1x2 4 x1 3 Encontre todos os extremos globais da função fx x2 1 2x1x2 no conjunto nx R2 x2 1 x22 2 1o 4 Determine o ponto do elipsoide x2 1 2x2 2 x2 3 1 cuja soma dos quadrados das distâncias a 0 0 0 e 1 1 1 seja mínima 5 Desejase construir uma caixa com forma de paralelepípedoretângulo A caixa deve ter diagonal medindo 10cm e a base da caixa deve ter 10cm2 de área Determine as dimensões da caixa que satisfaz essas restrições e maximiza seu volume 6 Determine a integral da função f no conjunto B a fx x1x14 2 sin x2 2x1 B x R2 0 x1 π2 0 x2 1 2 b fx x2 2x1 B x R2 x1 0 x2 1 x2 10 x2 1 c fx x2 1 x2 B x R2 x1 0 x1 x2 2 7 Compute o volume do conjunto B x R3 x3 0 x3 9 x2 1 x2 2 x2 1 x2 2 4 8 Determine a massa e o centro de massa do quarto de casca esférica determinado pelo subconjunto B x R3 1 x 2 x1 0 x2 0 e a função densidade δ B R δx x2 x x₁ x₂ x₃ y y₁ y₂ y₃ x y x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ x y x₁ y₁² x₂ y₂² x₃ y₃² fx lnx₁ x₂ x₃ fy lny₁ y₂ y₃ fx fy lnx₁ x₂ x₃ lny₁ y₂ y₃ lnx₁ x₂ x₃y₁ y₂ y₃ Devemos ter fx fy x y lnx₁ x₂ x₃y₁ y₂ y₃ x₁ y₁² x₂ y₂² x₃ y₃² Devemos ter x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃ 1 Teste com x₁ 3 x₂ 2 x₃ 4 y₁ 2 y₂ 3 y₃ 5 ln910 1² 1² 1² 2 ln3 ln10 3 Teste com x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃ 2 ln1 0 0 0 ② Fx 1 2x₁ x₂ x₁² x₁² 3 x₁ x₂² 2 x₂ Rotacional F î ĵ k Fₓ₁ Fₓ₂ Fₓ₃ x₁ x₂ x₃ î Fₓ₂x₃ Fₓx₂ ĵ Fₓ₃x₁ Fₓ₁x₃ k Fₓ₁x₂ Fₓ₂x₁ F î0 0 ĵ0 0 k2 x₁ 3 x₂² 2 x₁ 3 x₂² F k 4x₁ F 0 F não é conservativo b P k Fₓ₁x₂ Fₓ₂x₁ x₂ x₂² 1 cosx₁ x₂ 2 x₂ 1 cosx₁ x₂ x₂² sinx₁ x₂ Fₓ₁ x₁ 2 x₁ y₂ 2 x₂ x₂² cosx₁ x₂ 2 x₂ sinx₁ x₂ x₂² sinx₁ x₂ 2 x₂ 2 x₂ cosx₁ x₂ F k 2 x₂ 2 x₂ cosx₁ x₂ x₂² sinx₁ x₂ x₂² sinx₁ x₂ 2 x₂ 2 x₂ cosx₁ x₂ F 0 F é conservativo φ F φx₁ φx₂ Fₓ₁ Fₓ₂ φx₁ Fₓ₁ x₂² x₂² cosx₁ x₂ φ x₂² dx₁ x₂² cosx₁ x₂ dx₁ φ x₂² dx₁ x₂² cosx₁ x₂ dx₁ x₁ sinx₁ x₂ φ x₂² x₁ x₂² sinx₁ x₂ C 1 Agora derivamos 1 em relação à x₂ φx₂ 2x₂ x₁ 2x₂ sinx₁ x₂ x₂² cosx₁ x₂ Cx₂ Comparamos com Fₓ₂ φx₂ Fₓ₂ 2 x₂ x₁ 2 x₂ sinx₁ x₂ x₂² cosx₁ x₂ Cx₂ 2x₁ x₂ 2 x₂ x₂² cosx₁ x₂ 2 x₂ sinx₁ x₂ Cx₂ 2 x₂ C 2 x₂ dx₂ x₂² C¹ O potencial é φx₁ x₂ x₁ x₂² x₂² sinx₁ x₂ x₂² C¹ x₂² x₁ sin x₁ x₂ 1 C¹ 2C Fx1 6x12 2x1x22 x22x1 Fx2 2x12x2 4 x1 x F k Fx1x2 Fx2x1 k 0 4x1x2 12x1 4x1x2 12x1 x F k 0 0 F é conservativo φx2 Fx2 2x12x2 4 x1 φ 2x12x2 4 x1 dx2 φ x12x22 4x2 x1 x2 c φx1 Fx1 2x1x22 0 x22x1 cx1 6x12 2x1x22 x22x1 cx1 6x12 c 6x12 dx1 6x133 c 2x13 c φ x12x22 4x2 x1 x2 2x13 c 3 fx x12 2x1x2 gx x12 x22 2 1 f λ g x12 2x1x2 λ x12 x22 2 1 gradiente gradiente x2 2 x1 x12 x222 1 3 soluções X2 23 e X2 23 Como a equação 2 dá 4X12 2X1X2 4 0 X2 23 X1 33 333 13 está dentro da elipse X2 23 X1 23 está dentro da elipse Pontos X1 X2 P1 13 23 P2 23 23 Vamos calcular fx nesses pontos f13 23 132 21323 13 43 33 1 mínimo f23 23 232 22323 23 223 2 43 63 2 máximo A distância é calculada por d² x₁ x₁0² x₂ x₂0² x₃ x₃0² D Elipsóide x₁² 2x₂² x₃² 1 x₃² 1 x₁² 2x₂² x₃ 1 x₁² 2x₂² f𝑥 x₁ x₂ 1 x₁² 2x₂² Ponto 000 D₁ x₁ 0² x₂ 0² x₃ 0² x₁² x₂² x₃² x₁² x₂² 1 x₁² 2x₂² x₁² x₂² 1 x₁² 2x₂² 1 x₂² Ponto 111 D₂ x₁ 1² x₂ 1² x₃ 1² x₁² 1 2x₁ x₂² 1 2x₂ x₃² 1 2x₃ x₁² x₂² 2x₁ 2x₂ 2 1 x₁² 2x₂² 1 2x₃ x₂² 2x₁ 2x₂ 4 21 x₁² 2x₂² A soma D₁ D₂ deve ser mínima Vamos calcular os gradientes de D₃ e D₄ D₃ D₃x₁ D₃x₂ 2x₁1 2x₂² x₁² 2 4x₂1 2x₂² x₁² 4x₂ 2 D₄ 2x₁1 2x₂² x₁² 2 4x₂1 2x₂² x₁² 4x₂ 2 Igualamos os gradientes a zero D₃x₁ 0 x₂ 2x₁² 12 0 x₁ 12 D₃x₂ 0 x₁ 8x₂⁴ 8x₂³ 2x₂² 4x₂ 1 4x₂² 4x₂ 1 10 x₂ 06 D₄x₁ 0 x₂ 2x₁² 12 12 x 0 D₄x₂ 0 x₁ 8x₂⁴ 8x₂³ 2x₂² 4x₂ 1 1 4x₂ 4x₂² 02422 x₂ 0 x₁ e x₂ não podem ser menores que zero Raiz negativa descartada 4 D₁ D₂ D₃ Raiz positiva 1 x₂² x₂² 2x₁ 2x₂ 4 21 x₁² 2x₂² D₃ D₄ D₁ D₂ Raiz negativa 1 x₂² x₂² 2x₁ 2x₂ 4 21 x₁² 2x₂² D₄ x₂ 059 x₁ 010 para D₃ x₂ 024 x₁ 018 para D₄ x₃ 079 para D₃ x₃ 094 para D₄ x₁ 010 x₂ 059 x₃ 079 minimizam a soma dos quadrados Vabc Base ab 10 cm2 D sqrta2b2c2 10 a2 b2 c2 100 f A W A 2bc 2ac ab 10 A 2cb9 10 ab 10 b 109 and a 10b V abc 10 sqrt100 a2 b2 V 10 sqrt100 10b2 b2 dVdb 10 sqrt100 10b2 b2 ddb 100 100b2 b2 dVdb 10b4 100 b3 sqrt100 b2 100 b4 0 b4 100 0 b4 100 b sqrt10 a 10b 10 sqrt10 sqrt10 Agora calculamos c c sqrt100 a2 b2 sqrt100 10 10 4 sqrt5 V abc sqrt10 sqrt10 4 sqrt5 40 sqrt5 I integral0pi2 integral012 x1 x2 sinx1 1 4x22 dx2 dx1 x1 sinx1 integral012 x2 1 4x22 dx2 x1 sinx1 integral 1u du8 u 1 4x22 du 8 x2 dx2 x2 dx2 du8 18 lnu 18 ln1 4x22 I integral0pi2 x1 sinx1 18 ln1 4x22012 dx1 integral0pi2 x1 sinx1 ln28 dx1 x1 sinx18 ln1 4122 ln1 0 ln2 I ln28 integral0pi2 x1 sinx1 dx1 ln28 integral u dv ln28 u v integral v du por partes u x1 du dx1 dv sinx1 dx1 v cosx1 I ln28 x1 cos x10pi2 integral0pi2 cosx1 dx1 sinx10pi2 1 0 1 I ln28 1 ln28 I integral integral x22 sqrtx1 dx2 dx1 I integral sqrtx1 integralx1210 x12 x22 dx2 dx1 sqrtx1 x23 3x1210 x12 sqrtx1 3 10 x123 x123 I integral sqrtx1 3 1000 300 x12 30 x14 2 x16 dx1 I 13 integral x112 1000 300 x12 30 x14 2 x16 dx1 I 13 1000 integral x112 dx1 300 integral x152 dx1 30 integral x192 dx1 2 integral x1132 dx1 I 13 1000 23 x132 300 27 x172 30 211 x1112 2 215 x1152 I 13 20003 x132 6007 x172 6011 x1112 415 x1152 x1 0 ou x1 1963783 I 0 0 x1 1963787 I 0 x1 1963787 I 0 I x₁² x₁² x₂ d x₂ d x₁ x₁² x₂ x₂²2 x₁² x₁² 2 x₁ 12 4 x₁ I x₁² 2 x₁ 12 4 x₁ d x₁ I 2 x₁² x₁52 2 x₁ 2 d x₁ 2 x₁³ 3 27 x₁72 2 x₁ x₁² 4 I 0 se x₁ 0 ou x₁ 573 I 0 se x₁ 0 e x₁ 573 I 0 se x₁ 573 x₃ 0 x₃ 9 x₁² x₂² x₁² x₂² 4 R 2 x₁ R cosθ 2 cosθ x₂ R sinθ 2 sinθ x₃ x₃ V dV d x₁ d x₂ d x₃ r dr dθ d x₃ V ₀5 d x₃ ₀2π dθ ₀2 r dr x₃ ₀5 θ ₀2π r²2 ₀2 52π42 V 20 π 0 x₃ 9 x₁² x₂² 0 x₃ 9 4 0 x₃ 5 mv ρ ρ V m m ρ V x₃² r² cos²φ dm ρ dV δx dV x² dU x₃² dV m v δx dV r² cos²φ r² sinφ dr dφ dθ m ₀π4 dθ ₀π4 cos²φ sinφ dφ ₁² r⁴ dr π4 13 162 35 cos³φ3 ₀π4 13 162 r⁵5 ₁2 15 25 1⁵ 315 m 105 1 x x1 x2 x3 y y1 y2 y3 x y x1 y1 x2 y2 x3 y3 x y x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 f x ln x1 x2 x3 f y ln y1 y2 y3 f x f y ln x1 x2 x3 ln y1 y2 y3 ln x1 x2 x3 y1 y2 y3 Desejemos tirar f x f y x y ln x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 Desejemos tirar x1 x2 x3 y1 y2 y3 1 Teste com x1 3 x2 2 x3 4 y1 2 y2 3 y3 5 ln 910 1 2 1 2 1 2 2 ln 3 ln 10 3 Teste com x1 x2 x3 y1 y2 y3 2 ln 1 0 0 0 2 a F x 1 2 x1 x2 x2 2 x1 2 3 x1 x2 2 2 x2 Rotacional F ˆ i ˆ j ˆ k F x1 F x2 F x3 x1 x2 x3 ˆ i F x2 x3 F x3 x2 ˆ j F x3 x1 F x1 x3 ˆ k F x1 x2 F x2 x1 F ˆ i 0 0 ˆ j 0 0 ˆ k 2 x1 3 x1 2 2 x1 3 x2 2 F ˆ k 4 x1 F 0 F não é conservativo b F ˆ k F x1 x2 F x2 x1 x2 x2 2 1 cos x1 x2 2 x2 1 cos x1 x2 x2 2 sin x1 x2 F x1 x1 2 x1 x2 2 x2 x2 2 cos x1 x2 2 x2 sin x1 x2 x2 2 sin x1 x2 2 x2 2 x2 cos x1 x2 F ˆ k 2 x2 2 x2 cos x1 x2 x2 2 sin x1 x2 x2 2 sin x1 x2 2 x2 2 x2 cos x1 x2 F 0 F é conservativo 1 b ϕ F ϕ x1 ϕ x2 F x1 F x2 ϕ x1 F x1 x2 2 x2 2 cos x1 x2 ϕ x2 2 d x1 x2 2 cos x1 x2 d x1 ϕ x2 2 d x1 x2 2 cos x1 x2 d x1 ϕ x2 2 x1 x2 2 sin x1 x2 C 1 Agora derivamos 1 em relação à x2 ϕ x2 2 x2 x1 2 x2 sin x1 x2 x2 2 cos x1 x2 C x2 Comparamos com F x2 ϕ x2 F x2 2 x1 x2 2 x2 sin x1 x2 x2 2 cos x1 x2 C x1 2 x1 x2 2 x2 x2 2 cos x1 x2 2 x2 sin x1 x2 C x2 2 x2 C 2 x2 d x2 x2 2 x2 2 C x2 2 C O potencial é ϕ x1 x2 x1 x2 2 x2 2 sin x1 x2 x2 2 C x2 2 x1 sin x1 x2 1 C 2 C Fx1 6x12 2x1x22 x22x1 Fx2 2x12x2 4 x1 F k Fx1x2 Fx2x1 k 0 0 0 F é conservativo φx2 Fx2 2x12x2 4 x1 φ 2x12x2 4 x1 dx2 φ x12x22 4x2 x1 x2 C φx1 Fx1 2x1x2 0 x22x1 Cx1 6x12 2x1x22 x22x1 Cx1 6x12 C 6x12 dx1 6x133 C1 2x13 C1 φ x12x22 4x2 x1 x2 2x13 C1 21 f fx1 fx2 2x1 2x2 2x1 g gx1 gx2 2x1 x2 f λ g 2x1 2x2 λ2x1 e 2x1 λx2 λ 2x1x2 2x1 2x2 2x1x22x1 2x1 2x2 4x12 2x1x2 2x22 4x12 De gx x12 1 x222 2x1x2 2x22 4 1 x222 2x1x2 2x22 4 2x22 4x22 2x1x2 4 0 Vamos usar x12 1 x222 x1 1 x222 em 2 4x22 21 x222 x2 4 0 4x22 21 x222 x2 42 0 4x22 2x24 16x24 32x22 16 0 22 3 Solução x2 23 e x2 23 Como a equação 2 dá 4x22 2x1x2 4 0 x2 23 x1 33 333 13 está dentro da elipse x2 23 x1 23 está dentro da elipse Pontos x1 x2 P1 13 23 P2 23 23 Vamos calcular fx nesses pontos f13 23 132 21323 13 43 33 1 mínimo f23 23 232 22323 23 223 2 43 63 2 máximo 23 3 fx x12 2x1x2 gx x12 x222 1 f λ g x12 2x1x2 λ x12 x222 1 gradiente gradiente x2 12 x12 x222 1 A distância é calculada por d² x₁ x₁0² x₂ x₂0² x₃ x₃0² D Elíptide x₁² 2x₂² x₃² 1 x₃² 1 x₁² 2x₂² x₃ 1 x₁² 2x₂² fx x₁ x₂ 1 x₁² 2x₂² Ponto 000 D₁ x₁ 0² x₂ 0² x₃ 0² x₁² x₂² x₃² x₁² x₂² 1 x₁² 2x₂² x₁² x₂² 1 x₁² 2x₂² 1 x₂² Ponto 111 D₂ x₁ 1² x₂ 1² x₃ 1² x₁² 1 2x₁ x₂² 1 2x₂ x₃² 1 2x₃ x₁² x₂² 2x₁ 2x₂ 2 1 x₁² 2x₂² 1 2x₃ x₂² 2x₁ 2x₂ 4 21 x₁² 2x₂² A soma D₁ D₂ deve ser mínima Vamos calcular os gradientes de D₃ e D₄ D₃ D₃x₁ D₃x₂ 2x₁ 1 2x₂² x₁² 2 4x₂ 1 2x₂² x₁² 2 D₄ 2x₁ 1 2x₂² x₁² 2 4x₂ 1 2x₂² x₁² 4x₂ 2 Igualamos os gradientes a zero D₃x₁ 0 x₂ 2x₁² 12 0 x₁ 12 D₃x₂ 0 x₁ 8x₂⁴ 8x₂³ 2x₂² 1 4x₂² 4x₂ 1 0 x₂ 06 D₄x₁ 0 x₂ 2x₁² 12 12 x 0 D₄x₂ 0 x₁ 8x₂³ 8x₂³ 2x₂² 4x₂ 1 1 4x₂ 4x₂² 02422 x₂ 0 D₁ D₂ D₃ Raiz positiva 1 x₂² x₂² 2x₁ 2x₂ 4 21 x₁² 2x₂² D₃ D₄ D₁ D₂ Raiz negativa 1 x₂² x₂² 2x₁ 2x₂ 4 21 x₁² 2x₂² D₄ x₂ 059 x₁ 010 para D₃ x₂ 024 x₁ 018 para D₄ x₃ 079 para D₃ x₃ 094 para D₄ x₁ 010 x₂ 059 x₃ 079 minimizam a soma dos quadrados Vabc Baseab10 cm² Da²b²c²10 a²b²c²100 f A 2W A2bc 2ac a²b10 A2cba 10 ab10 b10a or a10b Vabc10 c100a²b² V10 10010b² b² dVdb 10100 100b² b² ddb 100100b²b² 0 1002b³ b 2 dVdb 10b⁴ 100 b²100b² 100 b⁴ 0 b⁴ 100 0 b⁴100 b10 a10b 1010 10 Agora calculamos c c 100 a² b² 1001010 45 V abc 101045 405 I ₀ᴨ₂ ₀¹₂ x₁ x₂ minx₁14x₂² dx₂ dx₁ x₁ minx₁ ₀¹₂ x₂14 x₂² dx₂ x₁ minx₁ 1u du8 18 lnu 18 ln14x₂² u14x₂² du8 x₂ dx₂ x₂ dx₂ du8 I ₀ᴨ₂ x₁ minx₁ 18 ln14x₂² ₀¹₂ dx₁ ₀ᴨ₂ x₁ minx₁ ln28 dx₁ x₁ minx₁8 ln14½² ln10 ln2 I ln28 ₀ᴨ₂ x₁ minx₁ dx₁ ln28 u dv por partes ux₁ du dx₁ dv minx₁ dx₁ v cosx₁ I ln28 x₁ cosx₁ ₀ᴨ₂ ₀ᴨ₂ cosx₁ dx₁ 0 minx₁₀ᴨ₂ 10 1 I ln28 1 ln28 I x₂²x₁ dx₂ dx₁ x₁² to 10x₁² x₁ x₁² to 10x₁² x₂² dx₂ x₁ x₂³3 10x₁²x₁² x₁3 10x₁²³x₁²³ I x₁ 1000 300 x₁²30 x₁⁴ 2 x₁⁶3 dx₁ I 45 x₁¹₂ 1000 300 x₁² 30 x₁⁴ 2 x₁⁶ dx₁ I 13 1000 x₁¹₂ dx₁ 300x₁⁵₂ dx₁ 30x₁⁹₂ dx₁ 2 x₁¹³₂ dx₁ 23 x₁³₂ 27 x⁷₂ 211 x¹¹₂ 215 x¹⁵₂ I 13 20003 x₁³₂ 6007 x₁⁷₂ 6011 x¹¹₂ 415 x₁¹⁵₂ x₁0 or x₁1963783 I0 0 x₁ 1963787 I 0 x₁ 1963787 I 0 I x1 to 2 x12 x22 dx2 dx1 x12 x2 x222 x1 to 2 x12 2 x1 12 4 x1 I x12 2 x1 12 4 x1 dx1 I 2 x12 x152 2 x12 dx1 2 x133 27 x172 2 x1 x124 I 0 se x1 0 ou x1 573 I 0 se x1 0 e x1 573 I 0 se x1 573 x3 0 x3 9 x12 x22 x12 x22 4 R 2 x1 R cosθ 2 cosθ x2 R sinθ 2 sinθ x3 x3 V dV dx1 dx2 dx3 rdrdθdx3 V 0 to 5 dx3 0 to 2π dθ 0 to 2 r dr x30 to 5 θ0 to 2π r22 0 to 2 52π42 0 x3 9 x12 x22 0 x3 9 4 0 x3 5 V 20π mv p pV m m pV x32 r2 cos2phi dm p dV dx dV x2 dU x32 dV m v dx dV r2 cos2phi r2 sinphi drdphidtheta m 0 to π4 dθ π4 to 0 cos2θ sinθ dφ 1 to 2 r2 dr π4 13 162 35 cos3phi3 π4 13 162 r55 1 15 25 15 315 m 105