Exercícios Resolvidos - Modelo de Malthus e Dinâmica Populacional em Maringá PR

QUESTÃO 1 Uma das principais aplicações do estudo das equações diferenciais está nos modelos que descrevem as dinâmicas populacionais que permitem previsões sobre o número de indivíduos de uma determinada espécie ao longo do tempo O primeiro modelo criado para descrever crescimentos populacionais foi feito por Thomas Robert Malthus 1766 1834 e ficou conhecido como Lei de Malthus Nesse modelo era suposto que a variação da população era proporcional à população inicial e à variação do tempo Fonte adaptado de BIFFI L C R SILVA B G da TRIVIZOLI L Uma contextualização histórica para o modelo clássico de Malthus Revista Brasileira de História Educação e Matemática HIPÁTIA v 3 n 2 p 824 2018 Dessa forma a equação diferencial que descreve esse modelo é Pt α βPt Onde Pt representa o total de indivíduos de certa população em um instante t em anos α representa o índice de natalidade dessa população β representa o índice de mortalidade dessa população Nessa atividade MAPA queremos que você faça algumas análises de situações referentes ao modelo de Malthus E para isso você deve responder aos seguintes itens a Segundo dados do IBGE de 2021 a cidade de Maringá PR possuía nesse ano uma população estimada em 436472 habitantes uma taxa de natalidade de 001023 1023 para 1000 habitantes e uma taxa de mortalidade de 000867 867 para cada 1000 habitantes Descreva o PVI que representa a dinâmica populacional da cidade de Maringá segundo a Lei de Malthus com os dados apresentados considerando o valor inicial como número de habitantes em 2021 Fonte httpswwwipardesgovbrcadernosMontaCadPdf1phpMunicipio87000 Acesso em 29 jun 2023 b Determine a solução do PVI obtido no item a c Qual a previsão para a população da cidade de Maringá em 2025 E em 2030 A população tende a crescer ou decrescer nesses períodos d Observe que para a cidade de Maringá a diferença α β é positiva O que ocorre em uma cidade em que α β0 E o que ocorre quando α β é negativo e Estude agora o que acontece com a solução do PVI do item a quando t O resultado obtido faz sentido quando o aplicamos ao mundo real O que esse resultado nos diz sobre o modelo de Malthus a Segundo os dados do IBGE de 2021 a cidade de Maringá PR possuía nesse ano uma população estimada de 436472 habitantes uma taxa de natalidade de 001023 1023 para 1000 habitantes e uma taxa de mortalidade de 000867 867 para cada 1000 habitantes Descreva o PVI que representa a dinâmica populacional da cidade de Maringá segundo a lei de Malthus com os dados apresentados considerando o valor inicial como número de habitantes em 2021 Resolução Na descrição do problema foi nos dito que a EDO que descreve o problema acima é dada por P t αβ Pt Onde Pt é o número total de indivíduos da região analisada no instante t β é o índice de mortalidade e α o índice de natalidade Sendo assim substituindo os valores dados no enunciado o PVI do problema é dP dt 001023000867 P dP dt 000156 P P 0436472 No enunciado nos foi dito para considerarmos o valor inicial como o número de habitantes em 2021 por isso no momento t0 o número de habitantes é 436472 b Determine a solução do PVI obtido no item a Resolução A EDO que encontramos no item a é dP dt 000156 P Podemos resolver ela utilizando o conceito de variáveis separáveis 1 000156 P dPdt Integrando os dois lados 1 000156 ln P tc1 ln P000156t Colocando exponencial dos dois lados para evidenciar P e ln Pe 000156 tc1 Pe c1e 000156t Pc2e 000156t Agora podemos aplicar o ponto inicial encontrado no item a que é P 0436472 436 472c2e 0 c2436472 Sendo assim a solução do PVI é P t436472e 000156t c Qual a previsão para a população da cidade de Maringá em 2025 E em 2030 A população tende a crescer ou decrescer nesses períodos Resolução No item anterior encontramos a solução da EDO P t436472e 000156t Como nós consideramos o ponto inicial em 2021 que na nossa solução é t0 Então para encontrarmos a previsão para 2025 nós devemos aplicar t4 na solução do PVI P 4 436472e 0001564 P 4 439204 Para 2030 nós devemos aplicar t9 P 9436472e 0001569 P 9442643 Logo a população tende a crescer o que faz sentido tendo em vista que a taxa de natalidade é maior que a taxa de mortalidade d Observe que para a cidade de Maringá a diferença αβ é positiva O que ocorre em uma cidade em que αβ0 E o que ocorre quando αβ é negativo Resolução Como podemos ver nos itens acima a solução para o PVI do problema é dada por P tP0e αβ t Onde P0 é a população inicial Sendo assim se αβ0 nós teremos que a solução será P tP0e 0 Como sabemos que e 01 então a população futura não dependerá do tempo e sim apenas da população inicial Logo teoricamente podemos concluir que a população dessa região será a mesma independente de quanto tempo passe Para a segunda situação nós iremos trocar αβ por k e a solução se torna P tP0e k t Como neste caso αβ é negativo então P tP0e kt Logo como nós temos que um número elevado a uma expoente negativo será sempre menor ou igual a 1 Podemos concluir que a população irá decrescer com o passar do tempo e Estude agora o que acontece com a solução do PVI do item a quando t O resultado obtido faz sentido quando aplicamos ao mundo real O que esse resultado nos diz sobre o modelo de Malthus Resolução A solução obtida no item a é dada por P t436472e 000156t Aplicando no limite de t lim t 436472e 000156t Sabemos que qualquer número elevado a mais infinito tem o resultado dado pelo próprio infinito lim t 436472e 000156t Sendo assim quando tempo tende ao infinito a população também tenderá ao infinito E sabemos que o resultado não faz sentido porque é fisicamente impossível termos uma população infinita Logo o modelo de Malthus não se aplica para grandes intervalos de tempo até porque com o passar do tempo a taxa de natalidade e de mortalidade pode mudar drasticamente e assim será necessário encontrar uma nova solução que seja coerente com o tempo observado