Atividade

Questões Questão 1 Defina num espaço vetorial V uma nova operação chamada média entre vetores dada por u v 12 u 12 v Mostre que u v w u v w se e somente se u w Questão 2 Sejam V e W espaços vetoriais e T V W uma transformação linear Mostre que T é injetora se e somente se kerT 0 Questão 3 Seja v1 vn um conjunto LI de V e T V W uma aplicação linear injetora Mostre que T v1 T vn é um conjunto LI em W Questão 4 Nas transformações lineares abaixo determine kerT e ImT bem como calcule posto e nulidade Exiba uma base para kerT e uma base para ImT a 1 pt T R3 R4 dada por T x y z x y y z z x x z b 1 pt S P3 R dada por Spt 02 pt dt Questão 5 Escreva a expressão da transformação linear T R3 R4 que efetua T121 1201 T011 0021 T010 1201 u v 12 u 12 v u v 12 u 12 v u v w 12 u 12 v w 12 12 u 12 v 12 w 14 u 14 v 12 w v w 12 v 12 w u v w u 12 v 12 w 12 u 12 12 v 12 w 12 u 14 v 14 w 14 u 14 v 12 w 12 u 14 v 14 w 12 w 14 w 12 u 14 u 14 w 14 u u w 1 Se T é injetora então kerT 0 seja v e kerT significa que Tv 0w vetor nulo em V T0v 0w 0v é o vetor nulo em V Tv T0v 0w se Tv T0v então v 0v v 0v o único elemento no núcleo de T é o vetor nulo kerT 0v 2 Se kerT 0 então T é injetora se Tu Tv para alguns u v e V então u v Tu Tv para alguns u v e V Tu Tv Tu v Tu v Tu Tv 0w u v e kerT como kerT 0v u v 0v u v T é injetora kerT 0v c1Tv1 c2Tv2 cnTvn 0w vetor nulo em w Tc1v1 Tc2v2 Tcnvn 0w Tc1v1 c2v2 cnvn 0w c1v1 c2v2 cnvn 0v vetor nulo em v c1v1 c2v2 cnvn 0v c1 c2 cn 0 Se c1Tv1 c2Tv2 cnTvn 0w então c1 c2 cn 0 o que prova que Tv1 Tvn é um conjunto LI em W a Tx y z x y y z z x x z x y 0 y z 0 z x 0 x z 0 base para kerT 1 1 1 imagem Tx y z x y y z z x x z x1 0 1 1 y1 1 0 0 z0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 base para ImT 1 0 1 1 1 1 0 0 Nulidade T 1 pois a base do kernel tem 1 vetor Posto T 2 pois a base da imagem tem 2 vetores b sPt 0² at³ bt² ct d dt a t⁴4 b t³3 c t²2 dt₀² 4a 83 b 2c 2d 0 a b c d 2a 43 b c Pta t³ b t² c t 2a 43 b c at³ 2 b t² 43 ct 1 base para kers t³ 2 t² 43 t 1 imagem todo IR 1 Nulidade s 3 pois a base do kernel tem 3 vetores Posto s 1 pois a base da imagem tem 1 vetor 5 T1 2 1 1 2 0 1 T0 1 1 0 0 2 1 T0 1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 0 1 10 11 1 0 1 1 1 0 1 0 x y z a1 2 1 b0 1 1 c 0 1 0 a x 2a b c y a b z 2x z x c y 2x z x c y x z c y c x z y Tx y z y z 4x 2z 2y 2z x y Tx y z y z 4x 2y 2z 2z x y