Avaliação Objetiva Álgebra Linear

Módulo 9 - 117879 - 7 - Fed - Álgebra Linear (Engenharia de Produção) - 2023/2 D Avaliação Objetiva Pergunta 1 Considere os vetores do R3, u(1,2,3), v(3,-4,5) e w(4,3). Dado que dois vetores são ortogonais se o seu produto interno é zero, assinale a alternativa correta. ● Ocultar opções de resposta ▼ O AOs vetores u, v e w não são ortogonais entre si. Os vetores u e v não são ortogonais entre si. O Não existe produto interno entre esses vetores. Os três vetores são ortogonais. ● Apenas os vetores u e w são ortogonais. Apenas os vetores v e w são ortogonais. 0,45 / 0,45 Resposta correta Pergunta 2 Para que o conjunto de vetores v1 = (2,4) e v2 = (1,2) sejam LD, um dos valores possíveis dos coeficientes deve ser: ● Ocultar opções de resposta ▲ a = 1 b = 1 a = 1 b = -1 ∙ a = 2 b = -1 a = 2 b = 3 a = 2 b = -4 0,45 / 0,45 Resposta correta Pergunta 3 Dizemos que →u é uma combinação linear dos vetores →v e →w quando existem números reais, a e b, tais que: →u = a →v + b →w Considere os vetores →u = (4,1,0) →v = (1,3,1) →w = (2,1,-2) Assinale a alternativa que descreve os valores de a e b. ● Ocultar opções de resposta ▲ A a = 1 b = 2 O a = 1 b = 2 a = 2 b = 2 a = 3 b = 2 a = 2 b = 4 0 / 0,45 Resposta correta Pergunta 4 Dizemos que →u é uma combinação linear dos vetores →v1, →v2 e →v3 quando existem números reais, a1, a2 e a3, tais que →u = a1 →v1 + a2 →v2 + a3 →v3 Considere os vetores →u = (9,-3,1) →v1 = (1,2,-1) →v2 = (2,0,1) →v3 = (1,-1,0) Assinale a alternativa que descreve o vetor →u como combinação linear dos vetores →v1, →v2 e →v3 ● Ocultar opções de resposta ▲ →u = 1v1 + 2v2 + 1v3 →u = 2v1 + 3v2 + v3 O →u = 1v1 + 1v2 + v3 →u = 2v1 + v2 + v3 →u = 2v1 + 1v2 + 3v3 0,45 / 0,45 Resposta correta Pergunta 5 O polinômio característico de uma matriz A é dado pela equação det(λIn - A) = 0 Ou seja, é a equação gerada por meio do determinante de uma subtração entre a matriz identidade multiplicada por um escalar e a matriz A. Com isso, é possível perceber que o polinômio característico é de grau n e pode ser escrito como λn + c1λn-1 + c2λn-2 + ... + cn-1λ + cn Ainda é válido acrescentar que as raízes desta equação é conhecido como autovalores. Conhecendo a matriz A determine os polinômio característico da matriz. [1 2 -1] A = [4 -5] [1 0] 4 -1 ● Ocultar opções de resposta ▲ ∙ -λ³ + λ² + 8 O λ³ - 6λ² + 11λ - 6 O 5λ³ - λ² + λ - 3 O 2λ³ + λ² - 8λ - 12 ● λ³ + 6λ - 5 0,45 / 0,45 Resposta correta Pergunta 6 Considere um operador linear, ou seia, uma transformação linear, do espaço vetorial V para o espaço vetorial W. A cada vetor v que pertence ao espaço vetorial V terei os um vetor - resultante da transformação - no espaço vetorial W. Se aplicamos sucessivos inversos, atrás de um novo operador linear, seja possível obter uma relação que associe cada vetor da transformação no espaço vetorial W a um vetor v do espaço vetorial V. Dizemos que o operador linear T admite inversa. Nessas condições são afirmativas. I. O operador T(x,y) = (4xy, -4) admite inversa. II. O operador T(x,y) = (x²,y²) admite inversa. III. O operador T(x,y) = (-x²,y-2x) admite inversa. IV. O operador T(x,y) = (2xy, 2x-4y) admite inversa. Assinale a alternativa correta: ● Ocultar opções de resposta ▲ Apenas I, II e III estão corretas Apenas I e III estão corretas Apenas II e IV estão corretas O Apenas I e IV estão corretas Apenas II e III estão corretas 0,45 / 0,45 Resposta correta Pergunta 7 Em álgebra linear calcula-se autovalores e autovetores de uma matriz quadrada. A quantidade de autovalores é o mesmo valor que a ordem da matriz e cada autovalor é associado a autovetores. Em relação aos autovetores, assinale as assertões abaixo e assinale a opção correta: (F) As entradas de uma matriz triangular superior ou inferior são os valores de sua diagonal principal. (R) O determinante de uma matriz triangular é a multiplicação dos elementos da diagonal principal. A respeito dessas assertivas, assinale a opção correta: OCultar opções de resposta ▼ A As assertivas I e II são proposições falsas. As assertivas I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. As assertivas I e II são proposições falsas. A assertiva I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. A assertiva I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 0,45 / 0,45 Resposta correta Pergunta 8 Escrevendo um vetor v como uma combinação linear de uma base A, os escalares a1, a2, a3, ..., an, são chamados de componentes da base. Considerando a base A = {(1,2), (1,3)} do R2 e o vetor v = (4,5), os componentes desta bases são: ● Ocultar opções de resposta ▼ O x = 2y = 3 x = 3 = 2y x = 7 = 0 x = 7y = -3 x = 7y = 7 0,45 / 0,45 Resposta correta Pergunta 9 0.45/0.45 A diagonalização de matrizes tem o objetivo de “transformar” uma matriz não diagonal em uma matriz diagonal, ou seja, com elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal. Este processo é dado por: 'Dizemos que uma matriz A n x n é diagonalizável, se existem matrizes P e D tais que, ou equivalente, em que D é uma matriz diagonal.' - Disponível em https://pt.khanacademy.org [acesso em 25/04/2020]. Vale acrescentar que P é a matriz formada pelos autovetores de A. Com isso, considere a matriz A e a matriz P abaixo: [-3 4 -5] [1 0] [0 A = -2 e P = 0 1] 2] Encontre a matriz diagonal D da matriz dada A. Ocultar opções de resposta A - -> D = [ 0 0] 2 0] Resposta correta D = [-3 0 C - -> 0 ] D = [1/3 0 0 ] D = [3/5 0 0 2/5] Pergunta 10 0.45/0.45 “Seja T uma transformação linear em um espaço vetorial real V aplicada a um corpo K. Denomina-se autovalor o escalar real pertencente a K (λ∈K) se, para esta transformação linear T, existe um vetor não nulo pertencente a V(x≠0) para qual: T(v) = λv' Disponível em "sobre esta questão" (é chamado o autovetor de T correspondente ao autovalor λ.” (MAT2024,P5, acesso em: 26/04/2020)." Dado que você é capaz de usar este conhecimento e definição e encontrar o autovalor da transformação T(x,y)=(4x+5y,2x+y) Sabendo que v=(2,5) é um autovetor. Ocultar opções de resposta A λ=3 B - -> λ=5 C λ=6 Resposta correta D λ=4 E λ=2