3 Trabalho de Cálculo 2

3º TRABALHO DE CÁLCULO II TRABALHO TEÓRICO TT 9 Pontos Professor Glelson Pereira Marques Email glelsonmarquesuemgbr Entregar na data da 3ª Prova os seguintes exercícios Exercícios da 3ª Lista resolvidos passa a passo 2 3 5 7 8 12 16 18 19 22 26 27 30 32 Exercícios da 4ª Lista resolvidos passa a passo 1 2 7 9 11 12 14 15 17 18 19 21 22 24 25 27 29 OBS Regras de Entrega trabalhos fora das normas estabelecidas terão nota zero Questão 1 fxy x5 y 2x3 37 Derivada parcial em relação a x fx x x5 y x 2x3 x 37 5x4 y 6x2 0 5x4 y 6x2 Derivada parcial em relação a y fy y x5 y y 2x3 y 37 x5 0 0 x5 Questão 2 fxy xy 12 Derivada parcial em relação a x fx 2xy 1 xxy 1 Regra da Cadeia 2xy 1 y 2yxy 1 Derivada parcial em relação a y fy 2xy 1 yxy 1 2xy 1 x 2xxy 1 Questão 7 fxy 2yy cos x Derivada parcial em relação a x Regra do Quociente fx 0y cos x 2ysin xy cos x2 2y sin xy cos x2 2y sin xy cos x2 Derivada parcial em relacao a y f y 2y cos x 2y1 y cos x2 2 cos x y cos x2 2 cos x y cos x2 Questao 9 w lnx 2y 3z Passo 1 Derivada parcial em relacao a x w x x lnx 2y 3z 1 x 2y 3z xx 2y 3z 1 x 2y 3z Passo 2 Derivada parcial em relacao a y w y 2 x 2y 3z Passo 3 Derivada parcial em relacao a z w z 3 x 2y 3z Questao 11 Segundas derivadas de fx y x5y 2x3 3 7 Primeiras derivadas fx 5x4y 6x2 fy x5 Derivadas segundas fxx x5x4y 6x2 20x3y 12x fyy y x5 0 fxy y 5x4y 6x2 5x4 fyx xx5 5x4 2 Questao 12 fx y sinxy Primeiras derivadas f x x sinxy y cosxy f y y sinxy x cosxy Derivadas segundas 2f x2 xy cosxy y2 sinxy 2f y2 y x cosxy x2 sinxy 2f xy y y cosxy cosxy xy sinxy 2f yx xx cosxy cosxy xy sinxy Questao 14 fx y xy2 y3 x2 x 30 Primeiras derivadas f x y2 2x 1 f y 2xy 3y2 Derivadas segundas 2f x2 xy2 2x 1 2 2f y2 y 2xy 3y2 2x 6y 2f xy y y2 2x 1 2y 2f yx x2xy 3y2 2y Questao 15 gx y e2x cosπx sinx Observacao A funcao nao depende de y entao todas as derivadas em relacao a y sao nulas Primeiras derivadas g x 2e2x π sinπx cosx g y 0 3 Derivadas segundas 2 gx2 4e2x π2 cosπx sinx 2 gy2 0 2 gxy 0 2 gyx 0 Derivadas Parciais em Pontos Específicos Questão 17 fxy x2 y2 em 34 Derivadas parciais fx xx2 y2 fy yx2 y2 Avaliando em 34 32 42 5 fx34 35 fy34 45 Questão 18 fxy sin2x 3y em 64 Derivada parcial em relação a y fy 3 cos2x 3y Avaliando em 64 26 34 12 12 0 fy 64 3 cos0 3 1 3 Questao 19 w lnx 2y 3z em 0 0 1 Derivadas parciais w x 1 x 2y 3z w y 2 x 2y 3z w z 3 x 2y 3z Avaliando em 0 0 1 x 2y 3z 0 0 31 3 w x 1 3 w y 2 3 w z 1 Questao 21 Energia Cinetica K 1 2mv2 Passo 1 Derivada parcial de K em relacao a m K m 1 2v2 Passo 2 Derivada segunda de K em relacao a v K v mv 2K v2 m Passo 3 Produto das derivadas K m 2K v2 1 2v2 m K Questao 22 Verifique se ux y ex sin yey cos x e harmˆonica Passo 1 Calcular uxx ux ex sin y ey sin x uxx ex sin y ey cos x Passo 2 Calcular uyy uy ex cos y ey cos x uyy ex sin y ey cos x 5 Passo 3 Soma das derivadas uxx uyy ex sin y ey cos x ex sin y ey cos x 0 Portanto e harmˆonica Questao 24 z x2y 3xy4 com x sin2t y cos t Passo 1 Derivadas parciais de z z x 2xy 3y4 z y x2 12xy3 Passo 2 Derivadas de xt e yt dx dt 2 cos2t dy dt sin t Passo 3 Aplicacao da Regra da Cadeia em t 0 x0 sin 0 0 y0 cos 0 1 dz dt 201 314 2 02 12013 0 3 2 0 6 Questao 25 z x2y xy2 com x 2 t4 y 1 t3 Passo 1 Derivadas parciais de z z x 2xy y2 z y x2 2xy Passo 2 Derivadas de xt e yt dx dt 4t3 dy dt 3t2 Passo 3 Regra da Cadeia dz dt 2xy y24t3 x2 2xy3t2 4t32xy y2 3t2x2 2xy 6 Questao 27 Dadas z x2 xy y2 x s t y st Calculando z t Passo 1 Derivadas parciais de z z x 2x y z y x 2y Passo 2 Derivadas de x e y em relacao a t x t 1 y t s Passo 3 Aplicando a regra da cadeia z t z x x t z y y t 2x y1 x 2ys 2x y sx 2sy Passo 4 Substituindo x s t e y st z t 2s t st ss t 2sst 2s 2t st s2 st 2s2t s2 2s 2t 2st 2s2t z t 2x y x 2ys 7 Calculando zs Passo 1 Derivadas de x e y em relação a s xs 1 ys t Passo 2 Aplicando a regra da cadeia zs zx xs zy ys 2x y1 x 2yt 2x y tx 2ty Passo 3 Substituindo x s t e y st zs 2s t st ts t 2tst 2s 2t st st t2 2s t2 t2 2s 2t 2st 2st2 2x y x 2yt Questão 29 Dadas z er cos θ r st θ s2 t2 Calculando zs Passo 1 Derivadas parciais de z zr er cos θ zθ er sin θ Passo 2 Derivadas de r e θ em relação a s rs t θs ss2 t2 sθ Passo 3 Aplicando a regra da cadeia zs zr rs zθ θs er cos θ t er sin θ sθ ter cos θ ser sin θθ Calculando zt Passo 1 Derivadas de r e θ em relação a t rt s θt ts2 t2 tθ Passo 2 Aplicando a regra da cadeia zt zr rt zθ θt er cos θ s er sin θ tθ ser cos θ ter sin θθ Soluções das Questões Domínio de Funções de Duas Variáveis Questão 2 Função fx y 4x² 9y² A função é uma soma de polinômios e está definida para todos os pares x y ² ℝ Domínio D ℝ² ℝ Gráfico Todo o plano sem restrições Questão 3 Função fx y 1 x y² A raiz quadrada exige que o radicando seja 0 1 x y² 0 x y² 1 Domínio D x y ² x y² 1 ℝ Gráfico Região à direita e sobre a parábola x y² 1 Questão 5 Função fx y y x² 1 x² Condições para o domínio 1 y x² 0 y x² 2 1 x² 0 x 1 Domínio D x y ² y x² e x 1 ℝ Gráfico Região acima da parábola y x² com cortes em x 1 Questão 7 Função fx y 16 x² y² Radicando 0 16 x² y² 0 x² y² 16 Domínio D x y ² x² y² 16 ℝ Gráfico Disco fechado de raio 4 centrado na origem Questão 8 Função z ln4 x² y² O argumento do logaritmo deve ser 0 4 x² y² 0 x² y² 4 Domínio D x y ² x² y² 4 ℝ Gráfico Disco aberto de raio 2 centrado na origem sem borda Questão 16 Função fx y 1 x² Identificação da superfície A função depende apenas de x Superfície constante ao longo de y Tipo de superfície Parabolóide cilíndrico Equação z 1 x² Resumo Superfície Parabolóide cilíndrico Seção no plano xz parábola voltada para baixo Direção constante eixo y Imagem z 1 Questão 18 Função z 3 x² y² Identificação da superfície Parabolóide elíptico voltado para baixo Equação z 3 x² y² Resumo Superfície Parabolóide elíptico Vértice 0 0 3 Seções horizontais circunferências Seções verticais parábolas Imagem z 3 Questão 19 Função z 16 x² y² Domínio x² y² 16 Equação equivalente x² y² z² 16 com z 0 Resumo Superfície Semiesfera superior Raio 4 Centro 0 0 0 Imagem z 0 4 Domínio disco de raio 4 centrado na origem Questão 22 Função fx y 4x² y² 1 Identificação da superfície Parabolóide elíptico voltado para cima Equação z 4x² y² 1 Resumo Superfície Parabolóide elíptico Vértice 0 0 1 Curvas de nível elipses Imagem z 1 Questão 26 Questão 27 Questão 30 obs as curvas de niveis são retas paralelas às da figura basta desenhar mais 2 de cada lado parada atender ao enunciado Questão 32 obs as curvas de niveis são circulos concentricos com raio até 4 basta desenhar mais 2 parada atender ao enunciado