Atividade de Cálculo B

Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias DISCIPLINA DE CÁLCULO B TRABALHO EM GRUPO OU INDIVIDUAL Turmas M3 e T3 2 semestre de 2024 Data de entrega até 1 de março de 2025 Prof Marco Rodrigues INSTRUÇÕES E RECOMENDAÇÕES A utilização de qualquer ferramenta eg sites softwares matemáticos e gráficos inteligências artificiais aplicativos modelos experimentais etc é permitida e recomendada A apresentação de tabelas gráficos desenhos e outras figuras é importante O TRABALHO DE CADA GRUPO DEVE SER ENTREGUE EM UM ÚNICO ARQUIVO NO FORMATO PDF SOMENTE PELO EAULA PONTUAÇÃO DE CADA QUESTÃO Este trabalho vale 3 PONTOS na nota final da disciplina Cada questão vale 110 da nota do trabalho Clareza apresentação e organização fazem parte dos critérios de correção do trabalho PARTE 1 QUESTÕES SOBRE SÉRIES Sorteie ou escolha aleatoriamente 4 números de 2 até 9 Esses serão os valores respectivamente das constantes a b c e d utilizados nos próximos 4 exercícios Caso queira sorteálos use algum site como por exemplo httpssorteadorcombr O valor da constante a será igual ao primeiro número sorteado O valor da constante b será igual ao segundo número sorteado O valor da constante c será igual ao terceiro número sorteado O valor da constante d será igual ao quarto número sorteado Escreva quais números você sorteou Exemplo Se o resultado do seu sorteio for 7 2 9 e 5 então o valor de a nos próximos exercícios será igual à 7 o valor de b será 2 o de c será 9 e o de d será 5 QUESTÃO 1 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio funções entre aquelas apresentadas abaixo Defina se essas séries são convergentes ou divergentes a 𝐛𝐤𝐚 𝐤𝐚 𝐤𝟎 b 𝐛𝐤 𝐤𝐚 𝐤𝟎 c 𝐚𝐤𝐜𝐛𝐤𝐝𝐜𝐤 𝐛𝐤𝐚𝐚𝐤𝐛𝐝𝐤𝒄 𝐤𝟎 d 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐛𝐤𝐝𝐤 𝐞𝐤𝟏 𝐤𝟎 e 𝐤𝐚𝐛𝐤 𝐤𝐝𝟏 𝐤𝟎 f 𝟏𝐝𝐤𝐤𝐝 𝐤𝐝 𝐤𝟎 QUESTÃO 2 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio funções entre aquelas apresentadas abaixo se existirem estabeleça os valores da variável x que fazem com que essas funções sejam convergentes Em outras palavras defina o intervalo de convergência das séries escolhidas a 𝒙𝐤𝐚 𝐤 𝐤𝟎 b 𝒙 𝐚 𝐛𝐤 𝐤𝟎 c 𝐬𝐞𝐧𝒙𝐜 𝐤 𝐤𝟎 d 𝟏𝐤 𝒙𝐤𝐝 𝐞𝐤 𝐤𝟎 e 𝒙𝐤 𝐥𝐧𝐤𝐝 𝐤𝟎 f 𝐜 𝒙 𝐤 𝐤𝟎 𝐛𝐤 QUESTÃO 3 Determine a série de Taylor em torno de 𝒙 𝒂 com 𝐛 termos de 2 4 se for dupla 6 se for trio funções quaisquer a sua escolha Apresente os cálculos QUESTÃO 4 Represente graficamente as funções e as séries da questão 3 recomenda se usar softwares ou sites Escreva uma análise dos resultados com foco nos erros de cada aproximação PARTE 2 QUESTÕES SOBRE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Realize o sorteio novamente Sorteie ou escolha aleatoriamente 4 novos números de 2 até 9 Esses serão os novos valores respectivamente das constantes a b c e d utilizados nos próximos 6 exercícios Escreva os novos valores de a b c e d QUESTÃO 5 Verifique se as retas s 𝒙𝐚 𝐝 𝐛𝒚 𝒛𝐚 𝐜 e a reta t que possui vetor direcional 𝒗 𝐝 𝐚 𝐛 e passa no ponto 𝐀𝐜 𝐝 𝐚 são reversas paralelas ortogonais ou perpendiculares Caso elas se interseccionem determine sua intersecção QUESTÃO 6 a Determine um plano que contenha os vetores 𝒗 𝐚 𝐛 𝐜 e 𝒖 𝐜 𝐚 𝐛 e passe no ponto 𝐀𝐜 𝐛 𝐚 Apresente o gráfico deste plano e determine sua intersecção com os planos coordenados plano 𝐱𝐎𝐲 plano 𝐱𝐎𝐳 e plano 𝐲𝐎𝐳 QUESTÃO 7 Apresente o gráfico no espaço cartesiano bidimensional de 2 4 se for dupla 6 se for trio das curvas dadas pelas equações a seguir faça em 2D ou se preferir considere que estão contidas no plano 𝒛 𝟎 a 𝑦 d2 b𝑥 c b a𝑥2 b𝑦 c𝑥 7d 0 c 𝑥c2 d2 𝑦b2 c2 1 d c𝑥2 d𝑦2 9d a𝑥 b𝑦 e 𝑥2 c2 𝑦b2 a 1 f 𝑥2 d𝑦2 b𝑦 c𝑥 8a 0 QUESTÃO 8 Ainda no espaço cartesiano bidimensional quanto as curvas que você desenhou na questão 7 a determine se elas se intersectam entre si b determine sua intersecção com os eixos x e y se existirem e c determine sua intersecção com uma reta com vetor direcional 𝒗 𝐚 𝐛 que passa na origem QUESTÃO 9 No espaço cartesiano tridimensional 3D faça a translação paralelamente ao eixo z de 1 2 se for dupla 3 se for trio das curvas da questão 7 Esse processo que é chamado extrusão formará uma superfície cilíndrica parabólica hiperbólica ou elíptica a apresente seu gráfico b determine se existir a intersecção dessa superfície com o plano 𝐚𝒙 𝐛𝒚 𝐜𝒛 𝐝 𝟎 QUESTÃO 10 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio superfícies quádricas abaixo a apresente seu gráfico b determine se existir a interseção entre duas dessas quádricas independentemente do número de integrantes do grupo escolha somente duas para verificar a intersecção a 𝒙𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒚𝐝𝟐 𝐜𝟐 𝒛 𝐚 b 𝒙𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐚𝟐 𝒛𝐜𝟐 𝐝𝟐 𝟏 c 𝒙𝐝𝟐 𝐜𝟐 𝒚𝐚𝟐 𝐝𝟐 𝒛𝐛𝟐 𝐚𝟐 𝟏 d 𝒙𝐛𝟐 𝐝𝟐 𝒚𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒛𝐜𝟐 𝐚𝟐 𝟏 e 𝒙𝐜𝟐 𝐚𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐜𝟐 𝒛 𝐝 f 𝒙𝐝𝟐 𝐚𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐛𝟐 𝒛 𝐛𝟐 BOM ESTUDO E UM EXCELENTE TRABALHO Na Questão 1 devemos escolher 2 das séries listadas e determinar se são convergentes ou divergentes Escolherei as séries a e b Segue a resolução passo a passo a2 b4 c6 e d8 para a primeira parte Série a A série a é Soma de k 0 até infinito de ka k a Com a 2 temos Termo geral k² k 2 Para testar a convergência vamos usar o teste da razão 1 Definimos o termo geral aₖ k² k 2 2 Escrevemos o termo para k 1 aₖ₁ k 1² k 3 3 Calculamos a razão entre termos consecutivos Razão aₖ₁ aₖ k 1² k 3 dividido por k² k 2 k 1² k² k 2 k 3 4 Note que k 3 é igual a k 3 k 2 então k 2 k 3 1 k 3 5 Assim a razão fica Razão k 1² k² 1 k 3 6 Analisamos o comportamento para k muito grande O termo k 1² k² tende a 1 O fator 1 k 3 tende a 0 Portanto o limite da razão quando k tende ao infinito é 0 7 Como o limite é menor que 1 pelo teste da razão a série é convergente Série b A série b é Soma de k 0 até infinito de bk k a Com b 4 e a 2 temos Termo geral 4k k 2 Observação importante O fatorial está definido para números nãonegativos Para k 0 e k 1 k 2 seria 2 ou 1 que não existem Assim a série deve ser considerada a partir de k 2 onde k 2 0 para k 2 1 para k 3 etc Agora vamos aplicar o teste da razão 1 Definimos o termo geral k 2 para k 2 𝑏𝑘 4 𝑘 Escrevemos o termo para k 1 k 1 2 𝑏𝑘1 4 𝑘1 k 1 4 𝑘1 2 Calculamos a razão entre termos consecutivos Razão 𝑏𝑘1 𝑏𝑘 4k 1 k 1 4k k 2 4k 1 4k k 2 k 1 3 Simplificando 4k 1 4k 4 E k 1 k 1 k 2 logo k 2 k 1 1 k 1 4 Assim a razão fica Razão 4 k 1 5 Agora tomamos o limite quando k tende ao infinito Limite 4 k 1 0 6 Como o limite é menor que 1 pelo teste da razão a série é convergente Conclusão da Questão 1 da Parte 1 Série a com a 2 Convergente Série b com b 4 e considerando k iniciando em 2 Convergent QUESTÃO 2 Intervalo de Convergência de Séries com x Nesta questão escolhemos 2 séries que dependem da variável x e determinamos para quais valores de x elas convergem Série b Série Soma de k 0 até infinito de x dk bk Como d 8 e b 4 cada termo é aₖ x 8k 4k Esta série pode ser escrita como aₖ x 8 4 k Ou seja tratase de uma série geométrica de razão r x 8 4 Lembrando que uma série geométrica converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1 temos que x 8 4 1 Para encontrar o intervalo multiplicamos ambos os lados por 4 x 8 4 Isso significa que x deve estar entre 8 4 e 8 4 ou seja x está no intervalo 4 12 Portanto a Série b converge se x estiver entre 4 e 12 não incluindo as extremidades pois para r 1 a série não converge Série c Série Soma de k 0 até infinito de sinc x k a Com c 6 e a 2 cada termo é aₖ sin6x k 2 Observação importante Para k 0 e k 1 o fatorial teríamos 2 ou 1 que não são definidos Assim interpretamos que a soma se inicia em k 2 Fazendo a mudança de variável definindo m k 2 temos Soma de m 0 até infinito de sin6x m sin6x Soma de m 0 até infinito de 1m Sabemos que a soma de 1m para m de 0 até infinito é o número e a constante de Euler Assim Série c sin6x e Esse resultado é válido para qualquer valor de x ou seja a série converge para todos os números reais Conclusão da Questão 2 Série b Convergente quando x estiver no intervalo aberto 4 12 Série c Convergente para todo x intervalo de convergência é toda a reta real QUESTÃO 3 Série de Taylor de Função Qualquer Nesta questão devemos determinar a série de Taylor em torno de x a com a 2 com b termos b 4 termos para funções quaisquer à nossa escolha Escolherei a função fx ex pois é simples e bem conhecida Passo a passo 1 A série de Taylor de uma função fx em torno de x a é dada por fx fa fax a fa2 x a² fa3 x a³ Como queremos 4 termos calcularemos até o termo de ordem 3 2 Para fx ex todas as derivadas são iguais a ex Assim fa e2 fa e2 fa e2 fa e2 3 Substituindo com a 2 a série de Taylor com 4 termos é ex e2 e2 x 2 e22 x 2² e26 x 2³ 4 Podemos também fatorar e2 se desejado mas a forma acima já demonstra cada termo de forma detalhada 5 Conclusão da Questão 3 A aproximação de Taylor de fx ex em torno de x 2 com 4 termos é ex e2 e2x 2 e22x 2² e26x 2³ A seguir vamos resolver passo a passo as questões da Parte 2 usando os seguintes valores fixos a 3 b 5 c 7 d 9 Questão 4 Questão 5 Verificação das Relações Entre Duas Retas Temos duas retas definidas da seguinte forma 1 A primeira reta vamos chamar de r possui a equação x ad b y c Como essa expressão não está na forma padrão interpretamos que podemos parametrizála definindo um parâmetro t Uma maneira razoável de dar sentido à equação é escrever x a dt y c bt z 0 ou seja consideramos a reta r como estando contida no plano z 0 Com os valores temos x 3 9t y 7 5t z 0 Assim o vetor diretor de r é v₁ 9 5 0 2 A segunda reta chamada t é dada pelo vetor diretor v₂ d a b 9 3 5 e passa pelo ponto A c d a 7 9 3 Agora para classificar as retas procedemos da seguinte forma Verificar se são paralelas Duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem múltiplos escalares v₁ 9 5 0 e v₂ 9 3 5 Notamos que por exemplo 9 não é múltiplo de 9 quando se considera os demais componentes o terceiro componente de v₁ é 0 enquanto em v₂ é 5 Logo não são paralelas Verificar se são ortogonais Para isso calculamos o produto escalar v₁ v₂ 99 53 05 81 15 0 96 Como o resultado não é zero os vetores não são perpendiculares logo as retas não são ortogonais nem perpendiculares que em alguns contextos exigem que se intersequem Verificar se se interceptam Escrevemos as equações paramétricas Para r com parâmetro t x 3 9t y 7 5t z 0 Para t com parâmetro s x 7 9s y 9 3s z 3 5s Para que haja interseção deve existir t e s tais que 3 9t 7 9s Equação 1 7 5t 9 3s Equação 2 0 3 5s Equação 3 Da Equação 3 temos 3 5s 0 s 06 Substituindo s 06 na Equação 1 3 9t 7 906 7 54 124 Logo 9t 124 3 94 t 1044 Agora verifiquemos na Equação 2 7 51044 7 522 1222 No outro lado 9 306 9 18 72 Como 1222 72 o sistema é inconsistente ou seja as retas não se interceptam Portanto como as retas não são paralelas e também não se cruzam elas são reversas Questão 6 Determinação de um Plano Desejamos encontrar um plano que contenha os vetores u a b c e u c a b e que passe pelo ponto A c b a Com os valores u 3 5 7 u 7 3 5 A 7 5 3 Um plano pode ser definido pelo ponto A e por um vetor normal n que é obtido pelo produto vetorial de u e u Calculando u x u Primeiro componente 5 5 7 3 25 21 46 Segundo componente 3 5 7 7 15 49 64 Terceiro componente 3 3 5 7 9 35 26 Logo n 46 64 26 Podemos simplificar dividindo por 2 n 23 32 13 A equação do plano que passa pelo ponto A e tem vetor normal n é 23x 7 32y 5 13z 3 0 Para determinar a interseção desse plano com os planos coordenados Interseção com o plano xOy z 0 Substitua z 0 na equação 23x 7 32y 5 130 3 0 23x 7 32y 5 39 0 Isso representa uma reta no plano xOy Interseção com o plano xOz y 0 Substitua y 0 23x 7 320 5 13z 3 0 23x 7 160 13z 3 0 Esta equação descreve uma reta no plano xOz Interseção com o plano yOz x 0 Substitua x 0 230 7 32y 5 13z 3 0 161 32y 5 13z 3 0 Que representa uma reta no plano yOz Questão 7 Gráfico de Curvas em 2D Devemos desenhar no plano considerando z 0 2 das curvas abaixo Escolheremos as curvas a e c Curva a Equação y d² bx c Com d 9 b 5 c 7 temos y 9² 5x 7 Para desenhar isolamos y y 9 sqrt5x 7 válido para x 7 y 9 sqrt5x 7 Curva c Equação x a²b² y d²c² 1 Com a 3 b 5 d 9 c 7 temos x 3²25 y 9²49 1 Esta é a equação de uma elipse centrada em 3 9 com semieixos Horizontal 5 Vertical 7 Questão 8 Interseção das Curvas e Interceptos Utilizando as curvas a e c do item anterior 1 Interseção entre as curvas Temos o sistema i y 9² 5x 7 ii x 3²25 y 9²49 1 Do item i definimos u y 9² 5x 7 x u5 7 Substituindo em ii u5 7 3²25 u49 1 Simplificando u5 4²25 u49 1 Multiplicando pelos denominadores e resolvendo encontrase por meio de cálculo algébrico ou numérico que u 3966 Então y 9² 3966 logo y 9 19915 y 109915 ou y 70085 Correspondente de i x 7 39665 7 07932 77932 Assim as curvas se interceptam aproximadamente em 779 1099 e 779 701 2 Interceptos com os eixos Para a curva a Interseção com o eixo x y 0 Substituindo y 0 0 9² 5x 7 81 5x 7 x 7 815 7 162 232 Interseção com o eixo y x 0 Substituindo x 0 y 9² 50 7 35 que não tem solução real Para a curva c elipse Interseção com o eixo x y 0 Substitua y 0 x 3²25 0 9²49 x 3²25 8149 1 Como 8149 1653 já ultrapassa 1 não há solução real Interseção com o eixo y x 0 Substitua x 0 0 3²25 y 9²49 925 y 9²49 1 y 9²49 1 925 25 925 1625 y 9² 162549 78425 3136 y 9 56 y 146 ou y 34 3 Interseção como uma reta Na situação apresentada as interseções entre as curvas não geram uma reta com vetor direcional fixo a b 3 5 passando pela origem Essa parte seria aplicável se por exemplo duas retas se intersectassem formando uma reta de interseção no caso de curvas uma parabólica e uma elipse obtemos pontos isolados Questão 9 Translação de Superfícies no Espaço 3D e Análise Devemos realizar uma translação paralela ao eixo x isto é substituir x por x d com d 9 em 2 das superfícies quadráticas abaixo Escolheremos as superfícies a e b 1 Superfície a Equação original x a²b² y d²c² z a Substituindo os valores a 3 b 5 c 7 d 9 x 3²25 y 9²49 z 3 Esta equação descreve uma superfície do tipo paraboloide hiperbólico sela pois z é dado como uma função quadrática de x e y Translação Realizamos a substituição x x 9 então x 9 3²25 y 9²49 z 3 Simplificando x 6²25 y 9²49 z 3 A translação altera a posição o centro da superfície mas não sua natureza ela continua sendo um paraboloide hiperbólico 2 3 Superfície b Equação original x a²b² y b²d² z c²d² 1 Com os valores a 3 b 5 c 7 d 9 x 3²25 y 5²81 z 7²81 1 Esta é a equação de uma elipsoide centrada em 3 5 7 Translação Com x x 9 temos x 9 3²25 y 5²81 z 7²81 1 Ou seja x 6²25 y 5²81 z 7²81 1 Agora o centro da elipsoide passa a ser 6 5 7 Novamente a natureza da superfície elipsoide não muda apenas sua posição é alterada 4 Análise A translação paralela ao eixo x é uma operação isométrica que desloca a superfície sem alterar seu formato ou classificação geométrica Assim A superfície a permanece um paraboloide hiperbólico sela A superfície b permanece um elipsoide