Matemática 2 - Economia

Considere a função utilidade Ux₁x₂ 100x₁ 200x₂ x₁x₂ x₁² x₂² em que x₁ é a quantidade consumida de banana e x₂ é a quantidade consumida de mamão Preencha o valor de U x₂ 34 no espaço Resposta Considere a função de produção fKL 100 KL no qual K é a quantidade de capital L a quantidade de trabalho e fKL a quantidade produzida Considere a isoquanta ou curva de nível com 900 unidades produzidas Nesse caso para essa quantidade produzida podemos representar que L x K em que x é a proporcionalidade entre capital e trabalho Preencha o valor de x no espaço para esse caso Resposta Considere a função de produção fKL 100 KL no qual K é a quantidade de capital L a quantidade de trabalho e fKL a quantidade produzida Considere a isoquanta ou curva de nível com 200 unidades produzidas Nesse caso para essa quantidade produzida podemos representar que L x K em que x é a proporcionalidade entre capital e trabalho Preencha o valor de x no espaço para esse caso Resposta Considere a função utilidade Ux₁ x₂ 100 x₁² 2x₂² x₁x₂ em que x₁ é a quantidade consumida de banana e x₂ é a quantidade consumida de mamão Preencha o valor de Uₓ₂ₓ₂10 20 no espaço Resposta Calcule o diferencial da função fx₁ x₂ ln2x₁² 3x₂² com Δx₁ 11 e Δx₂ 22 partindo do ponto 2 1 Preencha o valor do diferencial no espaço disponível Resposta Calcule o diferencial da função fx₁ x₂ ex₁² x₂² com Δx₁ e² e Δx₂ e² partindo do ponto 1 1 Preencha o valor do diferencial no espaço disponível Resposta Considerando que fλx λy λ² fx y significa que a série é homogênea de grau 2 Se a função fx y x₁ x₂ x₁² x₂² então preencha o valor numérico do grau de homogeneidade no espaço abaixo Resposta Considere a função fx y x² 2y² Assinale a alternativa correta a respeito a fx y 2 2 b f1 1 20 c f1 1 1 d fx y 2x 2y e f1 1 2 Considere fx₁ x₂ x₁² x₂² x₁x₂ 3x₁ 4x₂ É verdade afirmar que a O ponto crítico 1 1 é ponto de máximo b O ponto crítico 1 1 é ponto de mínimo c Não há ponto crítico para essa função d O ponto crítico 103 113 é ponto de mínimo e O ponto crítico 103 113 é ponto de sela É verdade afirmar que a O ponto crítico 11 é ponto de máximo b O ponto crítico 11 é ponto de mínimo c Não há ponto crítico para essa função d O ponto crítico 103 113 é ponto de mínimo e O ponto crítico 103 113 é ponto de sela f O ponto crítico 103 113 é ponto de máximo Otimize a função fxyz x² y² z² y z xy 6 Assinale a alternativa correta a Nenhuma das anteriores b 000 é um ponto de máximo c 000 é um ponto de mínimo d 000 é um ponto de sela Considere o custo marginal CMgQ210Q10 no qual Q é a quantidade produzida pela firma Preencha no espaço o valor do Custo total considerando Q 3 e que o custo fixo é 50 Resposta Procure os pontos críticos da função fx₁ x₂ x₁ x₂ sujeito a 2x₁² x₂² 1 Assinale a alternativa correta a 4513 2013 é ponto de mínimo b 4513 2013 é ponto de máximo c Nenhuma das anteriores d 4513 2013 é ponto de sela Considere o problema de maximizar o valor de y no qual y x₁² 2x₁ x₂² 4x₂ 5 Porém escolhese os valores de x₁ e x₂ sujeito a restrição x₁ x₂ 1 Preencha o valor encontrado como crítico x₂ Resposta Obtenha o lim xy00 x4 4x2 x2y2 4y2 x2 y2 Preencha o valor desse limite no espaço disponível Resposta Considere a função fx x4 256x 900 preencha o valor da função fx que atinge o mínimo global Resposta é ponto de mínimo b 4513 2013 é ponto de máximo c Nenhuma das anteriores d 4513 2013 é ponto de sela e 16 23 é ponto de máximo f 16 23 é ponto de sela g 4513 2013 é ponto de máximo Considere a função fx x4 32x 1 preencha o valor crítico x que é um ótimo global Resposta Considere que a firma tem preço P 100 Q20 no qual P é o preço da firma e Q a quantidade de bem no mercado O custo dessa firma é CQ 005Q2 10000 Preencha a quantidade produzida pela firma que maximiza o lucro Q Resposta Maximize fx1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 sujeito a x22 x32 1 e x1 x3 3 Assinale a alternativa correta para x1 x2 x3 a Os pontos de máximo em 33 13 13 e 33 13 13 b Os pontos de máximo em 23 13 13 e 23 13 13 c Único ponto de máximo em 32 12 12 d Único ponto de máximo em 32 12 12 e Os pontos de máximo em 32 12 12 1 𝐾𝐿 93 729 𝐿 729 𝐾 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 𝑥 729 2 𝐾𝐿 24 16 𝐿 16 𝐾 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 𝑥 16 3 𝑈 𝑥2 200 𝑥1 2𝑥2 𝑥1 3 e 𝑥2 4 𝑈 𝑥2 200 3 24 𝑈 𝑥2 200 3 8 195 RESPOSTA195 4 𝑈𝑥1 𝑥2 100 𝑥1 2 2𝑥2 2 𝑥1𝑥2 𝑈 𝑥2 4𝑥2 𝑥1 2𝑈 𝑥2 2 4 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 4 5 𝑓 𝑥1 4𝑥1 2𝑥1 2 3𝑥2 2 𝑓 𝑥1 21 8 11 𝑓 𝑥2 6𝑥2 2𝑥1 2 3𝑥2 2 𝑓 𝑥2 21 6 11 𝑑𝑓 8 11 11 6 11 22 𝑑𝑓 8 12 20 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 20 6 1 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑒𝑥12𝑥22 2 Derivadas parciais o Em relação a 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑒𝑥12𝑥22 2𝑥1 o Em relação a 𝑥2 𝑓 𝑥2 𝑒𝑥12𝑥22 2𝑥2 3 Avaliar derivadas no ponto 11 𝑓 𝑥1 11 𝑒1212 21 2𝑒2 𝑓 𝑥2 11 𝑒2 21 2𝑒2 4 Diferencial total 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑓 𝑥1 𝛥𝑥1 𝑓 𝑥2 𝛥𝑥2 Substituindo valores 𝑑𝑓 2𝑒2𝑒2 2𝑒2𝑒2 2 2 4 Resposta Final4 7 𝑓𝜆𝑥1 𝜆𝑥2 𝜆𝑥1𝜆𝑥2 𝜆𝑥12 𝜆𝑥22 𝑓𝜆𝑥1 𝜆𝑥2 𝜆2𝑥1𝑥2 𝜆2𝑥1 2 𝑥2 2 𝑓𝜆𝑥1 𝜆𝑥2 𝜆2𝑥1𝑥2 𝜆𝑥1 2 𝑥2 2 𝑓𝜆𝑥1 𝜆𝑥2 𝜆 𝑥1𝑥2 𝑥1 2 𝑥2 2 𝜆 𝑥1𝑥2 𝑥1 2 𝑥2 2 𝜆2 𝑥1𝑥2 𝑥1 2 𝑥2 2 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 2 8 𝑓𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑥 2𝑥 𝑓 𝑦 4𝑦 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥 4𝑦 𝑓11 21 41 24 𝑓11 22 42 4 16 20 RESPOSTA B 9 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 2 𝑥2 2 𝑥1𝑥2 3𝑥1 4𝑥2 Derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥1 𝑓 𝑥1 2𝑥1 𝑥2 3 Derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥2 𝑓 𝑥2 2𝑥2 𝑥1 4 Encontrar os pontos críticos 𝑓 𝑥1 0 e 𝑓 𝑥2 0 2𝑥1 𝑥2 3 0Equac ao 1 2𝑥2 𝑥1 4 0Equac ao 2 Resolvendo o sistema 5 Da Equação 1 isolamos 𝑥2 𝑥2 2𝑥1 3 6 Substituímos 𝑥2 2𝑥1 3 na Equação 2 22𝑥1 3 𝑥1 4 0 4𝑥1 6 𝑥1 4 0 3𝑥1 10 0 𝑥1 10 3 7 Substituímos 𝑥1 10 3 na Equação 1 para encontrar 𝑥2 𝑥2 2 10 3 3 20 3 3 20 3 9 3 11 3 Portanto o ponto crítico é 10 3 11 3 Passo 3 Determinar a natureza do ponto crítico Derivadas parciais de segunda ordem 2𝑓 𝑥12 2 2𝑓 𝑥1 𝑥2 1 2𝑓 𝑥22 2 Logo a matriz Hessiana é 𝐻 2 1 1 2 Determinante da matriz Hessiana det𝐻 22 11 4 1 3 Como o determinante é positivo e 2𝑓 𝑥12 2 0 significa que o ponto crítico 10 3 11 3 é um ponto de mínimo Alternativa c O ponto crítico 10 3 11 3 é ponto de mínimo Esta alternativa está correta A alternativa correta é 𝑐 10 𝑓 2𝑥 𝑦 2𝑦 1 𝑥 2𝑧 1 𝑓000 01 1 000 Conclusão 000 não é um ponto crítico pois o gradiente não se anula nesse ponto o a Correta já que 000 não é crítico e nenhuma das outras opções se aplica Respostaa 11 𝐶𝑀𝑔 𝑄2 10𝑄 10 𝐶𝑇𝑄 𝑄2 10𝑄 10 𝑑𝑄 𝑄3 3 5𝑄2 10𝑄 𝐶 𝐶𝑇𝑄 𝑄3 3 5𝑄2 10𝑄 50 𝐶𝑇3 33 3 532 103 50 𝐶𝑇3 27 3 59 30 50 9 45 30 50 44 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 44 12 1 𝑥1 1 𝑥2 𝑦 1 𝑥22 21 𝑥2 𝑥2 2 4𝑥2 5 2 𝑦 1 2𝑥2 𝑥2 2 21 𝑥2 𝑥2 2 4𝑥2 5 𝑦 1 2𝑥2 𝑥2 2 2 2𝑥2 𝑥2 2 4𝑥2 5 𝑦 2𝑥2 2 4𝑥2 6 3 A função 𝑦 2𝑥2 2 4𝑥2 6 é uma função quadrática com coeficiente 𝑎 2 concavidade para baixo O valor máximo ocorre no vértice dado pela fórmula 𝑥2 𝑏 2𝑎 4 22 1 Resposta final 1 13 lim 𝑥𝑦00 𝑥4 4𝑥2 𝑥2𝑦2 4𝑦2 𝑥2 𝑦2 𝑥4 4𝑥2 𝑥2𝑦2 4𝑦2 04 402 0202 402 0 𝑥2 𝑦2 02 02 0 indeterminação 0 0 Trajetória 𝑦 0 𝑥4 4𝑥2 𝑥202 402 𝑥2 02 𝑥4 4𝑥2 𝑥2 𝑥2 4 Quando 𝑥 0 temos lim 𝑥0𝑥2 4 4 Trajetória 𝑥 0 substituindo 𝑥 0 04 402 02𝑦2 4𝑦2 02 𝑦2 4𝑦2 𝑦2 4 Quando 𝑦 0 temos lim 𝑦04 4 Trajetória 𝑦 𝑥 Agora substituímos 𝑦 𝑥 𝑥4 4𝑥2 𝑥2𝑥2 4𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥4 4𝑥2 𝑥4 4𝑥2 2𝑥2 2𝑥4 8𝑥2 2𝑥2 𝑥2 4 Quando 𝑥 0 temos lim 𝑥0𝑥2 4 4 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 4 14 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 sujeita à restrição 2𝑥1 2 𝑥2 2 1 𝑓 11 𝑔 4𝑥1 2𝑥2 𝑓 𝜆𝑔 1 4𝜆𝑥1 1 2𝜆𝑥2 2𝑥1 2 𝑥2 2 1 os pontos críticos são 1 6 2 6 e 1 6 2 6 Em 1 6 2 6 temos 𝑓 3 6 12247 máximo Em 1 6 2 6 temos 𝑓 3 6 12247 mínimo Resposta correta c 15 𝑓𝑥 𝑥4 256𝑥 900 𝑓𝑥 4𝑥3 256 4𝑥3 256 0 4𝑥3 256 𝑥3 64 𝑥 64 3 4 Então o ponto crítico é 𝑥 4 𝑓𝑥 12𝑥2 𝑓4 1242 12 16 192 Como 𝑓4 0 isso indica que 𝑥 4 é um ponto de mínimo local 𝑓4 44 256 4 900 𝑓4 256 1024 900 256 900 1024 1156 1024 132 Resposta final 132 16 𝑓𝑥 𝑥4 32𝑥 1 𝑓𝑥 4𝑥3 32 4𝑥3 32 0 4𝑥3 32 𝑥3 8 𝑥 8 3 2 Portanto o ponto crítico é 𝑥 2 𝑓𝑥 12𝑥2 Substituindo 𝑥 2 na segunda derivada 𝑓2 1222 12 4 48 Como 𝑓2 0 isso indica que 𝑥 2 é um ponto de mínimo local RESPOSTA 2 17 1 𝑥2 2 𝑥3 2 1 2 𝑥1𝑥3 3 𝐿𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜆1 𝜆2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜆1𝑥2 2 𝑥3 2 1 𝜆2𝑥1𝑥3 3 𝐿𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜆1 𝜆2 𝑥2𝑥3 𝑥1𝑥3 𝜆1𝑥2 2 𝑥3 2 1 𝜆2𝑥1𝑥3 3 Derivada em relação a 𝑥1 𝐿 𝑥1 𝑥3 𝜆2𝑥3 Derivada em relação a 𝑥2 𝐿 𝑥2 𝑥3 2𝜆1𝑥2 Derivada em relação a 𝑥3 𝐿 𝑥3 𝑥2 𝑥1 2𝜆1𝑥3 𝜆2𝑥1 Derivada em relação a 𝜆1 𝐿 𝜆1 𝑥2 2 𝑥3 2 1 Derivada em relação a 𝜆2 𝐿 𝜆2 𝑥1𝑥3 3 1 𝑥31 𝜆2 0 2 𝑥3 2𝜆1𝑥2 0 3 𝑥2 𝑥11 𝜆2 2𝜆1𝑥3 0 4 𝑥2 2 𝑥3 2 1 5 𝑥1𝑥3 3 1 𝑥1 32 𝑥2 1 2 𝑥3 1 2 𝜆1 1 2 𝜆2 1 2 𝑥1 32 𝑥2 1 2 𝑥3 1 2 𝜆1 1 2 𝜆2 1 3 𝑥1 32 𝑥2 1 2 𝑥3 1 2 𝜆1 1 2 𝜆2 1 4 𝑥1 32 𝑥2 1 2 𝑥3 1 2 𝜆1 1 2 𝜆2 1 1 Para 32 1 2 1 2 2 Para 32 1 2 1 2 3 Para 32 1 2 1 2 4 Para 32 1 2 1 2 Os valores da função 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥2𝑥3 𝑥1𝑥3 nos pontos críticos são Para 32 1 2 1 2 𝑓 35 Para 32 1 2 1 2 𝑓 25 Para 32 1 2 1 2 𝑓 25 Para 32 1 2 1 2 𝑓 35 Os pontos de máximo ocorrem em 32 1 2 1 2 e 32 1 2 1 2 que são os pontos que possuem o maior valor da função 𝑓 35 RESPOSTA a 18 Lucro Receita Custo 𝑃 100 𝑄 20 𝑅𝑄 𝑃 𝑄 100 𝑄 20 𝑄 100𝑄 𝑄2 20 𝐶𝑄 005𝑄2 10000 𝜋𝑄 𝑅𝑄 𝐶𝑄 100𝑄 𝑄2 20 005𝑄2 10000 𝜋𝑄 100𝑄 𝑄2 20 005𝑄2 10000 𝜋𝑄 100𝑄 𝑄2 20 005𝑄2 10000 𝜋𝑄 100𝑄 𝑄2 20 𝑄2 20 10000 𝜋𝑄 100𝑄 2𝑄2 20 10000 𝜋𝑄 100𝑄 𝑄2 10 10000 Para maximizar o lucro derivamos a função de lucro 𝜋𝑄 em relação a 𝑄 e igualamos a zero para encontrar o ponto de máximo 𝑑𝜋𝑄 𝑑𝑄 100 2𝑄 10 0 100 𝑄 5 0 𝑄 5 100 𝑄 500 𝑑2𝜋𝑄 𝑑𝑄2 2 10 02 RESPOSTA500