Cálculo Diferencial

Lista de Exercícios 01 Exercício 1 Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo Fazer a representação gráfica 1 3 x 5 3x 2 2x 5 13 3x4 1 x3 3 2 3 3x 7 4 5x 34 5 x² 9 6 x² 3x 2 0 7 1 x 2x² 0 8 x 12 x x3 x 9 x³ 1 x² x 10 x² 1x 4 0 11 2x 2 x 2x 2 1 12 xx 3 4 13 3x 5 2 Exercício 2 Resolver as equações 1 5x 3 12 2 4 12x 7 3 2x 3 7x 5 4 x 2x 2 5 5 3x 82x 3 4 6 3x 2 5 x 7 9x 11 x 8 2x 7 x 1 Exercício 3 Resolver as inequações 1 x 12 7 2 3x 4 2 3 5 6x 9 4 2x 5 3 5 6 2x 4 x 6 x 4 2x 6 7 3x 5 2x 8 7 2x5 3x 12 9 x 1 x 2 4 10 x 1 x 11 2x² 3x 3 3 12 1x 1x 3 15 13 3 2x1 x 4 1 1 Isolar os termos com x de um lado da desigualdade e os termos constantes do outro lado Subtraia 3 de ambos os lados da desigualdade 3 x 3 5 3x 3 x 2 3x Subtraia 3x de ambos os lados da desigualdade x 3x 2 3x 3x 4x 2 2 Isolar x dividindo ambos os lados da desigualdade pelo coeficiente de x Divida ambos os lados por 4 Lembrese que ao dividir ou multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade é invertido 4x4 24 x 12 o 12 O intervalo de números que satisfazem a desigualdade 3 x 5 3x é 12 2 1 Simplificar ambos os lados da desigualdade eliminando as frações Para eliminar as frações encontramos o mínimo múltiplo comum MMC dos denominadores que são 3 e 4 O MMC de 3 e 4 é 12 Multiplicamos cada termo da desigualdade por 12 122x 5 1213 123x4 121 x3 24x 60 4 9x 41 x 2 Expandir e simplificar cada lado da desigualdade No lado direito distribua o 4 24x 60 4 9x 4 4x Combine os termos semelhantes no lado direito 24x 60 4 4 9x 4x 24x 60 0 13x 24x 60 13x 3 Isolar os termos com x de um lado da desigualdade e os termos constantes do outro lado Subtraia 13x de ambos os lados da desigualdade 24x 13x 60 13x 13x 11x 60 0 Adicione 60 a ambos os lados da desigualdade 11x 60 60 0 60 11x 60 4 Isolar x dividindo ambos os lados da desigualdade pelo coeficiente de x Divida ambos os lados por 11 11x11 6011 x 6011 Parte 1 2 3 3x 1 Adicione 3 a ambos os lados da desigualdade 2 3 3 3x 3 5 3x 2 Divida ambos os lados por 3 Lembrese de inverter o sinal da desigualdade ao dividir por um número negativo 53 3x3 53 x Ou equivalentemente x 53 Parte 2 3 3x 7 1 Adicione 3 a ambos os lados da desigualdade 3 3x 3 7 3 3x 4 2 Divida ambos os lados por 3 Lembrese de inverter o sinal da desigualdade ao dividir por um número negativo 3x3 43 x 43 3 Combinar as soluções das duas partes Temos duas condições para x x 53 x 43 Para que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente x deve estar no intervalo entre 53 não incluído e 43 incluído A solução é 53 x 43 o o 4 Caso 1 x 0 Se x é positivo podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por 4x que é positivo sem inverter o sinal da desigualdade 4x 5x 4x 34 20 3x Divida ambos os lados por 3 203 x x 203 Como estamos no caso em que x 0 a solução para este caso é a interseção de x 0 e x 203 Como 203 667 se x 203 então x também é maior que 0 Portanto a solução para o Caso 1 é x 203 Caso 2 x 0 Se x é negativo ao multiplicar ambos os lados da desigualdade por 4x que é negativo precisamos inverter o sinal da desigualdade 4x 5x 4x 34 20 3x Divida ambos os lados por 3 203 x x 203 Como estamos no caso em que x 0 a solução para este caso é a interseção de x 0 e x 203 Como qualquer número negativo é menor que 203 a solução para o Caso 2 é x 0 Solução Geral A solução geral da inequação é a união das soluções dos dois casos x 0 ou x 203 oo 0 203 Os intervalos de números que satisfazem a desigualdade 5x 34 são 0 U 203 5 1 Reescrever a inequação Podemos reescrever a inequação como x2 9 0 2 Fatorar a expressão quadrática A expressão x2 9 é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como x 3x 3 x 3x 3 0 3 Encontrar os pontos críticos raízes Os pontos críticos são os valores de x que tornam a expressão igual a zero x 3 0 x 3 x 3 0 x 3 4 Analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos Os pontos críticos 3 e 3 dividem a reta numérica em três intervalos 3 3 3 3 Vamos testar um valor de x em cada intervalo para determinar o sinal da expressão x 3x 3 em cada intervalo Intervalo 3 Escolha x 4 4 34 3 71 7 0 A expressão é positiva neste intervalo Intervalo 3 3 Escolha x 0 0 30 3 33 9 0 A expressão é negativa neste intervalo Intervalo 3 Escolha x 4 4 34 3 17 7 0 A expressão é positiva neste intervalo 5 Identificar o intervalo onde a inequação é satisfeita Estamos procurando o intervalo onde x 3x 3 0 De acordo com a análise acima isso ocorre no intervalo 3 3 oo 3 3 O intervalo de números que satisfazem a desigualdade x2 9 é 3 3 6 1 Encontrar as raízes da equação quadrática associada Considere a equação quadrática x2 3x 2 0 Podemos encontrar as raízes fatorando a expressão ou usando a fórmula quadrática Fatoração Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3 Esses números são 1 e 2 x 1x 2 0 As raízes são x 1 e x 2 2 Analisar o sinal da expressão quadrática nos intervalos determinados pelas raízes As raízes 1 e 2 dividem a reta numérica em três intervalos 1 1 2 2 Vamos testar um valor de x em cada intervalo para determinar o sinal da expressão x 1x 2 em cada intervalo Intervalo 1 Escolha x 0 0 10 2 12 2 0 A expressão é positiva neste intervalo Intervalo 1 2 Escolha x 15 15 115 2 0505 025 0 A expressão é negativa neste intervalo Intervalo 2 Escolha x 3 3 13 2 21 2 0 A expressão é positiva neste intervalo 3 Identificar os intervalos onde a inequação é satisfeita Estamos procurando os intervalos onde x2 3x 2 0 ou seja x 1x 2 0 De acordo com a análise acima isso ocorre nos intervalos 1 e 2 oo 1 2 O conjunto de números que satisfazem a inequação x2 3x 2 0 é 1 2 7 1 Reescrever a inequação com o termo quadrático positivo Multiplicamos toda a inequação por 1 o que inverte o sinal da desigualdade 11 x 2x2 10 1 x 2x2 0 Reorganizando os termos 2x2 x 1 0 2 Encontrar as raízes da equação quadrática associada Considere a equação quadrática 2x2 x 1 0 Podemos usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes x b b2 4ac 2a Nesta equação a 2 b 1 e c 1 x 1 12 421 22 x 1 1 8 4 x 1 9 4 x 1 3 4 As duas raízes são x1 1 3 4 2 4 12 x2 1 3 4 4 4 1 3 Analisar o sinal da expressão quadrática nos intervalos determinados pelas raízes As raízes 1 e 12 dividem a reta numérica em três intervalos 1 1 12 12 Como o coeficiente do termo x2 que é 2 é positivo a parábola da função fx 2x2 x 1 se abre para cima Isso significa que a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre as raízes Vamos testar um valor de x em cada intervalo para confirmar Intervalo 1 Escolha x 2 222 2 1 24 2 1 8 2 1 5 0 Intervalo 1 12 Escolha x 0 202 0 1 0 0 1 1 0 Intervalo 12 Escolha x 1 212 1 1 21 1 1 2 0 4 Identificar o intervalo onde a inequação é satisfeita Estamos procurando o intervalo onde 2x2 x 1 0 De acordo com a análise acima isso ocorre no intervalo 1 12 As raízes estão incluídas porque a desigualdade é 1 12 O conjunto de números que satisfazem a inequação 1 x 2x2 0 é 1 12 8 1 Passar todos os termos para um lado da desigualdade Subtraia x 3 x de ambos os lados x 1 2 x x 3 x 0 2 Encontrar um denominador comum e combinar as frações O denominador comum é 2 x3 x x 13 x x2 x 2 x3 x 0 3x x2 3 x 2x x2 2 x3 x 0 x2 4x 3 2x x2 2 x3 x 0 2x2 2x 3 2 x3 x 0 3 Analisar o sinal do numerador e do denominador Numerador Considere a função quadrática Nx 2x2 2x 3 Para encontrar as raízes calculamos o discriminante Δ b2 4ac 22 423 4 24 20 Como o discriminante é negativo e o coeficiente de x2 que é 2 é positivo o numerador 2x2 2x 3 é sempre positivo para todos os valores reais de x Denominador O denominador é Dx 2 x3 x Os pontos críticos onde o denominador é zero são 2 x 0 x 2 3 x 0 x 3 4 Analisar o sinal da fração nos intervalos determinados pelos pontos críticos do denominador Os pontos críticos x 3 e x 2 dividem a reta numérica em três intervalos 3 3 2 2 Como o numerador é sempre positivo o sinal da fração 2x² 2x 3 2 x3 x é determinado pelo sinal do denominador 2 x3 x Intervalo 3 Escolha x 4 2 43 4 2 43 4 61 A fração é negativa neste intervalo Intervalo 3 2 Escolha x 0 2 03 0 23 6 0 A fração é positiva neste intervalo Intervalo 2 Escolha x 3 2 33 3 16 6 0 A fração é negativa neste intervalo 5 Identificar os intervalos onde a inequação é satisfeita Estamos procurando os intervalos onde 2x² 2x 3 2 x3 x 0 De acordo com a análise acima isso ocorre nos intervalos 3 e 2 OO 3 2 O conjunto de números que satisfazem a inequação x 12 x x3 x é 3 2 9 1 Passar todos os termos para um lado da desigualdade Subtraia x² e x de ambos os lados x³ x² x 1 0 2 Fatorar o polinômio Podemos fatorar o polinômio por agrupamento x³ x² x 1 0 x²x 1 1x 1 0 x² 1x 1 0 Agora fatoramos a diferença de quadrados x² 1 x 1x 1x 1 0 x 1²x 1 0 3 Encontrar os pontos críticos raízes Os pontos críticos são os valores de x que tornam a expressão igual a zero x 1² 0 x 1 x 1 0 x 1 4 Analisar o sinal da expressão nos intervalos determinados pelos pontos críticos Os pontos críticos 1 e 1 dividem a reta numérica em três intervalos 1 1 1 1 Vamos testar um valor de x em cada intervalo para determinar o sinal da expressão x 1²x 1 em cada intervalo Intervalo 1 Escolha x 2 2 1²2 1 3²1 91 9 0 A expressão é negativa neste intervalo Intervalo 1 1 Escolha x 0 0 1²0 1 1²1 11 1 0 A expressão é positiva neste intervalo Intervalo 1 Escolha x 2 2 1²2 1 1²3 13 3 0 A expressão é positiva neste intervalo 5 Identificar os intervalos onde a inequação é satisfeita Estamos procurando os intervalos onde x 1²x 1 0 De acordo com a análise acima isso ocorre nos intervalos 1 1 e 1 Note que em x 1 a expressão é igual a zero mas a inequação é maior que então x 1 não está incluído na solução OO 1 1 O conjunto de números que satisfazem a inequação x³ 1 x² x é 1 1 1 10 1 Fatorar a expressão A expressão x2 1 é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como x 1x 1 x 1x 1x 4 0 2 Encontrar os pontos críticos raízes Os pontos críticos são os valores de x que tornam a expressão igual a zero x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 4 0 x 4 3 Analisar o sinal da expressão nos intervalos determinados pelos pontos críticos Os pontos críticos 4 1 e 1 dividem a reta numérica em quatro intervalos 4 4 1 1 1 1 Vamos testar um valor de x em cada intervalo para determinar o sinal da expressão x 1x 1x 4 em cada intervalo Intervalo 4 Escolha x 5 5 15 15 4 641 24 A expressão é negativa neste intervalo Intervalo 4 1 Escolha x 2 2 12 12 4 312 6 0 A expressão é positiva neste intervalo Intervalo 1 1 Escolha x 0 0 10 10 4 114 4 0 A expressão é negativa neste intervalo Intervalo 1 Escolha x 2 2 12 12 4 136 18 0 A expressão é positiva neste intervalo 11 Parte 1 2x 2 x 2x 2 1 Passar todos os termos para um lado 2x 2 x 2x 2 0 2 Combinar as frações já possuem o mesmo denominador 2 x 2x 2 0 2 x 2x 2 0 xx 2 0 xx 2 0 multiplicando por 1 e invertendo o sii 3 Analisar os sinais do numerador e do denominador Numerador x 0 ponto crítico Denominador x 2 0 x 2 ponto crítico 4 Analisar os intervalos 0 0 Verdadeiro 0 2 0 Falso 2 0 Verdadeiro 5 Solução da Parte 1 x 0 2 Note que x 0 está incluído devido ao mas x 2 não está incluído pois torna o denominador zero 4 Identificar os intervalos onde a inequação é satisfeita Estamos procurando os intervalos onde x 1x 1x 4 0 De acordo com a análise acima isso ocorre nos intervalos 4 e 1 1 Os pontos críticos estão incluídos porque a desigualdade é O conjunto de números que satisfazem a inequação x2 1x 4 0 é 4 1 1 Parte 2 x 2 x 2 1 1 Passar todos os termos para um lado x 2 x 2 1 0 x 2 x 2 x 2 x 2 0 2 Combinar as frações x 2 x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 0 4 x 2 0 3 Analisar o sinal da fração O numerador é sempre positivo 4 Para que a fração seja menor ou igual a zero o denominador deve ser negativo x 2 0 x 2 4 Solução da Parte 2 x 2 Note que x 2 pois torna o denominador zero 5 Encontrar a interseção das soluções da Parte 1 e da Parte 2 Solução da Parte 1 0 2 Solução da Parte 2 2 A interseção é a região onde ambas as condições são satisfeitas Para o intervalo 0 da Parte 1 a interseção com 2 da Parte 2 é 0 Para o intervalo 2 da Parte 1 a interseção com 2 da Parte 2 é o conjunto vazio pois não há números que sejam simultaneamente maiores que 2 e menores que 2 Portanto a solução final da inequação composta é x 0 0 O conjunto de números que satisfazem a inequação 2 x 2 x 2 x 2 1 é 0 12 1 Passar todos os termos para um lado da desigualdade Subtraia 4 de ambos os lados x x 3 4 0 2 Encontrar um denominador comum e combinar as frações O denominador comum é x 3 x x 3 4x 3 x 3 0 x 4x 3 x 3 0 x 4x 12 x 3 0 3x 12 x 3 0 3 Encontrar os pontos críticos raízes do numerador e do denominador Numerador 3x 12 0 3x 12 x 4 Denominador x 3 0 x 3 4 Analisar o sinal da expressão nos intervalos determinados pelos pontos críticos Os pontos críticos 3 e 4 dividem a reta numérica em três intervalos 3 3 4 4 Vamos testar um valor de x em cada intervalo para determinar o sinal da expressão 3x 12 x 3 em cada intervalo Intervalo 3 Escolha x 0 30 12 0 3 12 3 4 0 A expressão é negativa neste intervalo Intervalo 3 4 Escolha x 35 335 12 35 3 105 12 05 15 05 3 0 A expressão é positiva neste intervalo Intervalo 4 Escolha x 5 35 12 5 3 15 12 2 3 2 15 0 A expressão é negativa neste intervalo 5 Identificar os intervalos onde a inequação é satisfeita Estamos procurando os intervalos onde 3x 12 x 3 0 De acordo com a análise acima isso ocorre nos intervalos 3 e 4 Note que x 3 não está incluído na solução porque torna o denominador zero a expressão é indefinida x 4 não está incluído porque torna o numerador zero e a inequação é menor que oo 3 4 O conjunto de números que satisfazem a inequação x x 3 4 é 3 4 13 1 Passar todos os termos para um lado da desigualdade Subtraia 2 de ambos os lados 3 x 5 2 0 2 Encontrar um denominador comum e combinar as frações O denominador comum é x 5 3 x 5 2x 5 x 5 0 3 2x 5 x 5 0 3 2x 10 x 5 0 2x 13 x 5 0 3 Encontrar os pontos críticos raízes do numerador e do denominador Numerador 2x 13 0 2x 13 x 13 2 65 Denominador x 5 0 x 5 4 Analisar o sinal da expressão nos intervalos determinados pelos pontos críticos Os pontos críticos 5 e 65 dividem a reta numérica em três intervalos 5 5 65 65 Vamos testar um valor de x em cada intervalo para determinar o sinal da expressão 2x 13 x 5 em cada intervalo Intervalo 5 Escolha x 0 20 13 0 5 13 5 26 0 A expressão é negativa neste intervalo Intervalo 5 65 Escolha x 6 26 13 6 5 12 13 1 1 1 1 0 A expressão é positiva neste intervalo Intervalo 65 Escolha x 7 27 13 7 5 14 13 2 1 2 05 0 A expressão é negativa neste intervalo 5 Identificar os intervalos onde a inequação é satisfeita Estamos procurando os intervalos onde 2x 13 x 5 0 De acordo com a análise acima isso ocorre nos intervalos 5 e 65 Note que x 5 não está incluído na solução porque torna o denominador zero a expressão é indefinida x 65 está incluído porque torna o numerador zero e a inequação é o 5 65 O conjunto de números que satisfazem a inequação 3 x 5 2 é 5 65 2 1 A equação apresentada é 5x 3 12 Para resolver uma equação com valor absoluto devemos considerar os dois casos possíveis Caso 1 5x 3 12 Neste caso removemos o módulo diretamente assumindo que a expressão dentro do módulo é positiva 1 Adicionamos 3 aos dois lados da equação 5x 12 3 5x 15 2 Dividimos ambos os lados por 5 x 15 5 x 3 Caso 2 5x 3 12 Neste caso consideramos que a expressão dentro do módulo é negativa e invertemos o sinal 1 Adicionamos 3 aos dois lados da equação 5x 12 3 5x 9 2 Dividimos ambos os lados por 5 x 95 x 95 Solução Final As soluções para a equação são x 3 ou x 95 2 4 12x 7 Passo 1 Definição do módulo Uma equação envolvendo módulo como A B pode ser resolvida considerando os dois casos possíveis 1 A B 2 A B Aqui A 4 12x e B 7 Assim temos Caso 1 4 12x 7 Caso 2 4 12x 7 Passo 2 Resolver cada caso Caso 1 4 12x 7 Adicionamos 4 em ambos os lados 12x 7 4 12x 11 Dividimos por 12 x 1112 Caso 2 4 12x 7 Adicionamos 4 em ambos os lados 12x 7 4 12x 3 Dividimos por 12 x 312 x 14 Passo 3 Solução Final As soluções da equação são x 1112 ou x 14 3 2x 3 7x 5 Passo 1 Definir os casos possíveis A igualdade entre dois valores absolutos gera duas possibilidades 1 2x 3 7x 5 2 2x 3 7x 5 Vamos resolver cada caso separadamente Caso 1 2x 3 7x 5 1 Isolamos x 2x 7x 5 3 5x 2 2 Dividimos por 5 x 25 25 Caso 2 2x 3 7x 5 1 Expandimos o lado direito 2x 3 7x 5 2 Isolamos x 2x 7x 5 3 9x 8 3 Dividimos por 9 x 89 Passo 2 Verificar as soluções As soluções encontradas são x 25 e x 89 Vamos verificar se ambas satisfazem a equação original Para x 25 1 Substituímos na equação original 2x 3 7x 5 2 25 3 7 25 5 45 3 145 5 45 155 145 255 115 115 115 115 Verdadeiro Para x 89 1 Substituímos na equação original 2x 3 7x 5 2 89 3 7 89 5 169 3 569 5 169 279 569 459 119 119 119 119 Verdadeiro Solução Final As soluções da equação são x 25 e x 89 4 x2x2 5 Passo 1 Definir os casos do módulo A definição do módulo nos leva a dois casos 1 x2x2 5 2 x2x2 5 Caso 1 x2x2 5 Multiplicamos ambos os lados por x 2 lembrando que x 2 para evitar divisão por zero x 2 5x 2 Expandindo o lado direito x 2 5x 10 Reorganizamos os termos 2 10 5x x 12 4x Dividimos por 4 x 3 Caso 2 x2x2 5 Multiplicamos ambos os lados por x 2 novamente considerando x 2 x 2 5x 2 Expandindo o lado direito x 2 5x 10 Reorganizamos os termos x 5x 10 2 6x 8 Dividimos por 6 x 86 43 Verificação das soluções As soluções encontradas são x 3 e x 43 Devemos verificar se elas não anulam o denominador x 2 Para x 3 x 2 1 0 válido Para x 43 x 2 43 2 23 0 válido Solução final As soluções da equação são x 3 e x 43 5 3x82x3 4 Passo 1 Interpretar a equação com valor absoluto A equação com valor absoluto se desdobra em duas possibilidades 3x82x3 4 ou 3x82x3 4 Agora resolvemos cada caso separadamente Caso 1 3x82x3 4 Multiplicamos ambos os lados da equação por 2x 3 considerando que 2x 3 0 3x 8 42x 3 Expandimos o lado direito 3x 8 8x 12 Isolamos x 3x 8x 12 8 5x 20 x 205 4 Condição de existência Para que a fração original seja válida o denominador 2x 3 0 Assim 2x 3 0 x 32 Como x 4 satisfaz essa condição este é um valor válido Caso 2 3x82x3 4 Multiplicamos ambos os lados da equação por 2x 3 considerando que 2x 3 0 3x 8 42x 3 Expandimos o lado direito 3x 8 8x 12 Isolamos x 3x 8x 12 8 11x 4 x 411 Condição de existência Para que a fração original seja válida o denominador 2x 3 0 Assim 2x 3 0 x 32 Como x 411 também satisfaz essa condição este é um valor válido Solução Final Os valores de x que satisfazem a equação são x 4 e x 411 6 3x 2 5 x Passo 1 Condições de existência Sabemos que o módulo 3x 2 é sempre maior ou igual a 0 Assim para que 5 x seja válido ele também deve ser maior ou igual a 0 5 x 0 x 5 Portanto a solução final deve satisfazer x 5 Passo 2 Definição do módulo A equação 3x 2 5 x pode ser desdobrada em dois casos considerando a definição do módulo 1 Caso 1 3x 2 5 x 2 Caso 2 3x 2 5 x Caso 1 3x 2 5 x Resolvendo essa equação 3x x 5 2 4x 3 x 34 Verificando a condição x 5 x 34 é válido Caso 2 3x 2 5 x Primeiro eliminamos o sinal de negativo 3x 2 5 x 3x x 5 2 2x 7 x 72 Verificando a condição x 5 x 72 também é válido Passo 3 Verificação das soluções Para garantir que ambas as soluções atendem à equação original substituímos os valores encontrados na equação inicial 3x 2 5 x 1 Para x 34 334 2 94 84 174 5 34 204 34 174 Como 3x 2 5 x x 34 é solução 2 Para x 72 372 2 212 42 172 172 5 72 5 72 102 72 172 Como 3x 2 5 x x 72 também é solução Resposta Final As soluções da equação são x 34 e x 72 7 9x 11 x Passo 1 Isolar o módulo Adicionamos 11 em ambos os lados da equação para isolar o termo com o módulo 9x x 11 Passo 2 Resolver as duas possibilidades do módulo Sabemos que a b implica a b ou a b Assim temos duas equações para resolver Caso 1 9x x 11 Subtraímos x de ambos os lados 9x x 11 8x 11 Dividimos por 8 x 118 Caso 2 9x x 11 Expandimos o lado direito 9x x 11 Somamos x em ambos os lados 9x x 11 10x 11 Dividimos por 10 x 1110 Passo 3 Verificar as soluções As soluções precisam satisfazer a equação original Substituímos x 118 e x 1110 na equação original 9x 11 x 1 Para x 118 9 118 11 118 998 11 118 998 888 118 118 118 Verdadeiro 2 Para x 1110 9 1110 11 1110 9910 11 1110 9910 11010 1110 1110 1110 Verdadeiro Resposta final As soluções são x 118 e x 1110 8 2x 7 x 1 Passo 1 Definir os casos do valor absoluto Sabemos que x é definido como x x se x 0 x se x 0 Portanto precisamos analisar dois casos distintos para resolver a equação Caso 1 x 0 Se x 0 temos que x x Substituímos na equação 2x 7 x 1 Resolva isolando x 2x x 1 7 x 8 Agora verificamos se x 8 satisfaz a condição x 0 Como 8 0 esta solução é válida Caso 2 x 0 Se x 0 temos que x x Substituímos na equação 2x 7 x 1 Resolva isolando x 2x x 1 7 3x 8 x 83 Agora verificamos se x 83 satisfaz a condição x 0 Como 83 0 esta solução não é válida Solução Final A única solução válida é x 8 3 1 Passo 1 Definição da desigualdade absoluta A desigualdade x 12 7 implica que 7 x 12 7 Passo 2 Resolver as duas desigualdades Agora resolvemos cada lado da desigualdade composta separadamente 1 Primeira desigualdade 7 x 12 Subtraímos 12 dos dois lados 7 12 x x 19 2 Segunda desigualdade x 12 7 Subtraímos 12 dos dois lados x 7 12 x 5 Passo 3 Intervalo solução Combinando as duas desigualdades x 19 e x 5 concluímos que 19 x 5 Passo 4 Representação da solução A solução da inequação é o intervalo aberto x 19 5 Resposta final A solução da inequação é x 19 5 2 Passo 1 Definição do módulo A definição de módulo nos diz que para A B temos B A B Aplicando isso à inequação 3x 4 2 obtemos 2 3x 4 2 Passo 2 Resolver as duas inequações simultaneamente Inequação 1 2 3x 4 Adicionamos 4 em ambos os lados 2 4 3x 2 3x Dividimos por 3 23 x Inequação 2 3x 4 2 Adicionamos 4 em ambos os lados 3x 2 4 3x 6 Dividimos por 3 x 2 Passo 3 Intervalo solução Agora combinamos as duas condições 23 x 2 Portanto a solução é x 23 2 Resposta Final x 23 2 3 5 6x 9 A resolução de uma inequação com valor absoluto segue o princípio de que A B A B ou A B Passo 1 Aplicar a definição de valor absoluto No caso A 5 6x e B 9 Assim temos duas condições 1 5 6x 9 2 5 6x 9 Passo 2 Resolver cada caso separadamente Caso 1 5 6x 9 Subtraímos 5 dos dois lados 6x 9 5 6x 14 Dividimos por 6 lembrando de inverter o sinal da desigualdade x 146 x 73 Caso 2 5 6x 9 Subtraímos 5 dos dois lados 6x 9 5 6x 4 Dividimos por 6 lembrando de inverter o sinal da desigualdade x 46 x 23 Passo 3 Combinar as soluções A solução da inequação é a união dos dois intervalos obtidos x 23 73 Resposta final x 23 73 4 Passo 1 Definição da inequação modular Sabemos que uma inequação envolvendo módulo pode ser desmembrada em dois casos A B A B ou A B No nosso caso temos 2x 5 3 Aqui A 2x 5 e B 3 Portanto podemos escrever 2x 5 3 ou 2x 5 3 Passo 2 Resolver cada caso separadamente Caso 1 2x 5 3 Resolva para x 2x 3 5 2x 8 x 4 Caso 2 2x 5 3 Resolva para x 2x 3 5 2x 2 x 1 Passo 3 Combinar as soluções As soluções dos dois casos são x 4 ou x 1 Portanto a solução final é a união dos intervalos x 1 4 Resposta Final x 1 4 5 6 2x 4 x Para resolver uma inequação que envolve valores absolutos devemos analisar os casos possíveis com base na definição de módulo A definição de módulo é a a se a 0 a se a 0 Passo 1 Determinar os pontos críticos Os valores que tornam 6 2x 0 e 4 x 0 são os pontos críticos Vamos calcular 1 Para 6 2x 0 2x 6 x 3 2 Para 4 x 0 x 4 Assim os pontos críticos são x 3 e x 4 Eles dividem a reta real em três intervalos 1 x 3 2 3 x 4 3 x 4 Vamos analisar cada caso separadamente Caso 1 x 3 Neste intervalo 6 2x 0 então 6 2x 6 2x 6 2x 4 x 0 então 4 x 4 x Substituímos na inequação 6 2x 4 x Resolvendo 6 2x 4 x 6 4 x x 10 No entanto neste caso estamos considerando x 3 Assim a solução deste caso é 10 x 3 Caso 2 3 x 4 Neste intervalo 6 2x 0 então 6 2x 6 2x 4 x 0 então 4 x 4 x Substituímos na inequação 6 2x 4 x Resolvendo 6 2x 4 x 6 4 3x 3x 2 x 23 Neste caso estamos considerando 3 x 4 Assim a solução deste caso é 3 x 23 Caso 3 x 4 Neste intervalo 6 2x 0 então 6 2x 6 2x 4 x 0 então 4 x 4 x 4 x Substituímos na inequação 6 2x 4 x Resolvendo 6 2x 4 x 6 2x x 4 x 10 No entanto neste caso estamos considerando x 4 Como não há interseção entre x 4 e x 10 este caso não possui solução Solução Final Unindo as soluções dos casos 1 e 2 temos 10 x 23 6 x 4 2x 6 Passo 1 Análise dos módulos Sabemos que o módulo de um número a é definido como a a se a 0 a se a 0 Portanto para resolver a inequação precisamos considerar os casos em que as expressões dentro dos módulos mudam de sinal Passo 2 Determinar os pontos críticos Os pontos críticos ocorrem quando as expressões dentro dos módulos se anulam 1 x 4 0 x 4 2 2x 6 0 x 3 Esses valores dividem a reta real em três intervalos 4 4 3 3 Passo 3 Estudo por intervalos Agora analisaremos cada intervalo separadamente Intervalo 1 x 4 x 4 0 x 4 x 4 x 2x 6 0 2x 6 2x 6 Substituímos na inequação original x 4 2x 6 Resolvendo x 2x 6 4 x 10 Nesse intervalo x 4 a solução válida é x 4 Intervalo 2 4 x 3 x 4 0 x 4 x 4 2x 6 0 2x 6 2x 6 Substituímos na inequação original x 4 2x 6 Resolvendo x 2x 6 4 3x 2 x 23 Nesse intervalo 4 x 3 a solução válida é x 4 23 Intervalo 3 x 3 x 4 0 x 4 x 4 2x 6 0 2x 6 2x 6 Substituímos na inequação original x 4 2x 6 Resolvendo x 2x 6 4 x 10 x 10 Nesse intervalo x 3 a solução válida é x 10 Passo 4 Solução final Unindo todas as soluções dos intervalos temos x 4 4 23 10 Passo 1 Definição de casos para valores absolutos Para resolver uma inequação envolvendo valores absolutos devemos considerar os casos em que as expressões dentro dos módulos podem ser positivas ou negativas Assim temos duas condições principais 1 3x 0 e 5 2x 0 2 3x 0 e 5 2x 0 3 3x 0 e 5 2x 0 4 3x 0 e 5 2x 0 Cada caso será analisado separadamente Caso 1 3x 0 e 5 2x 0 Aqui como ambas as expressões são positivas podemos simplesmente remover os módulos 3x 5 2x Resolvendo 3x 2x 5 5x 5 x 1 Além disso a condição 5 2x 0 implica 5 2x x 52 Portanto neste caso temos 1 x 52