Calculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Cartesianas - Lista de Exercícios Resolvidos

Calcule as integrais abaixo a Calcule W x dx dy dz onde W é limitado por z x² y² z 2 no primeiro octante Encontre as integrais triplas com Coordenadas cilíndricas b Determine por integral tripla o volume do sólido R delimitador pelo plano z9 e inferiormente pelo paraboloide z x² y² Sendo o sólido ainda limitado nos dois primeiros octantes Questão 1 Temos a seguinte integral 𝐼 𝑥𝑑𝑧 2 𝑥2𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 𝑥 𝑑𝑧 2 𝑥2𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 𝑥𝑧𝑥2𝑦2 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 𝑥2 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Assim a integral fica 𝐼 𝑟 cos 𝜃 2 𝑟2𝑟𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 Calculando temos 𝐼 cos 𝜃 𝑟22 𝑟2𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝐼 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 2𝑟2 𝑟4𝑑𝑟 2 0 𝐼 sin 𝜃0 𝜋 2 2 3 𝑟3 𝑟5 5 0 212 𝐼 sin𝜋 2 sin 0 2 3 2 3 2 2 5 2 5 𝐼 1 0 2 3212 222 5 𝐼 2 2 3 2 4 5 𝐼 42 1 3 1 5 𝐼 42 5 3 15 𝑰 𝟖𝟐 𝟏𝟓 Questão 2 Temos a seguinte integral 𝐼 𝑑𝑧 9 𝑥2𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 𝑧𝑥2𝑦2 9 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 9 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Assim a integral fica 𝐼 9 𝑟2𝑟𝑑𝑟 3 0 𝑑𝜃 𝜋 0 Calculando temos 𝐼 𝜋 9 𝑟2𝑟𝑑𝑟 3 0 𝐼 𝜋 9𝑟 𝑟3𝑑𝑟 3 0 𝐼 𝜋 9 2𝑟2 𝑟4 4 0 3 𝐼 𝜋 9 2 32 34 4 𝐼 𝜋81 1 2 1 1 4 𝐼 𝜋81 1 4 𝟖𝟏𝝅 𝟒 Questão 1 Temos a seguinte integral I x 2 y 2 2 x d zdxdy Ix x 2y 2 2 dzdxdy Ix zx 2y 2 2 dxdy Ix 2x 2y 2 dxdy Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Assim a integral fica I 0 π 2 0 2 r cosθ 2r 2 rd rdθ Calculando temos I 0 π 2 cosθ 0 2 r 22r 2drdθ I 0 π 2 cosθ dθ 0 2 2r 2r 4 dr Isin θ0 π 2 2 3 r 3r 5 5 0 2 1 2 Isin π 2 sin0 2 3 2 3 22 5 2 5 I10 2 3 2 122 22 5 I2 2 3 24 5 I42 1 31 5 I42 53 15 I82 15 Questão 2 Temos a seguinte integral I x 2 y 2 9 dzdxdy I zx 2 y 2 9 dxdy I 9x 2y 2 dxdy Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Assim a integral fica I 0 π 0 3 9r 2 rdrdθ Calculando temos Iπ 0 3 9r 2rdr Iπ 0 3 9rr 3 dr Iπ 9 2 r 2r 4 4 0 3 Iπ 9 2 3 23 4 4 Iπ 81 1 2 11 4 Iπ 81 1 4 81π4