EDO-Lineares-Não-Homogêneas-Ordem-N-Conceitos-e-Método-de-Variação-de-Parâmetros

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE ORDEM N NÃO HOMOGÊNEAS Dada uma EDO Linear de ordem n 1 1 1 0 1 n n n n n n d y d y dy b x b x b x b x y g x dx dx dx Dizemos que a equação é Não Homogênea quando gx0 Para este tipo de EDO a SOLUÇÃO GERAL y é uma soma de dois tipos de soluções y solução geral da ED linear homogênea associada a ela uma solução particular ou seja h p y y y Vamos verificar a resolução para EDOs de Ordem 2 para ordem maior guardadas as devidas adaptações a resolução será análoga Se a EDO tem coeficientes constantes é da forma ay by cy g x Se a EDO tem coeficientes variáveis CauchyEuler é da forma ax²ybxycy gx Parte I da Solução Geral Solução geral da ED linear homogênea associada A EDO homogênea associada à EDO a ser resolvida é uma EDO que mantém os mesmos coeficientes e derivadas da EDO original apenas considerando gx0 Assim temse aybycy0 para EDOs com coeficientes constantes cuja solução depende da Equação característica ax²ybxycy 0 para EDOs com coeficientes variáveis cuja solução depende da Equação auxiliar Logo dado o tipo de EDO com relação aos coeficientes escrevese a EDO homogênea associada e determinase sua solução geral utilizandose o devido tipo de equação Parte II da Solução Geral Uma Solução Particular da EDO a ser resolvida Para determinar esta solução que irá compor a solução geral existem diversos métodos Aplicaremos aqui o método chamado Variação dos Parâmetros Este método utiliza a solução geral da ED homogênea associada que já foi calculada essa é uma das vantagens de sua aplicação e também é um método mais geral com relação à gx diferente de outros que servem para alguns tipos mais restritos de gx Método de variação de parâmetros Considere a ED linear não homogênea de coeficientes constantes aybycygx ou variáveis ax²ybxycy gx Suas EDOs homogêneas associadas têm soluções gerais da forma 1 1 2 2 y c y x c y x onde y1 e y2 são funções conhecidas e dependem do tipo de solução das equação característica ou auxiliar INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA PROFESSORA MADELINE O S CORRÊA DISCIPLINA Cálculo II CONTEÚDO Equações Diferenciais ordem n NOME O método da variação dos parâmetros pressupõe a substituição de 1 2 c e c por funções da variável x que ao serem determinadas compõem a solução particular da ED não homogênea 1Fazendo essa substituição considerase 1 1 2 2 yp v x y x v x y x como solução particular a ser determinada 2Determinamse as funções 1 2 v e v sabendo que a suposta solução satisfaz a ED não homogênea e como consequência deste fato gera duas condições que recaem sobre a resolução do sistema 1 1 2 2 1 1 2 2 0 v y v y g v y v y a ou 0 A solução destes sistemas são 1 2 v e v derivadas das funções que devem ser determinadas 3Então para determinar 1 2 v e v é necessário integrar a solução do sistema 4Por fim para determinar a solução particular yp basta substituir as funções encontradas em 1 1 2 2 yp v x y x v x y x A Solução Geral da EDO Não Homogênea dada inicialmente é y yh yp Então para escrever a Solução Geral da EDO Não Homogênea deve se escrever a função y como sendo a soma das soluções encontradas nas Partes I e II Exemplos a Determinar a solução geral da ED y4y3y 8x b Determinar a solução geral da ED x²y 2xy2y x³cos x