Eletromagnetismo

Questão nº 02 20 pontos Concêntrica a uma casca esférica de raio a com distribuição de carga uniforme σ na sua superfície está uma esfera de raio b de densidade volumétrica radial de carga ρr ρ0b b r em que r é a distância radial em relação ao centro da esfera Determine o campo elétrico nas regiões r b b r a e r a com a b Questão nº 03 20 pontos Uma carga positiva Q está distribuída uniformemente em uma linha fina não condutora e de comprimento L Determine o módulo do campo elétrico produzido num ponto P situado na mediatriz da barra a uma distância R Questão nº 04 20 pontos Uma carga q está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R Tome V 0 no infinito Determine o potencial V para r R e a diferença de potencial entre o ponto r R e o ponto r 0 Questão nº 05 10 ponto Um bastão de comprimento L tem carga total Q distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento O bastão está ao longo do eixo y com uma extremidade na origem a Determine uma expressão para o potencial elétrico como uma função ao longo o eixo x b Mostre que o resultado obtido anteriormente se reduz a V kQx para x L QUESTÃO 1 A situação é de simetria esférica então o campo elétrico depende apenas de r e é radial Usase o teorema de Gauss A densidade volumétrica dentro da esfera de raio b é ρr ρ0br para 0 r b e na casca esférica de raio a há uma densidade de carga superficial uniforme σ Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada no mesmo centro determinase a carga total dentro dela e daí o campo Cálculo da carga encerrada quando rb a carga volumétrica acumulada dentro de raio r é Qr ₀ʳ ρ₀br4πr²dr 4πρ₀ b₀ʳ r²dr ₀ʳ r³dr 4πρ₀ b r³3 r⁴4 Pela lei de Gauss o módulo do campo para rb é Er 14πε₀ Qrr² 14πε₀ 4πρ₀ b r³3 r⁴4r² ρ₀ε₀ b r3 r²4 O campo é radial apontando para fora se ρ₀ 0 logo Ēr ρ₀ε₀ b r3 r²4 r r b Para bra a superfície gaussiana engloba toda a carga volumétrica da esfera interna Calculase essa carga total substituindo rb Qinterna 4πρ₀ b³3 b⁴4 4πρ₀ b³ 13 14 4πρ₀ b³ 112 π3 ρ₀ b³ Não há nenhuma outra carga até a casca em ra então para b r a Er 14πε₀ Qinterna r² 14πε₀ π ρ₀ b³ 112 1r² ρ₀ b³ 12ε₀ 1r² e Ēr ρ₀ b³ 12ε₀ 1r² r b r a Para ra a superfície gaussiana engloba também a casca esférica de raio a com carga superficial total Qcasca 4π a² σ Assim a carga total encerrada é Qtotal Qinterna Qcasca π3 ρ₀ b³ 4π a² σ O campo para ra é Er 14πε₀ Qtotal r² ρ₀ b³ 12ε₀ a² σ ε₀ 1r² e Ēr ρ₀ b³ 12ε₀ a² σ ε₀ 1r² r r a Comentário sobre continuidade no limite rb a expressão para rb dá Eb ρ₀ε₀ b²3 b²4 ρ₀ b² ε₀ 112 ρ₀ b² 12ε₀ Eb há continuidade do campo em rb como esperado na ausência de densidade superficial ali Em ra pode haver descontinuidade na componente radial do campo se σ 0 correspondendo à presença da carga superficial salto ΔEr σ ε₀ Resumo final dos campos Para rb Ēr ρ₀ε₀ b r3 r²4 r Para bra Ēr ρ₀ b³ 12ε₀ 1r² r Para ra Ēr ρ₀ b³ 12ε₀ a² σ ε₀ 1r² r QUESTÃO 2 A carga positiva Q está distribuída uniformemente ao longo de uma barra fina de comprimento L portanto a densidade linear é λ QL O ponto P está na mediatriz da barra a uma distância R do centro de modo que a simetria faz com que as componentes horizontais do campo elétrico de elementos simétricos se cancelem e reste apenas uma componente perpendicular à barra Para descrever a contribuição de um elemento infinitesimal de carga colocase a barra ao longo do eixo x de L2 a L2 e o ponto P em 0R Um elemento de comprimento dx na posição x contém carga dqλdx A distância de dq até P é x² R² A intensidade do campo elétrico devido a dq é dE 14πε₀ dq x² R² dada a direção a componente que permanece perpendicular à barra ao longo de ŷ é dEŷ dE Rx²R² Substituindo e agrupando dEŷ 14πε₀ λ dx x² R² Rx² R² 14πε₀ λ R dx x² R²³² Como os lados positivo e negativo de x contribuem igualmente integrase de 0 a L2 e multiplicase por 2 E 2 14πε₀ λ R ₀ L2 dx x² R²³² A integral conhecida é dxx²R²³² x R² x² R² Aplicando o limite de 0 a L2 dá E 12πε₀ λ R x R² x² R² ₀ L2 12πε₀ λ R L2 R² L2² R² Simplificando λ Q e os fatores E 14πε₀ Q R L2² R² O campo é perpendicular à barra apontando para fora de uma carga positiva portanto a expressão vetorial em módulo é Ē 14πε₀ Q R L2² R² ŷ Para entender os regimes quando R L ponto muito próximo da barra na mediatriz a raiz L2² R² L2 e o campo comportase como E 14πε₀ 2Q LR ou seja cresce como 1R Quando R L a raiz L2² R² R e o campo se aproxima de E 14πε₀ Q R² como se toda a carga estivesse concentrada em um ponto no centro da barra QUESTÃO 3 A carga total q está distribuída uniformemente no volume de uma esfera de raio R de modo que a densidade volumétrica é ρ q 43π R³ 3q 4π R³ Devido à simetria esférica o campo elétrico é radial e depende apenas de r Para r R usase o teorema de Gauss para obter o campo dentro da esfera A carga encerrada por uma superfície gaussiana esférica de raio r com r R é a fração do volume proporcional a r³ qencr ρ 43 π r³ 3q 4π R³ 43 π r³ q r³ R³ O módulo do campo elétrico dentro é Er 14πε₀ qencr r² 14πε₀ q R³ r Esse campo cresce linearmente com r até a superfície O potencial elétrico é definido com V0 e pode ser obtido integrando o campo lembrando que Ē V e ao longo da direção radial VrV r Ē dℓ com Ē apontando para fora direção radial Para r R a esfera se comporta como carga puntual total q concentrada no centro então Vr 14πε₀ q r r R Em particular na superfície r R VR 14πε₀ q R Para r R calculase o potencial indo de r até R usando o campo interno e somando a VR Vr VR rR Er dr 14πε₀ q R rR 14πε₀ q R³ r dr A integral é rR r dr 12 R² r² Portanto Vr 14πε₀ q R 14πε₀ q R³ 12 R² r² 14πε₀ q 1R R² r² 2R³ Colocando sob denominador comum Vr 14πε₀ q 2R² R² r² 2R³ 14πε₀ q 3R² r² 2R³ r R A diferença de potencial entre o centro e a superfície é V0 VR 14πε₀ q 3R² 0 2R³ 14πε₀ q R 14πε₀ q 32R 1R 14πε₀ q 2R q 8πε₀ R Resumo das expressões no new text after resumo das expressões on this page Para rR Vr 1 4πε₀ q 3R² r² 2R³ Para rR Vr 1 4πε₀ q r Diferença V0Vr q 8πε₀R QUESTÃO 4 a A carga total Q está uniformemente distribuida ao longo de um bastão sobre o eixo y de y0 até yL logo a densidade linear é λQL O ponto onde se quer o potencial está sobre o eixo x em x00 A distância de um elemento infinitesimal de carga dqλdy situado em 0y0 até o ponto x é x² y² O potencial elétrico devido a esse elemento tomando V0 é dV 1 4πε₀ dq x² y² 1 4πε₀ λ dy x² y² Integrando ao longo do bastão de y0 até yL obtêmse Vx 1 4πε₀ λ ₀ᴸ dy x² y² A integral padrão é dy x² y² lny x² y² portanto Vx 1 4πε₀ λ lnL x² L² ln0 x² 1 4πε₀ Q L lnL x² L² x Esse é o potencial ao longo do eixo x A dependência em x garante que o potencial seja simétrico quanto ao sinal de x já que a configuração é simétrica b Para x L podese analisar o limite assintótico Escrevese x² L² x 1 L² x² x 1 12 L² x² então L x² L² L x L² 2x Dividindo por x e usando a expansão de logaritmo para argumento próximo de 1 lnL x² L² x ln1 L x L² 2x² L x pois os termos de ordem superior são pequenos quando x L Substituindo em Vx Vx 1 4πε₀ Q L L x 1 4πε₀ Q x o que é exatamente o potencial de uma carga pontual Q situada na origem como esperado quando se observa de muito longe em comparação ao comprimento do bastão