Exercícios Resolvidos Álgebra Linear - Matrizes, Subespaços, Transformações e Autovetores

Seja o espaço vetorial das matrizes M23R matrizes de 2 linhas e 3 colunas e o subespaço vetorial U a 3a b bc 5c 0 a b c R e considere as seguintes afirmações I O conjunto B 1 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 5 0 gera o subespaço vetorial U isto é U B II O conjunto B 1 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 5 0 é linearmente dependente III O conjunto B 1 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 5 0 é base para o subespaço vetorial U IV dimR U 2 Seja o operador linear T R2 R2 tal que os autovetores v1 1 2 associado ao autovalor λ1 2 e v2 1 1 associado ao autovalor λ2 6 e determine Txy Observação Na resposta deve colocar Txy ax byc dx eyc em que abcd deve ser encontrados na resolução Não colocar espaço na digitação na caixa de resposta Seja a transformação Linear T R3 P2R definida por Ta b c ax2 b cx 2a Assinale VerdadeiroV ou FalsoF nas seguintes afirmações NT 0 b b b R em que NT é o núcleo de T é injetora O conjunto B 0 1 1 é base para Núcleo de T Seja o subconjunto S do espaço vetorial R3 definido por S x 5x x 1 x R Analise as seguintes questões e classifique em VerdadeiroV ou FalsoF I 0 0 0 S II Sejam x1 5x1 x1 1 e x2 5x2 x2 1 elementos de S então x1 5x1 x1 1 x2 5x2 x2 1 S III Sejam λ R e x 5x x 1 elemento S então λx 5x x 1 S IV S não é subespaço vetorial de R3 Assinale a alternativa correta a V F F V b F F F F é base para o subespaço vetorial U IV dimR U 2 Com base nas afirmações acima assinale a alternativa CORRETA a As questões I e III são corretas b Todas as questões são corretas c Apenas a questão III é correta d As questões I II III são corretas Q1 S x 5x x1 I F II V Letra D III F IV V Q2 U a 3a b b 1 3 0 0 0 1 btc 5c 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 5 0 I V II F III V IV F Letra A Q3 Tabc ax2 bcx 2a T 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 x1 0 x2 x3 Nt 011 I V II F III V Q4 Ta b c a b 2a c 3c b B 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 I V II F III V IV V Q5 IB B P E B I P B E 17 17 37 17 1 1 3 2 1 1 1 1 17 17 17 17 Letra B Q6 Letra A Q7 A 12 92 92 12 det λ I A 0 λ 12 92 0 λ² 1 20 λ1 4 92 λ 12 λ2 5 I F II V III V IV F V F Q8 Tx λ x T12 212 24 a 2bc d 2ec xx T11 6 11 66 a bc 6d 6ec Txy 10x 8y 3 2x 5y 3 os autovetores são v₁ 1 1 e v₂ 1 1 O polinômio característico é pT λ λ² 5 λ 4 os autovetores são v₁ 1 1 e v₂ 1 2 Seja o operador linear T R2 R2 definido por Tx y x 9y2 9x y2 Assinale VerdadeiroF ou FalsoF nas seguintes afirmações Os autovalores são λ1 1 e λ2 4 Os autovalores são λ1 5 e λ2 4 os autovetores são v1 1 1 e v2 1 1 Seja a transformação linear T R2 R3 tal que a matriz canônica é dada por T 3 1 2 1 6 5 Qual é a transformação linear Tx y a Tx y 3x y 2x y 6x 5y b Tx y 3x y 2x y 6x 5y c Tx y 3x y 2x y 6x 5y d Tx y 3x y 2x y 6x 5y a TBB 37 17 117 17 b TBB 37 17 117 17 c TBB 37 17 117 17 d TBB 37 17 117 17 Seja o operador linear T R² R² definido por Txy x y 3x 2y e as bases B 1 1 1 1 e B 1 3 1 4 do espaço vetorial R² Qual a matriz de transformação linear TBB Assinale a alternativa correta a TBB 37 17 117 17 b TBB 37 17 117 17 c TBB 37 17 117 17 O conjunto B é Linearmente Independente LI Escolher T é sobrejetora Escolher O conjunto B é base para Im T Escolher ImTB Escolher Questão 5 Ainda não respondida Vale 1200 pontos Seja a Transformação Linear T P₂R M₂R definida por Tabc ab 2a c 3c b e o conjunto B 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 Assinale VerdadeiroV ou FalsoF na seguintes afirmações O conjunto B é Linearmente Dependente LI Escolher T é sobrejetora Escolher O conjunto B é base para Im T Escolher NT 0 b b b R em que NT é o núcleo de T T é injetora O conjunto B 0 1 1 é base para Núcleo de T Questão 4