Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial: Trabalho, Teorema de Green e Integrais de Linha

Calcule o trabalho realizado pelo campo Fxysenx4xy2x²cosy para mover uma partícula do ponto Pπ0 ao ponto Q0π a 2 b 2 c 1 d 0 e 1 Calcule γFdr onde Fxyx²y²î3xy²ĵ e γ é o círculo x²y²9 a 143π2 b 243π2 c 243π4 d 143π4 Calcule γ 2dxx²ytgydy onde γ x1²y² a π b 2π c π d 0 Quanto vale γx2 y2 ds onde γ é a circunferência x2 y2 4 a 0 b 1 c 2 d 1 Questão 1 Pelo Teorema de Green temos F d r PdxQdy Q x P ydA 3x y 2 x x 2 y 2 y d ydx 3 y 22 y dydx 3 y 22 ydydx Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica 0 2π 0 3 3 y 22 yrdrdθ 0 2π 0 3 3r 2sin 2θ2r sinθrdrdθ 0 2π 0 3 3r 3sin 2θ2r 2sinθdrdθ Calculando obtemos 0 2π 3 4 r 4sin 2θ2 3 r 3sinθ0 3 dθ 0 2π 3 4 3 4sin 2θ2 3 3 3sinθdθ 3 4 3 4 0 2π sin 2θdθ2 3 3 3 0 2π sinθdθ 3 4 3 4 0 2π 1cos2θ 2 dθ2 3 3 30 3 5 4 θ1 2 sin2θ 2 0 2π 3 5 4 2π0 2 243 4 π Questão 2 Passando para coordenadas polares temos x2cost y2sint Logo a integral fica x 2 y 2dsx 2 y 2dx 2dy 2 x 2y 2 dx dt 2 d y dt 2 dt 0 2π 4 cos 2t4 sin 2t d 2cos t dt 2 d2sint dt 2 dt 4 0 2π cos 2tsin 2t2sint 22cost 2dt 4 0 2π cos 2tsin 2t4 sin 2t 4 cos 2t dt 4 0 2π cos2t4 dt 8 0 2π cos2t dt 80 0 Questão 3 Pelo Teorema de Green temos F d r PdxQdy Q x P ydA x 2 y tan y x 2 y dydx x 2 x 0dydx 2 x dydx Passando para coordenadas polares temos x1r cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x1 2 y 2r 2 Logo a integral fica 0 2π 0 1 2 x rdrdθ 0 2π 0 1 22r cosθrdrdθ 0 2π 0 1 2r2r 2cosθdrdθ 0 2π r 2 2 3 r 3cos θ0 1 dθ 0 2π 1 2 3 cosθdθ 0 2π 1dθ 2 3 0 2π cosθ dθ 2π0 2π Questão 4 Note que a força econservativa pois existe uma função potencial tal que F f ou seja f xsin x4 xy f y 2x 2cos y Integrando ambas equações temos f cos x2 x 2 yh y f 2 x 2 ysin yg x Comparando as funções deduzimos que f cos x2 x 2 ysin y Logo o trabalho é dado por W f f 0 π f π 0 cos00sin π cos π0sin0 1sin π 1 sin0 10 10 2 No text extracted Questão 1 Pelo Teorema de Green temos 𝐹 𝑑𝑟 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦𝑑𝐴 3𝑥𝑦2 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 3𝑦2 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 3𝑦2 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 3𝑦2 2𝑦𝑟𝑑𝑟 3 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 3𝑟2 sin2 𝜃 2𝑟 sin 𝜃𝑟𝑑𝑟 3 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 3𝑟3 sin2 𝜃 2𝑟2 sin 𝜃𝑑𝑟 3 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 Calculando obtemos 3 4𝑟4 sin2 𝜃 2 3 𝑟3 sin𝜃 0 3 𝑑𝜃 2𝜋 0 3 434 sin2 𝜃 2 3 33 sin 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 3 4 34 sin2 𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 2 3 33 sin𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 3 4 34 1 cos 2𝜃 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 2 3 33 0 35 4 𝜃 1 2 sin 2𝜃 2 0 2𝜋 35 4 2𝜋 0 2 𝟐𝟒𝟑 𝟒 𝝅 Questão 2 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 2 cos 𝑡 𝑦 2 sin 𝑡 Logo a integral fica 𝑥2 𝑦2𝑑𝑠 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 4 cos2 𝑡 4 sin2 𝑡𝑑 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑 2 sin 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2𝜋 0 4 cos2 𝑡 sin2 𝑡2 sin𝑡2 2 cos 𝑡2𝑑𝑡 2𝜋 0 4 cos2 𝑡 sin2 𝑡4 sin2 𝑡 4 cos2 𝑡 𝑑𝑡 2𝜋 0 4 cos 2𝑡4𝑑𝑡 2𝜋 0 8 cos 2𝑡𝑑𝑡 2𝜋 0 8 0 0 Questão 3 Pelo Teorema de Green temos 𝐹 𝑑𝑟 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦𝑑𝐴 𝑥2 𝑦 tan 𝑦 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2 𝑥 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 1 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥 12 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 2𝑥𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2 2𝑟 cos 𝜃𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝑟 2𝑟2 cos 𝜃𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟2 2 3 𝑟3 cos 𝜃 0 1 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 2 3 cos 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 1𝑑𝜃 2𝜋 0 2 3 cos 𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 0 2𝜋 Questão 4 Note que a força econservativa pois existe uma função potencial tal que 𝐹 𝑓 ou seja 𝑓 𝑥 sin 𝑥 4𝑥𝑦 𝑓 𝑦 2𝑥2 cos 𝑦 Integrando ambas equações temos 𝑓 cos 𝑥 2𝑥2𝑦 ℎ𝑦 𝑓 2𝑥2𝑦 sin 𝑦 𝑔𝑥 Comparando as funções deduzimos que 𝑓 cos 𝑥 2𝑥2𝑦 sin𝑦 Logo o trabalho é dado por 𝑊 𝑓 𝑓0 𝜋 𝑓𝜋 0 cos 0 0 sin𝜋 cos 𝜋 0 sin0 1 sin𝜋 1 sin0 1 0 1 0 2 No text extracted