Exercícios Resolvidos - Econometria - Modelo de Regressão Linear e Variáveis Instrumentais

1 Considere o modelo de regressão linear dado por yXβε Assuma que todas as hipóteses do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas exceto a hipótese de exogeneidade estrita dos regressores Assuma que EεXη e que plim 1nXᵀεγ a Mostre que o estimador de MQO nesse caso é viesado e inconsistente b Construia um estimador consistente para β 2 Considere o modelo linear yiαβxiεi em que Covxiεiγ0 Seja z uma variável instrumental para esse modelo Assuma também que z é binária ou seja assume apenas valores 1 e 0 Mostre as formas algébricas do estimador de MQO e do estimador de VI para α e β 3 Griliches 1976 faz um estudo dos salários de uma amostra de 758 homens jovens Nesse estudo clássico é estimada a seguinte equação de regressão lwiβ0β1iqiβ2siβ3expriβ4tenureiβ5rnsiβ6smsaidummiesεi em que lw é o log dos salários s são anos de escolaridade expr é experiência tenure está relacionada a job tenure o tempo médio que o trabalhador trabalhou para o mesmo empregador rns é um indicador de residência no Sul smsa é um indicador de área urbana ou rural e iq é o score de QI do trabalhador considerado um regressor endógeno porque é uma proxy para habilidade que potencialmente apresenta erro de medida Como os dados são um conjunto de cross sections empilhados a regressão inclui uma variável dummy para cada ano O score de QI é instrumentado com quatro variáveis med o nível de educacao da mãe kww o score em um outro teste padronizado age a idade do trabalhador e mrt um indicador de status marital a Defina o conjunto de instrumentos para a estimação do modelo acima pelo método de Mínimos Quadrados de 2 Estágios MQ2E b Explique o procedimento de estimação por MQ2E do modelo acima 1 Utilizando a base de dados de Griliches 1976 estime o modelo de regressão especificado acima empregando o método de Mínimos Quadrados de 2 Estágios MQ2E e interprete os resultados Com base nos resultados da regressão do primeiro estágio é possível afirmar que os 4 instrumentos utilizados são bons instrumentos Lembrese da definição de instrumento 2 Após a estimação do item 1 realize o teste de Sargan ou teste de sobreidentificação para verificar se os instrumentos são válidos e o modelo está bem especificado A H0 do teste é de que os instrumentos são não correlacionados com os erros A rejeição de H0 implica que os instrumentos não são válidos ou o modelo não está corretamente especificado RESOLUÇÃO Questão 1 Letra a Em um modelo de MQO para um estimador é considerado não viesado se somente se E ϵx 0 Visto que no modelo a E ϵx η Isso implica que o estimador β será não viesado Por outro lado para o parâmetro estimado ser consistente é preciso que LimnVar ϵ x σ 2 Isso significa que os resíduos têm que ter variância constante e igual o que também não é satisfeito pelo modelo visto que o modelo não satisfez esse pressuposto logo podemos considerar que β não será consistente Letra b Podemos encontrar o parâmetro estimado β pelo modelo de regressão linear generalizado RLG que possibilita relacionar a média da variável resposta à uma combinação linear com a variável explicativa através da função de ligação η Questão 2 Dado o modelo de regressão linear pelo método de MQO os parâmetros podem ser estimados das seguintes fórmulas β i1 n xi yin x y i1 n xi 2n x 2 αyβ x Também podemos estimar os parâmetros através do cálculo Matricial Considere βi α β assim podemos estimar os parâmetros da seguinte formula βi X X 1 X Y Onde X é uma matriz Nx2ondea primeirocoluna é sode1e asegundo coluna sãoas observaçõesde xi X é amatriztransposta damatriz X X X é amultiplica çã omatricialentre a X e X X X 1representaa funçã oinversade X X Y é umamatriz Nx1onde contemas observaçõsdeY X Y é amultiplicaçã odasmatrizes X eY Além disso temos z que é a variável instrumental binária e está relacionada a x através da seguinte equação xiγ0γ 1 z1ui Onde γ 0 e γ 1 são os parâmetros desta equação e ui é o erro β VI Z X 1Z Y Z IPZ X Onde Z é amatriztransposta de Z I matriz Identidade PZ é amatriz de projeçã ode Z emX Questão 3 Letra a Para definir o instrumento de estimação do modelo é necessário encontrar variáveis explicativas que não são indicadas no modelo mas que de alguma forma afetam tanto a educação quanto os salários O objetivo é corrigir o viés introduzido pela omissão dessas variáveis na equação de regressão Para isso o autor propôs as seguintes variáveis instrumentais med kww age mrt como variáveis endógenas da variável instrumental iq Letra b Primeiro estágio Estimar as variáveis instrumentais em uma regressão utilizando as variáveis explicativas endógenas como variáveis dependentes e as variáveis instrumentais como variáveis independentes ou seja será realizado o seguinte modelo i qiγ0γ1medγ2kwwγ3ageγ 4mrtui Segundo estágio Utilizar os valores previstos das variáveis endógenas juntamente com as demais variáveis explicativas para estimar o modelo por MQO Questão 4 Estágio 1 Considerando um nível de significância de 5 temos que a variável AGE não é significativa no modelo logo não há evidências suficiente que a variável AGE influência em IQ Estágio 2 Com 5 de significância temos que a variável instrumental QI foi significativa para o modelo logo a cada aumento em uma unidade de QI esperase que o log dos salários aumente cerca de 00082 unidades de medida Nas demais variáveis temse que a variável explicativa SMSA não foi significativa logo suas variações não explicam a variabilidade da variável dependente Questão 5 Como o pvalor do teste foi menor que 005 então com 5 de significância rejeitase a hipótese nula logo podese considerar que que os instrumentos utilizados não foram validos