Integrais Duplas e Triplas: Aplicações em Geologia e Cálculo de Volumes

15 Integrais Múltiplas Os geólogos estudam como as cadeias de montanhas foram formadas e estimam o trabalho necessário para eleválas em relação ao nível do mar Na Seção 158 é solicitado que você use a integral tripla para calcular o trabalho realizado na formação do Monte Fuji no Japão Pichugin DmitryShutterstock Neste capítulo estendemos a ideia de integrais definidas para integrais duplas e triplas de funções de duas ou três variáveis Essas ideias serão usadas para calcular volumes áreas de superfícies massas e centroides de regiões mais gerais do que as consideradas nos Capítulos 6 e 8 no Volume I Usaremos também as integrais duplas para calcular probabilidades quando duas variáveis aleatórias estiverem envolvidas Veremos que as coordenadas polares são úteis no cálculo de integrais duplas em alguns tipos de região De modo parecido introduziremos dois novos sistemas de coordenadas no espaço tridimensional coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas que simplificam muito o cálculo de integrais triplas em certas regiões sólidas que ocorrem frequentemente 151 Integrais Duplas sobre Retângulos A tentativa de resolvermos o problema de determinar áreas nos levou à definição de integral definida Aplicaremos um procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e este processo nos levará à definição de integral dupla Revisão da Integral Definida Antes de tudo vamos relembrar os fatos básicos relativos à integral definida de funções de uma variável real Se fx é definida em a x b começamos subdividindo o intervalo a b em n subintervalos xi1 xi de comprimento igual Δx b an e escolhemos pontos de amostragem xi em cada um desses subintervalos Assim formamos a soma de Riemann 1 i1n fxi Δx e tomamos o limite dessa soma quando n para obter a integral definida de a até b da função f 2 ab fx dx limn i1n fxi Δx No caso especial em que fx 0 a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma das áreas dos retângulos aproximadores da Figura 1 e ba fx dx representa a área sob a curva y fx de a até b FIGURA 1 Volumes e Integrais Duplas De modo semelhante vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R a b c d x y ℝ2 a x b c y d e vamos inicialmente supor que fx y 0 O gráfico de f é a superfície com equação z fx y Seja S o sólido que está acima da região R e abaixo do gráfico de f isto é S x y z ℝ3 0 z fx y x y R Veja a Figura 2 Nosso objetivo é determinar o volume de S O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em subretângulos Faremos isso dividindo o intervalo a b em m subintervalos xi1 xi de mesmo comprimento Δx b am e dividindo o intervalo c d em n subintervalos yj1 yj de mesmo comprimento Δy d cn Traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelas extremidades dos subintervalos como na Figura 3 formamos os subretângulos FIGURA 2 Rij xi1 xi yj1 yj x y xi1 x xi yj1 y yj cada um dos quais com área ΔA Δx Δy FIGURA 3 Dividindo R em subretângulos Se escolhermos um ponto arbitrário que chamaremos ponto de amostragem xij yij em cada Rij poderemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina ou coluna com base Rij e altura fxij yij como mostrado na Figura 4 Compare com a Figura 1 O volume dessa caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base fxij yij ΔA Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes obteremos uma aproximação do volume total de S 3 V i1m j1n fxij yij ΔA Veja a Figura 5 Essa soma dupla significa que para cada subretângulo calculamos o valor de f no ponto escolhido multiplicamos esse valor pela área do subretângulo e então adicionamos os resultados FIGURA 4 FIGURA 5 Nossa intuição diz que a aproximação dada em 3 melhora quando aumentamos os valores de m e n e portanto devemos esperar que O significado do limite duplo na Equação 4 é que podemos tornar a somatória dupla tão próxima quanto desejarmos do número V para qualquer escolha de xij yij em Rij tomando m e n suficientemente grandes V lim mn i1m j1n fxij yij ΔA Usamos a expressão da Equação 4 para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está abaixo do gráfico de f e acima do retângulo R Podese mostrar que essa definição é coerente com nossa fórmula de volume da Seção 62 Limites do tipo que aparecem na Equação 4 ocorrem muito frequentemente não somente quando estamos determinando volumes mas também em diversas outras situações como será visto na Seção 155 mesmo f não sendo uma função positiva Assim faremos a seguinte definição Definição A integral dupla de f sobre o retângulo R é R fxy dA lim mn i1m j1n fxij yij ΔA se esse limite existir O significado preciso do limite da Definição 5 é que para todo ε 0 existe um inteiro N tal que R fxy dA i1m j1n fxij yij ΔA ε para todos os inteiros m e n maiores que N e para qualquer escolha de xij yij em Rij Uma função f é dita integrável se o limite na Definição 5 existir É mostrado em cursos de cálculo avançado que todas as funções contínuas são integráveis Na realidade a integral dupla de f existe contanto que f não seja descontínua demais Em particular se f for limitada isto é existe uma constante M tal que fxy M para todo xy em R e se f for contínua ali exceto em um número finito de curvas suaves então f é integrável em R O ponto de amostragem xij yij pode ser tomado como qualquer ponto no subretângulo Rij porém se o escolhermos como o canto superior direito de Rij ou seja xi yj veja a Figura 3 a expressão da soma dupla ficará mais simples R fxy dA lim mn i1m j1n fxi yj ΔA Comparando as Definições 4 e 5 vemos que o volume pode ser escrito como uma integral dupla Se fxy 0 então o volume V do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z fxy é V R fxy dA A soma na Definição 5 i1m j1n fxij yij ΔA é chamada soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximação do valor da integral dupla Observe a semelhança dessa soma com a de Riemann em 1 para funções de uma única variável Se f for uma função positiva então a soma dupla de Riemann representa a soma dos volumes das colunas como na Figura 5 e é uma aproximação do volume abaixo do gráfico de f EXEMPLO 1 Estime o volume do sólido que está acima do quadrado R 0 2 0 2 e abaixo do paraboloide elíptico z 16 x² 2y² Divida R em quatro quadrados iguais e escolha o ponto de amostragem como o canto superior direito de cada quadrado Rij Faça um esboço do sólido e das caixas retangulares aproximadoras SOLUÇÃO Os quadrados estão ilustrados na Figura 6 O paraboloide elíptico é o gráfico de fxy 16 x² 2y² e a área de cada quadrado é ΔA 1 Aproximando o volume pela soma de Riemann com m n 2 temos V i12 j12 fxi yj ΔA f11 ΔA f12 ΔA f21 ΔA f22 ΔA 131 71 101 41 34 Esse é o volume das caixas aproximadoras mostradas na Figura 7 Obtemos melhores aproximações do volume no Exemplo 1 quando aumentamos o número de quadrados A Figura 8 mostra como as colunas começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16 64 e 256 quadrados Na próxima seção mostraremos que o volume exato é 48 EXEMPLO 2 Se R xy 1 x 1 2 y 2 calcule a integral R 1 x² dA SOLUÇÃO Seria muito difícil calcular a integral diretamente da Definição 5 mas como 1 x² 0 podemos calcular a integral interpretandoa como um volume Se z 1 x² então x² z² 1 e z 0 logo a integral dupla dada representa o volume do sólido S que está abaixo do cilindro circular x² z² 1 e acima do retângulo R Veja a Figura 9 O volume de S é a área de um semicírculo com raio uma vez o comprimento do cilindro Portanto R 1 x² dA 12 π1² 4 2π A Regra do Ponto Médio Os métodos usados para aproximar as integrais de funções de uma variável real a Regra do Ponto Médio a Regra dos Trapézios a Regra de Simpson têm seus correspondentes para integrais duplas Consideraremos aqui somente a Regra do Ponto Médio para integrais duplas Isso significa que usaremos a soma dupla de Riemann para aproximar a integral dupla na qual o ponto de amostragem xij yij em Rij é tomado como o ponto central xi yj de Rij Em outras palavras xi é o ponto médio de xi1 xi e yj é o ponto médio de yj1 yj Regra do Ponto Médio para Integrais Múltiplas R fxy dA i1m j1n fxi yj ΔA onde xi é o ponto médio de xi1 xi e yj é o ponto médio de yj1 yj EXEMPLO 3 Use a Regra do Ponto Médio com m n 2 para estimar o valor da integral R x 3y² dA onde R xy 0 x 2 1 y 2 SOLUÇÃO Usando a Regra do Ponto Médio com m n 2 calcularemos fxy x 3y² no centro dos quatro subretângulos mostrados na Figura 10 Logo x1 12 x2 32 y1 54 e y2 74 A área de cada subretângulo é ΔA 12 Assim R x 3y² dA i12 j12 fxi yj ΔA fx1 y1 ΔA fx1 y2 ΔA fx2 y1 ΔA fx2 y2 ΔA f12 54 ΔA f12 74 ΔA f32 54 ΔA f32 74 ΔA 671612 1391612 511612 1231612 958 11875 Portanto temos R x 3y² dA 11875 OBSERVAÇÃO Na próxima seção desenvolveremos um processo eficiente para calcular integrais duplas e veremos que o valor exato da integral dupla do Exemplo 3 é 12 Lembrese de que a interpretação da integral dupla como volume só é válida quando a função f é uma função positiva O integrando no Exemplo 3 não é uma função positiva dessa forma a integral dupla não é um volume Nos Exemplos 2 e 3 na Seção 152 discutiremos como interpretar integrais de uma função que não é sempre positiva em termos de volumes Se continuarmos dividindo cada subretângulo da Figura 10 em quatro menores todos com a mesma forma obteremos as aproximações pela Regra do Ponto Médio exibidas no gráfico na margem Observe como esses valores estão se aproximando do valor exato da integral dupla 12 Valor Médio Na Seção 65 no Volume I mostramos que o valor médio de uma função f de uma variável definida em um intervalo ab é fmed 1b a ab fx dx De modo semelhante definimos o valor médio de uma função f de duas variáveis em um retângulo R contido em seu domínio como fmed 1AR R fxy dA onde AR é a área de R Se fx y 0 a equação AR fmed R fx y dA diz que a caixa com base R e altura fmed tem o mesmo volume que o sólido sob o gráfico de f Se z fx y descreve uma região montanhosa e você corta os topos dos morros na altura fmed então pode usálos para encher os vales de forma a tornar a região completamente plana Veja a Figura 11 EXEMPLO 4 O mapa de contorno na Figura 12 mostra a precipitação de neve em polegadas no estado do Colorado em 20 e 21 de dezembro de 2006 O Estado tem a forma de um retângulo que mede 388 milhas de Oeste a Leste e 276 milhas do Sul ao Norte Use o mapa de contorno para estimar a queda de neve média em todo o Estado do Colorado naqueles dias FIGURA 11 FIGURA 12 SOLUÇÃO Vamos colocar a origem no canto sudoeste do estado Então 0 x 388 0 y 276 e fx y é a queda de neve em polegadas no local x milhas para leste e y milhas para norte da origem Se R é o retângulo que representa o estado do Colorado então a precipitação média de neve no Colorado em 20 e 21 de dezembro foi fmed 1AR R fx y dA onde AR 388 276 Para estimarmos o valor dessa integral dupla vamos usar a Regra do Ponto Médio com m n 4 Em outras palavras dividimos R em 16 subretângulos de tamanhos iguais como na Figura 13 A área de cada subretângulo é ΔA 116 388276 6 693 mi² FIGURA 13 Usando o mapa de contorno para estimar o valor de f no ponto central de cada subretângulo obtemos R fx y dA i14 j14 fxi yj ΔA ΔA0 15 8 7 2 25 185 11 45 28 17 135 12 15 175 13 6 693207 Logo fmed 6 693207388276 129 Em 20 e 21 de dezembro de 2006 o Colorado recebeu uma média de aproximadamente 13 polegadas de neve Propriedades das Integrais Duplas Listaremos aqui três propriedades das integrais duplas que podem ser demonstradas como na Seção 52 no Volume I Admitiremos que todas as integrais existam As Propriedades 7 e 8 são conhecidas como linearidade da integral Integrais duplas se comportam assim porque as somas duplas que as definem se comportam dessa forma 7 R fx y gx y dA R fx y dA R gx y dA 8 R c fx y dA c R fx y dA onde c é uma constante Se fx y gx y para todo x y em R então 9 R fx y dA R gx y dA 151 Exercícios 1 a Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z xy e acima do retângulo R x y 0 x 6 0 y 4 Utilize a soma de Riemann com m 3 n 2 e tome como ponto de amostragem o canto superior direito de cada subretângulo b Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do sólido da parte a 2 Se R 0 4 1 2 use a soma de Riemann com m 2 n 3 para estimar o valor de R 1 xy² dA Tome os pontos de amostragem como a os cantos inferiores direitos e b como os cantos superiores esquerdos dos retângulos 3 a Use uma soma de Riemann com m n 2 para estimar o valor de R xexy dA onde R 0 2 0 1 Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores direitos b Use a Regra do Ponto Médio para dar uma estimativa da integral do item a 4 a Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z 1 x² 3y e acima do retângulo R 1 2 0 3 Use a soma de Riemann com m n 2 e escolha os pontos de amostragem como os cantos inferiores esquerdos b Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do item a 5 É dada a tabela de valores de uma função f x y definida em R 0 4 2 4 a Estime R fx y dA utilizando a Regra do Ponto Médio com m n 2 b Estime a integral dupla com m n 4 escolhendo como pontos de amostragem os pontos mais próximos da origem yx 20 25 30 35 40 0 3 5 6 4 1 1 1 2 3 1 1 2 1 0 1 1 4 3 2 2 1 3 7 4 3 4 2 5 9 6 Uma piscina de 8 por 12 metros está cheia de água A profundidade é medida em intervalos de 2 metros começando em um canto da piscina e os valores foram registrados na tabela Estime o volume de água na piscina 0 2 4 6 8 10 12 0 1 15 2 24 28 3 3 2 1 15 2 28 3 36 3 4 1 18 27 3 36 4 32 6 1 15 2 23 27 3 25 8 1 1 1 1 15 2 2 7 Seja V o volume do sólido que está abaixo do gráfico de fx y 52 x² y² e acima do retângulo dado por 2 x 4 2 y 6 Usamos as retas x 3 e y 4 para dividir R em subretângulos Sejam L e U as somas de Riemann calculadas utilizando como pontos de amostragem os cantos inferiores esquerdos e os cantos superiores direitos respectivamente Sem calcular os números V L e U coloqueos em ordem crescente de valor e explique seu raciocínio 8 A figura mostra curvas de nível da função f no quadrado R 0 2 0 2 Use a Regra do Ponto Médio com m n 2 para estimar R fx y dA Como você melhoraria sua estimativa y 4 5 6 7 3 1 2 1 0 1 2 x 9 A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R 0 4 0 4 a Use a Regra do Ponto Médio com m n 2 para estimar o valor de R fx y dA b Estime o valor médio de f y 4 0 0 10 10 20 30 2 10 20 30 0 2 4 x 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom 10 O mapa de contorno mostra a temperatura em graus Fahrenheit às 4 horas da tarde do dia 26 de fevereiro de 2007 no Estado do Colorado O Estado mede 388 milhas de Leste a Oeste e 276 milhas de norte a sul Utilize a Regra do Ponto Médio com m n 4 para estimar a temperatura média do Colorado nessa hora 1113 Calcule a integral dupla identificandoa antes com o volume de um sólido 3 cd ab fx y dx dy cd ab fx y dx dy significa que primeiro integramos com relação a x fixando y de x a a x b e em seguida integramos a função de y resultante com relação a y de y c a y d Observe que em ambas as Equações 2 e 3 trabalhamos de dentro para fora EXEMPLO 1 Calcule o valor das integrais iteradas a 03 12 x2 y dy dx b 12 03 x2 y dx dy SOLUÇÃO a Olhando x como constante obtemos 12 x2 y dy x2 y2 2 y12 x2 222 x2 122 32 x2 Portanto a função A da discussão precedente é dada por Ax 32 x2 neste exemplo Integramos agora essa função de x de 0 até 3 03 12 x2 y dy dx 03 12 x2 y dy dx 03 32 x2 dx x3 2 03 27 2 b Aqui integraremos primeiro em relação a x 12 03 x2 y dx dy 12 03 x2 y dx dy 12 x3 3 y x03 dy 12 9 y dy 9 y2 2 12 272 Observe que no Exemplo 1 obtemos a mesma resposta se integrarmos primeiro em relação a y ou a x Em geral acontece veja o Teorema 4 de as duas integrais iteradas das Equações 2 e 3 serem sempre iguais ou seja a ordem da integração não é importante Isso é semelhante ao Teorema de Clairaut sobre as igualdades das derivadas parciais mistas O seguinte teorema fornece um método prático para calcular uma integral dupla expressandoa como uma integral iterada em qualquer ordem 4 Teorema de Fubini Se f for contínua no retângulo R xy a x b c y d então R fx y dA ab cd fx y dy dx cd ab fx y dx dy De modo mais geral esse resultado vale se supusermos que f seja limitada em R f tenha descontinuidades apenas em um número finito de curvas suaves e que a integral iterada exista O Teorema 4 tem o nome do matemático italiano Guido Fubini 1879 1943 que demonstrou uma versão geral desse teorema em 1907 Mas a versão para as funções contínuas era conhecida pelo menos um século antes pelo matemático francês AugustinLouis Cauchy A demonstração do Teorema de Fubini foge ao escopo deste livro mas podemos ao menos fornecer uma justificativa razoável de sua validade quando fx y 0 Lembremos que se f é positiva podemos interpretar a integral dupla R fx y dA como o volume V do sólido S que está acima de R e abaixo da superfície z fx y Contudo temos outra fórmula usada para calcular volume vista no Capítulo 6 no Volume I que é V ab Ax dx onde Ax é a área da seção transversal de S em um plano x perpendicular ao eixo x Você pode ver a partir da Figura 1 que Ax é a área abaixo da curva C cuja equação é z fx y onde x é mantido constante e c y d Portanto Ax cd fx y dy e temos R fx y dA V ab Ax dx ab cd fx y dy dx Uma argumentação semelhante usando a seção transversal perpendicular ao eixo y como na Figura 2 mostra que R fx y dA cd ab fx y dx dy EXEMPLO 2 Calcule a integral dupla R x 3 y2 dA onde R x y 0 x 2 1 y 2 Compare com o Exemplo 3 da Seção 151 SOLUÇÃO 1 O Teorema de Fubini nos dá R x 3 y2 dA 02 12 x 3 y2 dy dx 02 x y y3 y12 dx 02 x 7 dx x22 7 x 02 12 SOLUÇÃO 2 Novamente aplicando o Teorema de Fubini mas dessa vez integrando com relação a x primeiro temos R x 3 y2 dA 12 02 x 3 y2 dx dy 12 x2 2 3 x y2 x02 dy 12 2 6 y2 dy 2 y 2 y3 12 12 EXEMPLO 3 Calcule R y sen xy dA onde R 1 2 0 π SOLUÇÃO 1 Se integrarmos primeiro em relação a x obteremos R y senx y dA 0π 12 y senx y dx dy 0π cos x y x12 dy 0π cos 2 y cos y dy 12 sen 2 y sen y 0π 0 SOLUÇÃO 2 Se invertermos a ordem de integração obteremos R y senx y dA 12 0π y sen x y dy dx Para calcularmos a integral interna usamos a integração por partes com u y dv senxy dy du dy v cosxyx e então ₀π y senxy dy y cosxyx y0π 1x ₀π cosxy dy π cos πxx 1x² senxyy0π π cos πxx sen πxx² Se agora integrarmos o primeiro termo por partes com u 1x e dv π cos πx dx obtemos du dxx² v sen πx e π cos πxx dx sen πxx sen πxx² dx Logo π cos πxx sen πxx² dx sen πxx e assim ₀1 ₀y y senxy dy dx sen πxx₀¹ sen 2π2 sen π 0 EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido S que é limitado pelo paraboloide elíptico x² 2y² z 16 pelos planos x 2 e y 2 e pelos três planos coordenados SOLUÇÃO Observemos primeiro que S é o sólido que está abaixo da superfície z 16 x² 2y² e acima do quadrado R 0 2 0 2 Veja a Figura 5 Esse sólido foi considerado no Exemplo 1 da Seção 151 mas agora temos condições de calcular a integral dupla usando o Teorema de Fubini Portanto V R 16 x² 2y² dA ₀² ₀² 16 x² 2y² dx dy ₀² 16x 13 x³ 2y²x₀x2 dy ₀² 883 4y² dy 883 y 43 y³₀² 48 No caso especial em que fx y pode ser fatorado como o produto de uma função só de x por uma função só de y a integral dupla de f pode ser escrita de forma particularmente simples Para sermos específicos suponha que fx y gxhy e R a b c d Então o Teorema de Fubini nos dá R fx y dA cd gxhy dx dy cd ab gxhy dx dy Na integral interna y é uma constante então hy é uma constante e podemos escrever cd ab gxhy dx dy cd hyab gx dx dy ab gx dx cd hy dy já que ab gx dx é uma constante Portanto nesse caso a integral dupla de f pode ser escrita como o produto de duas integrais unidimensionais Para uma função f com valores positivos e negativos V1 fx y dA é a diferença dos volumes V1 V2 onde V1 é o volume acima de R e abaixo do gráfico de f e V2 é o volume abaixo de R e acima do gráfico O fato de a integral do Exemplo 3 ser 0 significa que os dois volumes V1 e V2 são iguais Veja a Figura 4 FIGURA 4 No Exemplo 2 as Soluções 1 e 2 são igualmente simples mas no Exemplo 3 a primeira solução é muito mais simples que a segunda Portanto ao calcular uma integral dupla é recomendável escolher a ordem de integração que forneça integrais mais simples FIGURA 5 R gx hy dA ab gx dx cd hy dy onde R a b c d EXEMPLO 5 Se R 0 π2 0 π2 então pela Equação 5 R sen x cos y dA ₀π2 sen x dx ₀π2 cos y dy cos x0π2 sen y0π2 1 1 1 A função fx y sen x cos y do Exemplo 5 é positiva em R assim a integral representa o volume do sólido que está acima de R e entre o gráfico de f como mostrado na Figura 6 FIGURA 6 152 Exercícios 12 Determine ₀5 fx y dx e ₀1 fx y dy 1 fx y 12 x² y³ 2 fx y y xey 314 Calcule a integral iterada 3 ₀4 ₀² 6x² 2x dy dx 4 ₀1 ₁² 4x³ 9x² y² dy dx 5 ₀π2 ₀y x sen y dy dx 6 π6π2 15 cos y dx dy 7 ³3 ₀π2 y y² cos x dx dy 8 ₀1 ₂³ xexy dy dx 9 ₀1 ₀² xx yx dy dx 10 ₀1 ₀³ ex3y dx dy 11 ₀1 ₀1 vu v⁴ du dv 12 ₀1 ₀1 xyx² y² dy dx 13 ₀² ₀² r sen² θ dθ dr 14 ₀1 ₀1 s t ds dt 1522 Calcule a integral dupla 15 R senx y dA R x y 0 x π2 0 y π2 16 R y xy² dA R x y 0 x 2 1 y 2 17 R xy²x² dA R x y 0 x 1 3 y 3 18 R 1 x²1 y² dA R x y 0 x 1 0 y 1 19 R x senx y dA R 0 π6 0 π3 20 R x1 xy dA R 0 1 0 1 21 R yeˣ dA R 0 2 0 3 22 R 11 x y dA R 1 3 1 2 2324 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada 23 ₀1 ₀¹ 4 x 2y dx dy 24 ₀1 ₁1 2 x² y² dy dx 25 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x 6y 2z 15 0 e acima do retângulo R x y 1 x 2 1 y 1 26 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z 3y² x² 2 e acima do retângulo R 1 1 2 2 27 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x²4 y²9 z 1 e acima do retângulo R 1 1 2 2 28 Determine o volume do sólido limitado pela superfície z 1 ex sen y e pelos planos x 1 y 0 y π e z 0 29 Determine o volume do sólido limitado pela superfície z x sec² y e pelos planos z 0 x 2 y 0 e y π4 30 Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z 16 x² e pelo plano y 5 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica 31 Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z 2 x² y 2² e pelos planos z 1 x 1 x 1 y 0 e y 4 32 Desenhe o sólido que está entre a superfície z 2xyx² 1 e o plano z x 2y e é limitado pelos planos x 0 x 2 y 0 e y 4 A seguir determine seu volume 33 Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral R x⁵ y³ exy dA onde R 0 1 0 1 Em seguida use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela integral 34 Desenhe o sólido contido entre as superfícies z eˣ cosx² y² e z 2 x² y² para x 1 y 1 Utilize um sistema de computação algébrica para aproximar o volume desse sólido até a quarta casa decimal 3536 Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado 35 fx y x² y R possui vértices 10 1 5 1 5 1 0 36 fx y ex ey R 0 4 0 1 3738 Utilize a simetria para calcular a integral dupla 37 R xy1 x⁴ dA R x y 1 x 1 0 y 1 38 R 1 x² sen y y² sen x dA R π π π π 39 Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas ₀1 ₀x x yx y³ dy dx e ₀1 ₀1 x yx y³ dx dy Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini Explique o que acontece 40 a Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes b Se fx y é contínuo em a b c d e gx y ax cy fs t dt ds para a x b c y d mostre que gxy gyx fx y 153 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Para as integrais de funções de uma variável real a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo Porém para integrais duplas queremos integrar a função f não somente sobre retângulos como também sobre uma região D de forma mais geral como a ilustrada na Figura 1 Vamos supor que D seja uma região limitada o que significa que D pode estar contida em uma região retangular R como na Figura 2 Definimos então uma nova função F com domínio R por Fx y fx y se x y está em D 0 se x y está em R mas não em D Se F for integrável em R então definimos a integral dupla de f em D por D fx y dA R Fx y dA onde F é dada pela Equação 1 A Definição 2 faz sentido porque R é um retângulo e portanto R Fx y dA já foi definida na Seção 151 O procedimento usado é razoável pois os valores de Fx y são 0 quando gráfico de F D y x FIGURA 4 D FIGURA 5 Algumas regiões do tipo I FIGURA 6 y g2x y g1x D y g2x y g1x D y g2x y g1x D x a b x a b x a b y d c y g2x y g1x D x a b x a b y d c y g2x y g1x D x a b x a b x y está fora de D e dessa forma não contribuem para o valor da integral Isso significa que não importa qual o retângulo R tomado desde que contenha D No caso em que f x y 0 podemos ainda interpretar fx y dA como o volume do sólido que está acima de D e abaixo da superfície z f x y o gráfico de f Você pode constatar que isso é razoável comparando os gráficos de f e F nas Figuras 3 e 4 e lembrando que F x y dA é o volume abaixo do gráfico de F A Figura 4 mostra também que F provavelmente tem descontinuidades nos pontos de limite de D Apesar disso se f for contínua em D e se a curva limite de D for comportada em um sentido que está fora do escopo deste livro então pode ser mostrado que F x y dA existe e portanto f x y dA existe Em particular esse é o caso para os dois tipos de regiões listados a seguir Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de x ou seja D x y a x b g1x y g2x onde g1 e g2 são contínuas em a b Alguns exemplos de regiões do tipo I estão mostrados na Figura 5 Para calcularmos f x y dA quando D é do tipo I escolhemos um retângulo R a b c d que contenha D como na Figura 6 e consideramos a função F definida na Equação 1 ou seja F coincide com f em D e F é 0 fora da região D Então pelo Teorema de Fubini f x y dA F x y dA ab cd F x y dy dx Observe que F x y 0 se y g1x ou y g2x porque x y está fora da região D Portanto cd F x y dy g1xg2x F x y dy g1xg2x f x y dy porque F x y f x y quando g1x y g2x Portanto temos a seguinte fórmula que nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada 3 Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que D x y a x b g1x y g2x então f x y dA ab g1xg2x f x y dy dx A integral do lado direito de 3 é uma integral iterada semelhante às consideradas na seção anterior exceto que na integral de dentro consideramos x constante não só em f x y mas também nos limites de integração g1x e g2x Consideraremos também regiões planas do tipo II que podem ser expressas como 4 D x y c y d h1y x h2y onde h1 e h2 são contínuas Essas duas regiões estão ilustradas na Figura 7 Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer 3 podemos mostrar que 5 f x y dA cd h1yh2y f x y dx dy onde D é uma região do tipo II dada pela Equação 4 FIGURA 7 Algumas regiões do tipo II EXEMPLO 1 Calcule x 2y dA onde D é a região limitada pelas parábolas y 2x2 e y 1 x2 SOLUÇÃO As parábolas se interceptam quando 2x2 1 x2 ou seja x2 1 logo x 1 Observamos que a região D ilustrada na Figura 8 é uma região do tipo I mas não do tipo II e podemos escrever D x y 1 x 1 2x2 y 1 x2 Como o limite inferior é y 2x2 e o superior é y 1 x2 a Equação 3 leva a x 2y dA 11 2x21x2 x 2y dy dx 11 xy y2y2x2y1x2 dx 11 x1 x2 1 x22 x2x2 2x22 dx 11 3x4 x3 2x2 x 1 dx 3 x55 x44 2 x33 x22 x 11 3215 OBSERVAÇÃO Quando escrevemos uma integral dupla como no Exemplo 1 é essencial desenhar um diagrama Frequentemente é útil desenhar uma seta vertical como na Figura 8 Assim os limites de integração da integral de dentro podem ser lidos do diagrama desta forma a seta começa na fronteira inferior y g1x que fornece o extremo inferior da integral e termina na fronteira de cima y g2x que dá o extremo superior de integração Para uma região do tipo II a seta é desenhada horizontalmente da fronteira esquerda para a fronteira direita EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z x2 y2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y 2x e pela parábola y x2 SOLUÇÃO 1 Da Figura 9 vemos que D é uma região do tipo I e D x y 0 x 2 x2 y 2x FIGURA 9 D como uma região do tipo I FIGURA 10 D como uma região do tipo II FIGURA 11 y x2 y 2x z x2 y2 Portanto o volume abaixo de z x2 y2 e acima de D é V D x2 y2 dA 02 x22x x2 y2 dy dx 02 x2 y y33yx2y2x dx 02 x2 2x 2x33 x2 x2 x233 dx 02 x63 x4 14 x33 dx x721 x55 7 x46 02 21635 SOLUÇÃO 2 Da Figura 10 vemos que D pode ser descrita como uma região do tipo II D x y 0 y 4 12 y x y Logo outra expressão para V é V D x2 y2 dA 04 12 yy x2 y2 dx dy 04 x33 y2 xx12 yy dy 04 y323 y52 y324 y32 dy 215 y52 27 y72 1396 y4 04 21635 EXEMPLO 3 Calcule D xy dA onde D é a região limitada pela reta y x 1 pelas parábola y2 2x 6 SOLUÇÃO A região D é mostrada na Figura 12 Novamente D pode ser vista tanto como uma região do tipo I como uma região do tipo II mas a descrição de D como região do tipo I é mais complicada porque o limite inferior é constituído de duas partes Portanto preferimos expressar D como uma região do tipo II D x y 2 y 4 12 y2 3 x y 1 FIGURA 12 a D como uma região do tipo I b D como uma região do tipo II Então 5 dá D xy dA 24 y23y1 xy dx dy 24 x22 yxy23xy1 dy 12 24 y y 12 12 y2 32 dy 12 from 2 to 4 y5 4 4y3 2y2 8y dy 12 y6 24 y4 2 y3 3 4y2 from 2 to 4 36 Se tivéssemos expressado D como uma região do tipo I usando a Figura 12a obteríamos D xy dA from 3 to 1 2x6 to 2x6 xy dy dx from 1 to 5 2x6 to x1 xy dy dx mas isso daria muito mais trabalho que o outro método EXEMPLO 4 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x 2y z 2 x 2y x 0 e z 0 SOLUÇÃO Em uma questão como essa é prudente desenhar dois diagramas um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido se encontra A Figura 13 mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x 0 z 0 pelo plano vertical x 2y e pelo plano x 2y z 2 Como o plano x 2y z 2 intercepta o plano xy cuja equação é z 0 na reta x 2y 2 vemos que T está acima da região triangular D no plano xy limitado pelas retas x 2y x 2y 2 e x 0 Veja a Figura 14 O plano x 2y z 2 pode ser escrito como z 2 x 2y de modo que o volume pedido está sob o gráfico da função z 2 x 2y e acima de D x y 0 x 1 x2 y 1 x2 Portanto V D 2 x 2y dA from 0 to 1 from x2 to 1x2 2 x 2y dy dx from 0 to 1 2y xy y2 from yx2 to y1x2 dx from 0 to 1 2 x 1 x22 1 x22 x x2 2 x2 4 dx from 0 to 1 x2 2x 1 dx x3 3 x2 x from 0 to 1 13 EXEMPLO 5 Calcule a integral iterada from 0 to 1 from x to 1 seny2 dy dx SOLUÇÃO Se tentarmos calcular a integral na forma pela qual ela se apresenta teremos inicialmente de resolver o problema de calcular seny2 dy Mas isso é impossível de fazer em termos finitos uma vez que seny2 dy não é uma função elementar Veja o final da Seção 75 Precisamos então mudar a ordem de integração o que pode ser conseguido escrevendose inicialmente a integral iterada dada como uma integral dupla Usando 3 na ordem inversa temos from 0 to 1 from x to 1 seny2 dy dx D seny2 dA onde D x y 0 x 1 x y 1 Esboçamos essa região D na Figura 15 Então da Figura 16 vemos que um modo alternativo de descrever D é D x y 0 y 1 0 x y FIGURA 13 FIGURA 14 FIGURA 15 D como uma região do tipo I FIGURA 16 D como uma região do tipo II Isso nos permite usar 5 para exprimir a integral dupla como uma integral iterada na ordem reversa from 0 to 1 from x to 1 seny2 dy dx D seny2 dA from 0 to 1 from 0 to y seny2 dx dy from 0 to 1 x seny2 from x0 to xy dy from 0 to 1 y seny2 dy 12 cosy2 from 0 to 1 12 1 cos 1 Propriedades das Integrais Duplas Suponha que todas as seguintes integrais existam As primeiras três propriedades das integrais duplas sobre uma região D seguem imediatamente da Definição 2 desta seção e das Propriedades 7 8 e 9 da Seção 151 6 D fx y gx y dA D fx y dA D gx y dA 7 D cfx y dA c D fx y dA Se fx y gx y para todo x y em R então 8 D fx y dA D gx y dA A próxima propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de uma função de uma variável real dada pela equação a to b fx dx a to c fx dx c to b fx dx Se D D1 D2 onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras veja a Figura 17 então 9 D fx y dA D1 fx y dA D2 fx y dA A Propriedade 9 pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que não sejam nem do tipo I nem do tipo II A Figura 18 ilustra esse procedimento Veja os Exercícios 55 e 56 FIGURA 17 FIGURA 18 a D não é do tipo I nem do tipo II b D D1 D2 D1 é do tipo I D2 é do tipo II A próxima propriedade de integrais diz que se integrarmos a função constante fx y 1 sobre uma região D obteremos a área de D 10 D 1 dA AD A Figura 19 ilustra por que a Equação 10 é verdadeira um cilindro sólido cuja base é D e a altura é 1 tem volume AD 1 AD mas sabemos que também podemos escrever seu volume como D 1 dA Finalmente podemos combinar as Propriedades 7 8 e 10 para demonstrar a seguinte propriedade Veja o Exercício 61 11 Se m fx y M para todo x y em D então mAD D fx y dA MAD EXEMPLO 6 Utilize a Propriedade 11 para estimar a integral D esen x cos y dA onde D é o disco com centro na origem e raio 2 SOLUÇÃO Como 1 sen x 1 e 1 cos y 1 temos 1 sen x cos y 1 e portanto e1 esen x cos y e1 e Assim usando m e1 1e M e e AD π22 na Propriedade 11 obtemos 4π e D esen x cos y dA 4π e 16 Calcule a integral iterada 153 Exercícios 1 from 0 to 4 from 0 to y xy2 dx dy 2 from 0 to 1 from y to 2 x y dy dx 3 from 0 to π from 0 to x 1 2y dy dx 4 from 0 to 2 from y to 2 xy dx dy 5 from 0 to 1 from 0 to s coss3 dt ds 6 from 0 to 1 from 0 to 1 v2 du dv 710 Calcule a integral dupla 7 D y2 dA D x y 1 y 1 y 2 x y 8 D y x5 1 dA D x y 0 x 1 0 y x2 9 D x dA D x y 0 x π 0 y sen x 10 D x3 dA D x y 1 x e 0 y ln x 11 Desenhe um exemplo de uma região que seja a do tipo I mas não do tipo II b do tipo II mas não do tipo I 12 Desenhe um exemplo de uma região que seja a tanto do tipo I quanto do tipo II b nem do tipo I nem do tipo II 1314 Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II Em seguida calcule a integral dupla de duas maneiras 13 D x dA D é limitada pelas retas y x y 0 x 1 14 D xy dA D é limitada pelas curvas y x2 y 3x 1516 Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração Então calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil 15 D y dA D é limitada por y x 2 x y2 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom É necessário usar um sistema de computação algébrica FIGURA 19 Cilindro com base D e altura 1 16 D y2 exy dA D é limitada por y x y 4 x 0 1722 Calcule a integral dupla 17 D x cos y dA D é limitada por y 0 y x2 x 1 18 D x2 2y dA D é limitada por y x y x3 x 0 Mudança para Coordenadas Polares em uma Integral Dupla Se f é contínua no retângulo polar R dado por 0 a r b a θ β onde 0 β a 2π então R fxy dA aβaᵇ fr cos θ r sen θ r dr dθ EXEMPLO 1 Calcule R 3x 4y² dA onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x² y² 1 e x² y² 4 SOLUÇÃO A região R pode ser descrita como R xy y 0 1 x² y² 4 É a metade do anel mostrado na Figura 1b e em coordenadas polares é dado por 1 r 2 0 θ π Portanto pela Fórmula 2 R 3x 4y² dA π01² 3r cos θ 4r² sen²θ r dr dθ π01² 3r² cos θ 4r³ sen²θ dr dθ π0 r³ cos θ r⁴ sen²θ²₁ dr dθ π0 7 cos θ 15 sen²θ dθ π0 7 cos θ 152 1 cos 2θ dθ 7 sen θ 15θ2 154 sen 2θ ₀π 15π2 EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x² y² SOLUÇÃO Se tomarmos z 0 na equação do paraboloide obteremos x² y² 1 Isso significa que o plano intercepta o paraboloide no círculo x² y² 1 e o sólido está abaixo do paraboloide e acima do disco circular D dado por x² y² 1 veja as Figuras 6 e 1a Em coordenadas polares D é dado por 0 r 1 0 θ 2π Como 1 x² y² 1 r² o volume é 19 D y2 dA D é a região triangular com vértices 0 1 1 2 4 1 V D 1 x² y² dA 0²π01 1 r² r dr dθ 0²π dθ 01 r r³ dr 2π r²2 r⁴401 π2 Se trabalhássemos com coordenadas retangulares em vez de coordenadas polares obteríamos V D 1 x² y² dA ¹¹ 1x²1x² 1 x² y² dy dx que não é fácil de calcular pois envolve determinar 1 x²32 dx O que fizemos até aqui pode ser estendido para tipos de região mais complicados como o mostrado na Figura 7 Isso é semelhante à região com coordenadas retangulares do tipo II vista na Seção 153 De fato combinando a Fórmula 2 desta seção com a Fórmula 1535 obtemos o seguinte 3 Se f é contínua em uma região polar da forma D r θ a θ β h₁θ r h₂θ então D fxy dA βa h₁θh₂θ fr cos θ r sen θ r dr dθ Em particular tomando fxy 1 h₁θ 0 e h₂θ hθ nessa fórmula vemos que a área da região D limitada por θ α θ β e r hθ é AD D 1 dA βα 0hθ r dr dθ βα r²2⁰hθ dθ βα 12 hθ² dθ que coincide com a Fórmula 1043 EXEMPLO 3 Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r cos 2θ SOLUÇÃO Do esboço da curva na Figura 8 vemos que um laço da rosácea de quatro pétalas corresponde à região D r θ π4 θ π4 0 r cos 2θ Então a área é AD D dA π4π4 0cos 2θ r dr dθ π4π4 12 r²⁰cos 2θ dθ 12 π4π4 cos² 2θ dθ 14 π4π4 1 cos 4θ dθ 14 θ 14 sen 4θπ4π4 π8 20 D xy2 dA D é limitada por x 0 e x 1 y2 EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z x² y² acima do plano xy e dentro do cilindro x² y² 2x SOLUÇÃO O sólido está acima do disco D cujo limite tem equação x² y² 2x ou após completar os quadrados x 1² y² 1 Veja as Figuras 9 e 10 Em coordenadas polares temos x² y² r² e x r cos θ assim o limite circular fica r² 2r cos θ ou r 2 cos θ Portanto o disco D é dado por D r θ π2 θ π2 0 r 2 cos θ e da Fórmula 3 temos V D x² y² dA π2π2 0²cos θ r² r dr dθ π2π2 r⁴4⁰²cos θ dθ 4 π2π2 cos⁴ θ dθ 8 π2₀ cos⁴ θ dθ 8 π2₀ 1 cos 2θ 2² dθ 2 π2₀ 1 2 cos 2θ 12 1 cos 4θ dθ 2 32 θ sen 2θ 18 sen 4θ⁰π2 2 32 π2 3π2 154 Exercícios 14 Uma região R é mostrada Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva R fxy dA como uma integral iterada onde f é uma função qualquer contínua em R 1 2 3 4 56 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calculea 5 3π4π 2₁ r dr dθ 6 π2π 2₀ sen θ r dr dθ 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom 21 D 2x y dA D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2 714 Calcule a integral dada colocandoa em coordenadas polares 7 D x²y dA onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 8 R 2x y dA onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x² y² 4 e as retas x0 e yx 9 R senx² y² dA onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3 10 R y² x² y² dA onde R é a região que fica entre os círculos x² y² a² e x² y² b² com 0 a b 11 D ex²y² dA onde D é a região limitada pelo semicírculo x4 y² e o eixo y 12 D cos x² y² dA onde D é o disco com centro na origem e raio 2 13 R arctgyx dA onde R x y 1 x² y² 4 0 y x 14 D x dA onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x² y² 4 e x² y² 2x 1518 Utilize a integral dupla para determinar a área da região 15 Um laço da rosácea rcos 36 16 A região limitada por ambos os cardioides r1cosθ e r1cosθ 17 A região dentro do círculo x 1² y² 1 e fora do círculo x² y² 1 18 A região dentro do círculo r1cosθ e fora do círculo r3 cos θ 1927 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado 19 Abaixo do cone zx² y² e acima do disco x² y² 4 20 Abaixo do paraboloide z18 2x² 2y² e acima do plano xy 21 Limitado pelo hiperboloide x² y² z² 1 e pelo plano z2 22 Dentro da esfera x² y² z² 16 e fora do cilindro x² y² 4 23 Uma esfera de raio a 24 Limitado pelo paraboloide z1 zx² zy² e pelo plano z7 no primeiro octante 25 Acima do cone zx² y² e abaixo da esfera x² y² z² 1 26 Limitado pelos paraboloides z3x² 3y² e z4 x² y² 27 Dentro tanto do cilindro x² y² 4 quanto do elipsoide 4x² 4y² z² 64 28 a Uma broca cilíndrica de raio r₁ é usada para fazer um furo que passa pelo centro de uma esfera de raio r₂ Determine o volume do sólido em formato de anel resultante b Expresse o volume da parte a em termos da altura h do anel Observe que o volume depende somente de h e não de r₁ ou r₂ 2932 Calcule a integral iterada convertendoa antes para coordenadas polares 29 33 09x² senx² y² dy dx 30 0a 0a²x² x²y dx dy 31 01 02y² x y dx dy 32 02 02xx² x² y² dy dx 3334 Expresse a integral dupla em termos de uma integral unidimensional com relação a r Em seguida use a calculadora para avaliar a integral correta com quatro casas decimais 33 D ex² y² dA D onde está o disco com centro na origem e raio 1 34 D xy 1 x² y² dA onde D é a porção do disco x² y² 1 que fica no primeiro quadrante 35 Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte Encontre o volume de água da piscina 36 Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio Ele fornece água até uma profundidade de er metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador a Se 0 R 50 qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulverizador b Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R 37 Encontre o valor médio da função fx y 1x² y² na região anular a² x² y² b² onde 0 a b 38 Seja D o disco com centro na origem e raio a Qual é a distância média dos pontos em D em relação à origem 39 Utilize coordenadas polares para combinar a soma 121 1x²x xy dy dx 12 0x xy dy dx 22 04x² xy dy dx em uma única integral dupla Em seguida calcule essa integral dupla 40 a Definimos a integral imprópria sobre todo o plano ℝ² Iℝ2 ex² y² dA lima Da ex² y² dA onde Da é o disco com raio a e centro na origem Mostre que ex² y² dAπ b Uma definição equivalente da integral imprópria da parte a é ℝ2 ex² y² dA lima Sa ex² y² dA onde Sa é o quadrado com vértices a a Use isto para mostrar que ex² dx ey² dy π c Deduz aque ex² dx π d Fazendo a mudança de variável t2 x mostre que ex²2 dx 2π Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística 41 Utilize o resultado do Exercício 40 parte c para calcular as seguintes integrais a 0 x² ex² dx b 0 x ex dx 22 D 2xy dA D é a região triangular com vértices 0 0 1 2 e 0 3 155 Aplicações de Integrais Duplas Já vimos uma aplicação da integral dupla o cálculo de volumes Outra aplicação geométrica importante é a determinação de áreas de superfícies o que será feito na próxima seção Nesta seção vamos explorar as aplicações físicas tais como cálculo de massa carga elétrica centro de massa e momento de inércia Veremos que essas ideias físicas também são importantes quando aplicadas a funções densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias Densidade e Massa Na Seção 83 no volume I calculamos momentos e centro de massa de placas finas ou lâminas de densidade constante usando as integrais unidimensionais Agora com auxílio das integrais duplas temos condições de considerar as lâminas com densidade variável Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e que sua densidade em unidades de massa por unidade de área no ponto x y em D é dada por ρx y onde ρ é uma função contínua em D Isso significa que ρx y limΔA0 Δm ΔA onde Δm e ΔA são a massa e a área de um pequeno retângulo que contém x y e tomamos o limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de 0 veja a Figura 1 Para determinarmos a massa total m da lâmina dividimos o retângulo R contendo D em subretângulos Rij todos do mesmo tamanho como na Figura 2 e consideramos ρxi yj como 0 fora de D Se escolhermos um ponto xi yj em Rij então a massa da parte da lâmina que ocupa Rij é aproximadamente ρxi yj ΔA onde ΔA é a área de Rij Se somarmos todas essas massas obteremos uma aproximação do valor da massa total m i1k j1l ρxi yj ΔA Aumentando o número de subretângulos obtemos a massa total m da lâmina como o valorlimite das aproximações 1 m limk l i1k j1l ρxi yj ΔA D ρx y dA Físicos consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma maneira Por exemplo se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D e a densidade de carga em unidades de carga por unidade de área é dada por σx y em um ponto x y em D então a carga total Q é dada por 2 Q D σx y dA EXEMPLO 1 Uma carga está distribuída na região triangular D da Figura 3 de modo que a densidade de carga em x y é σx y xy medida em coulombs por metro quadrado Cm² Determine a carga total SOLUÇÃO Da Equação 2 e da Figura 3 temos Q D σx y dA 01 1x1 xy dy dx 2332 Determine o volume do sólido dado 01 x y² 2 y1x1 dx 01 x 2 1² 1 x² dx 12 01 2x² x³ dx 12 2x³ 3 x⁴ 4 01 524 Logo a carga total é 524 C Momentos e Centros de Massa Na Seção 83 no Volume I determinamos o centro de massa de uma lâmina de densidade constante aqui consideraremos uma lâmina de densidade variável Suponha que a lâmina ocupe uma região D e que tenha ρx y como função densidade Lembrese de que no Capítulo 8 definimos o momento de uma partícula em relação a um eixo como o produto de sua massa pela distância perpendicular ao eixo Dividimos D em retângulos pequenos como na Figura 2 Então a massa de Rij é aproximadamente ρxi yj ΔA e podemos aproximar o momento de Rij com relação ao eixo x por ρxi yj ΔA yj Se somarmos essas quantidades e tomarmos o limite quando o número de subretângulos cresce indefinidamente obteremos o momento da lâmina inteira em relação ao eixo x 3 Mx limm n i1m j1n yj ρxi yj ΔA D y ρx y dA Da mesma forma o momento em relação ao eixo y é 4 My limm n i1m j1n xi ρxi yj ΔA D x ρx y dA Como anteriormente definimos o centro de massa x y de modo que m x My e m y Mx O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa Assim a lâmina permanece horizontal quando equilibrada em seu centro de massa veja a Figura 4 5 As coordenadas x y do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e tendo função densidade ρx y são x My m 1m D x ρx y dA y Mx m 1m D y ρx y dA onde a massa m é dada por m D ρx y dA EXEMPLO 2 Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices 0 0 1 0 e 0 2 se a função densidade for ρx y 1 3x y SOLUÇÃO O triângulo está mostrado na Figura 5 Observe que a equação do limite superior é y 2 2x A massa da lâmina é 23 Abaixo do plano x 2y z 1 e acima da região limitada por x y 1 e x2 y 1 ₀¹ y 3xy y²2 y0y22x dx 4 ₀¹ 1 x² dx 4 x x³3 0¹ 83 Então as fórmulas em 5 fornecem x 1mD x ρxy dA 38 ₀¹ ₀22x x 3x² xy dy dx 38 ₀¹ xy 3x²y x y²2 022x dx 32 ₀¹ x x³ dx 32 x²2 x⁴4 0¹ 38 ȳ 1mD y ρxy dA 38 ₀¹ ₀22x y 3xy y² dy dx 38 ₀¹ y²2 3x y²2 y³3 022x dx 14 ₀¹ 7 9x 3x² 5x³ dx 14 7x 9 x²2 x³ 5 x⁴4 0¹ 1116 O centro de massa é o ponto 38 1116 EXEMPLO 3 A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo Determine o centro de massa da lâmina SOLUÇÃO Vamos posicionar a lâmina na metade superior do círculo x² y² a² Veja a Figura 6 Então a distância do ponto xy ao centro do círculo origem é x² y² Portanto a função densidade é ρxy K x² y² onde K é alguma constante Tanto a função densidade como o formato da lâmina sugerem a conversão para coordenadas polares Então x² y² r e a região D é dada por 0 r a 0 θ π Logo a massa da lâmina é m D ρxy dA D K x² y² dA ₀π ₀a Kr r dr dθ K ₀π dθ ₀a r² dr K π r³3 0a K π a³3 Tanto a lâmina como a função densidade são simétricas com relação ao eixo y e assim o centro de massa precisa estar sobre o eixo y ou seja x 0 A coordenada y é dada por ȳ 1m D y ρxy dA 3K π a³ ₀π ₀a r sen θ Kr r dr dθ 3π a³ ₀π sen θ dθ ₀a r³ dr 3π a³ cos θ ₀π r⁴4 ₀a 3π a³ 2a⁴4 3a2π Portanto o centro de massa está localizado no ponto 0 3a2π FIGURA 6 24 Abaixo da superfície z 2x y2 e acima da região limitada por x y2 e x y3 Momento de Inércia O momento de inércia também chamado segundo momento de uma partícula de massa m em relação a um eixo é definido como mr² onde r é a distância da partícula ao eixo Estendemos o conceito a uma lâmina com função densidade ρxy e que ocupa uma região D pelo mesmo processo que fizemos para os momentos normais Dividimos D em pequenos retângulos aproximamos o momento de inércia de cada subretângulo em relação ao eixo x e tomamos o limite da soma quando o número de subretângulos aumenta indefinidamente O resultado é o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x 6 Ix limmn Σi1m Σj1n yij² ρxij yij ΔA D y² ρxy dA Da mesma forma o momento de inércia em relação ao eixo y é 7 Iy limmn Σi1m Σj1n xij² ρxij yij ΔA D x² ρxy dA É de interesse ainda considerar o momento de inércia em relação à origem também chamado momento polar de inércia 8 I0 limmn Σi1m Σj1n xij² yij² ρxij yij ΔA D x² y² ρxy dA Observe que I0 Ix Iy EXEMPLO 4 Determine os momentos de inércia Ix Iy e I0 do disco homogêneo D com densidade ρxy ρ centro na origem e raio a SOLUÇÃO O limite de D é o círculo x² y² a² que em coordenadas polares D é descrito por 0 θ 2π 0 r a Vamos calcular I0 primeiro I0 D x² y² ρ dA ρ ₀2π ₀a r² r dr dθ ρ ₀2π dθ ₀a r³ dr 2πρ r⁴4 0a π ρ a⁴2 Em vez de calcularmos Ix e Iy diretamente vamos usar o fato de que Ix Iy I0 e Ix Iy da simetria do problema Assim Ix Iy I02 π ρ a⁴4 No Exemplo 4 observe que a massa do disco é m densidade área ρ π a² de modo que o momento de inércia do disco em torno da origem como uma roda em torno de seu eixo pode ser escrito como I0 π ρ a⁴2 12 ρ π a² a² 12 m a² Portanto se aumentarmos a massa ou o raio do disco aumentaremos o momento de inércia Em geral o momento de inércia tem um papel em um movimento de rotação semelhante ao que a massa tem em um movimento linear O momento de inércia de uma roda é o que torna difícil começar ou parar a rotação da roda assim como a massa do carro dificulta seu movimento inicial e a frenagem 25 Abaixo da superfície z xy e acima do triângulo e vértices 1 1 4 1 e 1 2 O raio de giração de uma lâmina em relação a um eixo é o número R tal que 9 mR² I onde m é a massa da lâmina e I é o momento de inércia em relação ao eixo dado A Equação 9 nos diz que se a massa da lâmina estiver concentrada a uma distância R do eixo então o momento de inércia dessa massa pontual será o mesmo que o momento de inércia da lâmina Em particular o raio de giração ȳ em relação ao eixo x e o raio de giração x em relação ao eixo y têm as equações 10 ȳ² Ix mx² Iy Então x ȳ é o ponto no qual podemos concentrar a massa da lâmina sem modificar os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados resultantes Observe a analogia com o centro de massa EXEMPLO 5 Determine o raio de giração em torno do eixo x do disco do Exemplo 4 SOLUÇÃO Como observado a massa do disco é m ρ π a² e da Equação 10 temos ȳ² Ixm 14 π ρ a⁴ ρ π a² a²4 Portanto o raio de giração em relação ao eixo x é ȳ 12 a que é metade do raio do disco Probabilidade Na Seção 85 no Volume I consideramos a função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória contínua X Isso significa que fx 0 para todo x fx dx 1 e a probabilidade de que X esteja entre a e b é determinada integrandose f de a até b Pa X b ab fx dx Consideremos agora um par de variáveis aleatórias X e Y como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso A função densidade conjunta de X e Y é uma função f de duas variáveis tais que a probabilidade de que X Y esteja em uma região D seja PX Y D D fxy dA Em particular se a região for um retângulo a probabilidade de que X esteja entre a e b e de que Y esteja entre c e d é Pa X b c Y d ab cd fxy dy dx Veja a Figura 7 26 Limitado pelo paraboloide z x2 3y2 e pelos planos x 0 y 1 y x z 0 fxy f1x f2y Na Seção 85 modelamos o tempo de espera utilizando a função densidade exponencial onde μ é o tempo médio de espera No próximo exemplo consideraremos a situação com dois tempos de espera independentes EXEMPLO 7 O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para as pessoas comprarem entrada para o filme da semana seja de dez minutos e que o tempo médio que levam para comprar pipoca seja de cinco minutos Supondo que os tempos de espera sejam independentes determine a probabilidade de um espectador esperar menos de 20 minutos até se dirigir a seu assento SOLUÇÃO Supondo que os tempos de espera X para comprar a entrada e Y para comprar pipoca possam ser modelados por funções densidade de probabilidade exponencial podemos escrever as funções densidade individuais como Como X e Y são independentes a função densidade conjunta é o produto Foi pedida também a probabilidade de X Y 20 onde D é a região triangular mostrada na Figura 8 Então Isso significa que cerca de 75 dos espectadores esperam menos de 20 minutos antes de tomarem seus assentos Valores Esperados Lembrese da Seção 85 no Volume I de que se X é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f então sua média é Se X e Y são variáveis aleatórias com função densidade conjunta f definimos a média X e a média Y também chamadas valores esperados de X e Y como 27 Limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x 2y z 6 Observe como são parecidas as expressões de μ1 e μ2 em com os momentos Mx e My de uma lâmina com função densidade ρ nas Equações 3 e 4 De fato podemos pensar na probabilidade como uma massa continuamente distribuída Calculamos probabilidade da mesma maneira que calculamos massa integrando a função densidade E como a massa de probabilidade total é 1 as expressões de x e y em mostram que podemos pensar que os valores esperados de X e Y μ1 e μ2 são as coordenadas do centro de massa da distribuição de probabilidade No próximo exemplo trabalharemos com distribuições normais Como na Seção 85 uma única variável aleatória tem distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é da forma onde μ é sua média e σ é seu desviopadrão EXEMPLO 8 Uma fábrica produz rolamentos de forma cilíndrica que são vendidos como tendo 40 cm de diâmetro e 60 cm de comprimento Na verdade o diâmetro X tem distribuição normal com média 40 cm e desviopadrão 001 cm enquanto o comprimento Y tem distribuição normal com média 60 cm e desviopadrão 001 cm Supondo que X e Y sejam independentes escreva a função densidade conjunta e faça seu gráfico Determine a probabilidade de que um rolamento escolhido aleatoriamente da linha de produção tenha comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais que 002 cm SOLUÇÃO Temos que X e Y têm distribuições normais com μ1 40 μ2 60 e σ1 σ2 001 As funções densidade individuais para X e Y são Como X e Y são independentes a função densidade conjunta é o produto O gráfico dessa função é mostrado na Figura 9 Vamos inicialmente calcular a probabilidade de ambos X e Y diferirem de seus valores médios por menos de 002 cm Usando uma calculadora ou computador para estimar a integral temos Então a probabilidade de X ou Y diferir de seu valor médio em 002 cm ou mais é de aproximadamente 28 Limitado pelos planos z x y x x y 2 e z 0 Como probabilidades não podem ser negativas e são medidas na escala de 0 a 1 a função densidade conjunta tem as seguintes propriedades Como no Exercício 40 da Seção 154 a integral dupla sobre é uma integral imprópria definida como o limite da integral dupla sobre os círculos ou retângulos que se expandem e podemos escrever Se a função densidade conjunta de X e Y for dada por determine o valor da constante C Então calcule PX 7 Y 2 SOLUÇÃO Determinamos o valor de C garantindo que a integral dupla de f seja igual a 1 Como fx y 0 está fora do retângulo 0 10 0 10 temos Portanto 1 500C e assim C Agora podemos calcular a probabilidade de X ser no máximo 7 e de Y ser no mínimo 2 Suponha que X seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f1 x e Y seja uma variável aleatória com função densidade f2y Então X e Y são ditas variáveis aleatórias independentes se a função densidade conjunta for o produto das funções densidade individuais 29 Limitado pelos cilindros z x2 y x2 e pelos planos z 0 y 4 155 Exercícios 1 Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 0 x 5 2 y 5 de modo que a densidade de carga em x y é σx y 2x 4y medida em coulombs por metro quadrado Determine a carga total no retângulo 2 Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco x² y² 1 de modo que a densidade de carga em x y é σx y x² y² medida em coulombs por metro quadrado Determine a carga total no disco 310 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ 3 D x y 1 x 3 1 y 4 ρx y ky² 4 D x y 0 x a 0 y b ρx y 1 x² y² 5 D é a região triangular com vértices 0 0 2 1 0 3 ρx y x y 6 D é a região triangular limitada pelas retas x 0 y x e 2x y 6 ρx y x² 7 D é limitada por y 1 x² e y 0 ρx y ky 8 D é limitada por y x² e y x 2 ρx y ky 9 D x y 0 y senπxL 0 x L ρx y y 10 D é limitada pelas parábolas y x² e y y² ρx y x 11 Uma lâmina ocupa a parte do disco x² y² 1 no primeiro quadrante Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x 12 Determine o centro de massa da lâmina do Exercício 11 se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem 13 O limite de uma lâmina consiste nos semicírculos y 1 x² e y 4 x² juntamente com as partes do eixo x que os une Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem 14 Encontre o centro de massa da lâmina do Exercício 13 se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem 15 Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles com os lados iguais tendo comprimento a se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa 16 A lâmina ocupa a região dentro do círculo x² y² 2y mas fora do círculo x² y² 1 Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem 17 Encontre os momentos de inércia Iₓ Iᵧ I₀ para a lâmina do Exercício 7 18 Encontre os momentos de inércia Iₓ Iᵧ I₀ para a lâmina do Exercício 12 19 Encontre os momentos de inércia Iₓ Iᵧ I₀ para a lâmina do Exercício 15 20 Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem Se a densidade da pá for ρx y 1 01x é mais difícil girar a pá em torno do eixo x ou do eixo y 2124 Uma lâmina com densidade constante ρx y ρ ocupa a região dada Encontre os momentos de inércia Iₓ e Iᵧ e os raios de giração x e ȳ 21 O retângulo 0 x b 0 y h 22 O triângulo com vértices 0 0 b 0 e 0 h 23 A parte do disco x² y² a² no primeiro quadrante 24 A região sob a curva y sen x de x 0 a x π 2526 Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada 25 D está limitada pelo laço direito da rosácea de quatro folhas r cos 2θ ρx y x² y² 26 D x y 0 y xex 0 x 2 ρx y x²y² 27 A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é fx y Cx1 y se 0 x 1 0 y 2 0 caso contrário a Determine o valor da constante C b Encontre PX 1 Y 1 c Encontre PX Y 1 28 a Verifique que fx y 4xy se 0 x 1 0 y 1 0 caso contrário é uma função densidade conjunta b Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é a função f da parte a determine i PX 12 ii PX 12 Y 12 c Determine os valores esperados de X e Y 29 Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta fx y 01e05x02y se x 0 y 0 0 caso contrário a Verifique que f é de fato uma função densidade conjunta b Determine as seguintes probabilidades i PY 1 ii PX 2 Y 4 c Determine os valores esperados de X e Y 30 a Uma luminária tem duas lâmpadas de um tipo com tempo de vida médio de 1 000 horas Supondo que possamos modelar a probabilidade de falha dessas lâmpadas por uma função densidade exponencial com média μ 1 000 determine a probabilidade de que ambas as lâmpadas venham a falhar dentro de um período de 1 000 horas b Outra luminária tem somente uma lâmpada do mesmo tipo das da parte a Se a lâmpada queima e é trocada por outra do mesmo tipo determine a probabilidade de que as duas venham a falhar dentro de 1 000 horas 31 Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias onde X tem distribuição normal com média 45 e desviopadrão 05 e Y tem distribuição normal com média 20 e desviopadrão 01 a Encontre P40 X 50 20 Y 25 b Encontre P4X 45² 100Y 20² 2 32 Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meiodia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas Eles chegam em um café separadamente O tempo de chegada de Xavier é X e o da Yolanda é Y onde X e Y são medidos em minutos após o meiodia As funções densidade individuais são 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom É necessário usar um sistema de computação algébrica 30 Limitado pelo cilindro y2 z2 4 e pelos planos x 2y x 0 z 0 no primeiro octante f₁x ex se x 0 0 se x 0 f₂y 110 y se 0 y 10 0 caso contrário Xavier chega algumas vezes depois do meiodia e é mais provável que ele chegue na hora do que se atrase Yolanda sempre chega às 12h10 e é mais provável que se atrase do que chegue pontualmente Depois de Yolanda chegar ela espera até meia hora por Xavier mas ele não espera por ela Determine a probabilidade de eles se encontrarem 33 Quando estudamos uma contaminação epidêmica supomos que a probabilidade de um indivíduo infectado disseminar a doença para um indivíduo não infectado seja uma função da distância entre eles Considere uma cidade circular com raio de 10 km na qual a população está uniformemente distribuída Para um indivíduo não infectado no ponto Ax₀ y₀ suponha que a função probabilidade seja dada por fP 12020 dP A onde dP A denota a distância entre os pontos P e A a Suponha que a exposição de uma pessoa à doença seja a soma das probabilidades de adquirir a doença de todos os membros da população Suponha ainda que as pessoas infectadas estejam uniformemente distribuídas pela cidade existindo k indivíduos contaminados por quilômetro quadrado Determine a integral dupla que representa a exposição de uma pessoa que reside em A b Calcule a integral para o caso em que A está no centro da cidade e para o caso em que A está na periferia da cidade Onde seria preferível viver 156 Área de Superfície Na Seção 166 trabalharemos com áreas de superfícies mais gerais denominadas superfícies parametrizadas portanto esta seção não precisa ser estudada se a seção posterior for estudada Nesta seção aplicamos as integrais duplas ao problema de calcular a área de uma superfície Na Seção 82 no Volume I descobrimos a área de um tipo muito especial de superfície uma superfície de revolução pelos métodos de cálculo de uma variável única Aqui calculamos a área de uma superfície com equação z fxy o gráfico de uma função de duas variáveis Seja S a superfície com a equação z fxy onde f tem derivadas parciais contínuas Para simplificar a dedução da fórmula da área de superfície supomos que fxy 0 e o domínio D de f é um retângulo Dividimos D em pequenos retângulos Rᵢⱼ com área ΔA ΔxΔy Se xᵢ yⱼ é o canto de Rᵢⱼ mais próximo da origem seja Pᵢⱼxᵢ yᵢ fxᵢ yᵢ o ponto em S diretamente acima dele veja a Figura 1 O plano tangente a S em Pᵢⱼ é uma aproximação a S próximo de Pᵢⱼ Então a área ΔTᵢⱼ da parte deste plano tangente um paralelogramo que fica diretamente acima de Rᵢⱼ é uma aproximação à área ΔSᵢⱼ da parte de S que fica diretamente acima de Rᵢⱼ Portanto a soma ΔTᵢⱼ é uma aproximação à área total de S e essa aproximação parece melhorar conforme o número de retângulos aumenta Portanto definimos a área da superfície de S como AS limmn i1m j1n ΔTᵢⱼ Para encontrar uma fórmula que seja mais conveniente do que a Equação 1 para fins de cálculo sejam a e b os vetores que começam em Pᵢⱼ e ficam ao longo dos lados do paralelogramo com área ΔTᵢⱼ Veja a Figura 2 Então ΔTᵢⱼ a b Lembrese da Seção 143 de que fₓ xᵢ yᵢ e fᵧ xᵢ yᵢ são as inclinações das retas tangentes através de Pᵢⱼ nas direções de a e b Portanto a Δxi fₓxᵢ yᵢ Δxk b Δyj fᵧ xᵢ yᵢ Δyk e a b i j k Δx 0 fₓ xᵢ yᵢ Δx 0 Δy fᵧ xᵢ yᵢ Δy fₓ xᵢ yᵢ ΔxΔy i fᵧ xᵢ yᵢ ΔxΔy j ΔxΔy k fₓ xᵢ yᵢ i fᵧ xᵢ yᵢ j k ΔA Logo ΔTᵢⱼ a b fₓxᵢ yᵢ² fᵧxᵢ yᵢ² 1 ΔA 31 Limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos y z x 0 z 0 no primeiro octante Da Definição 1 temos então AS limmn i1m j1n ΔTᵢⱼ limmn i1m j1n fₓxᵢ yᵢ² fᵧxᵢ yᵢ² 1 ΔA e pela definição de uma integral dupla obtemos a seguinte fórmula 2 A área da superfície com equação z fx y x y D onde fₓ e fᵧ são contínuas é AS D fₓx y² fᵧx y 1 dA Na Seção 166 verificaremos que essa fórmula é consistente com nossa fórmula anterior para a área de uma superfície de revolução Se usarmos a notação alternativa para derivadas parciais podemos reescrever a Fórmula 2 da seguinte maneira 3 As D 1 zx² zy² dA Observe a semelhança entre a fórmula da área da superfície da Equação 3 e a fórmula do comprimento do arco da Seção 81 no Volume I L ab 1 dydx² dx EXEMPLO 1 Determine a área de superfície da parte da superfície z x² 2y que fica acima da região triangular T no plano xy com vértices 0 0 1 0 e 1 1 SOLUÇÃO A região T é mostrada na Figura 3 e é descrita por T x y 0 x 1 0 y x Usando a Fórmula 2 com fx y x² 2y obtemos A T 2x² 2² 1 dA 01 0x 4x² 5 dy dx 01 x4x² 5 dx 18 23 4x² 532₀¹ 112 27 55 A Figura 4 mostra a porção da superfície cuja área acabamos de calcular EXEMPLO 2 Determine a área da parte do paraboloide z x² y² que está abaixo do plano z 9 SOLUÇÃO O plano intercepta o paraboloide no círculo x² y² 9 z 9 Portanto a superfície dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 3 Veja a Figura 5 Usando a Fórmula 3 temos A D 1 zx² zy² dA D 1 2x² 2y² dA 32 Limitado pelos cilindros x2 y2 r2 e y2 z2 r2 Convertendo para coordenadas polares obtemos A integral 0 a 2pi integral 0 a 3 raiz de 1 4r² r dr dθ integral 0 a 2pi dθ integral 0 a 3 r raizon de 1 4r² dr 2pi 1832 1 4r²32 0 a 3 pi6 37 raiz 37 1 156 Exercícios 112 Determine a área da superfície 1 A parte do plano z 2 3x 4y que está acima do retângulo 05 x 14 2 A parte do plano 2x 5y z 10 que está dentro do cilindro x² y² 9 3 A parte do plano 3x 2y z 6 que está no primeiro octante 4 A parte da superfície z 1 3x 2y² que está acima do triângulo com vértices 00 01 e 21 5 A parte do cilindro y² z² 9 que está acima do retângulo com vértices 00 40 02 e 42 6 A parte do paraboloide z 4 x² y² que está acima do plano xy 7 A parte do paraboloide hiperbólico z y² x² que está entre os cilindros x² y² 1 e x² y² 4 8 A superfície z 13 x² y³2 0 x 1 0 y 1 9 A parte da superfície z xy que está dentro do cilindro x² y² 1 10 A parte da esfera x² y² z² 4 que está acima do plano z 1 11 A parte da esfera x² y² z² a² que está dentro do cilindro x² y² ax e acima do plano xy 12 A parte da esfera x² y² z² 4x que está dentro do paraboloide z x² y² 1314 Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais expressandoa em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral 13 A parte da superfície z ex²y² que está acima do círculo x² y² 4 14 A parte da superfície z cos x² y² que está dentro do cilindro x² y² 1 15 a Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas veja a Seção 151 com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide z x² y² que está acima do quadrado 01 x 01 b Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área de superfície da parte a até a quarta casa decimal Compare com sua resposta para a parte a 16 a Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com m n 2 para estimar a área da superfície z xy x² y² 0 x 2 0 y 2 b Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área de superfície da parte a até a quarta casa decimal Compare com sua resposta para a parte a 17 Determine a área exata da superfície z 1 2x 3y 4y² 1 x 4 0 y 1 18 Determine a área exata da superfície z 1 x y x² 2 x 1 1 y 1 Ilustre traçando o gráfico da superfície 19 Determine com precisão de quatro casas decimais a área da parte da superfície z 1 x²y² que está acima do disco x² y² 1 20 Determine com precisão de quatro casas decimais a área da parte da superfície z 1 x²1 y² que está acima do quadrado x y 1 Ilustre traçando o gráfico dessa parte de superfície 21 Mostre que a área da parte do plano z ax by c que projeta sobre uma região D no plano xy com área AD é raiz quadrada a² b² 1AD 22 Se você tentar usar a Fórmula 2 para encontrar a área da metade superior da esfera x² y² z² a² você terá um pequeno problema pois a integral dupla é imprópria De fato o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto do limite circular x² y² a² No entanto a integral pode ser calculada como o limite da integral sobre o disco x² y² t² quando t a Utilize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio a é 4πa² 23 Determine a área da parte finita do paraboloide y x² z² limitada pelo plano y 25 Sugestão Projete a superfície sobre o plano xy 24 A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y² z² 1 intercepta o cilindro x² z² 1 Encontre a área desta superfície 33 Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para estimar a coordenada x dos pontos de interseção da curva y x4 e y 3x x2 Se D é a região limitada por essas curvas estime D x dA 157 Integrais Triplas Assim como definimos integrais unidimensionais para funções de uma única variável e duplas para funções de duas variáveis vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis Inicialmente trataremos o caso mais simples quando f é definida em uma caixa retangular 1 B x y z a x b c y d r z s O primeiro passo é dividir B em subcaixas Fazemos isso dividindo o intervalo a b em l subintervalos xᵢ₁ xᵢ de comprimentos iguais Δx dividindo c d em m subintervalos de comprimentos Δy e dividindo r s em n subintervalos de comprimento Δz Os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos paralelos aos planos coordenados subdividem a caixa B em lmn subcaixas Bᵢⱼₖ xᵢ₁ xᵢ x yⱼ₁ yⱼ x zₖ₁ zₖ como mostrado na Figura 1 Cada subcaixa tem volume ΔV Δx Δy Δz Assim formamos a soma tripla de Riemann 2 Σᵢ₁ˡ Σⱼ₁ᵐ Σₖ₁ⁿ fxᵢⱼₖ yᵢⱼₖ zᵢⱼₖ ΔV onde o ponto de amostragem xᵢⱼₖ yᵢⱼₖ zᵢⱼₖ está em Bᵢⱼₖ Por analogia com a definição da integral dupla 1515 definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de Riemann em 2 3 Definição A integral tripla de f na caixa B é B fx y z dV lim l m n Σᵢ₁ˡ Σⱼ₁ᵐ Σₖ₁ⁿ fxᵢⱼₖ yᵢⱼₖ zᵢⱼₖ ΔV se esse limite existir Novamente a integral tripla sempre existe se f for contínua Escolhemos o ponto de amostragem como qualquer ponto de cada subcaixa mas se escolhermos o ponto xᵢ yⱼ zₖ obtemos uma expressão com aparência menos complicada para a integral tripla B fx y z dV lim l m n Σᵢ₁ˡ Σⱼ₁ᵐ Σₖ₁ⁿ fxᵢ yⱼ zₖ ΔV Assim como para as integrais duplas o método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressála como uma integral iterada como segue 4 Teorema de Fubini para as Integrais Triplas Se f é contínua em uma caixa retangular B a b x c d x r s então B fx y z dV rs cd ab fx y z dx dy dz A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro integramos em relação a x mantendo y e z fixados em seguida integramos em relação a y mantendo z fixado e finalmente em relação a z Existem cinco outras ordens possíveis de integração 34 Encontre o volume aproximado do sólido no primeiro octante limitado pelos planos y x z 0 e z x e pelo cilindro y cos x Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de interseção todas fornecendo o mesmo resultado Por exemplo se primeiro integrarmos em relação a y então em relação a z e depois a x teremos B fx y z dV ab rs cd fx y z dy dz dx EXEMPLO 1 Calcule a integral tripla B xy z² dV onde B é a caixa retangular dada por B x y z 0 x 1 1 y 2 0 z 3 SOLUÇÃO Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração Se escolhermos integrar primeiro em relação a x depois em relação a y e então em relação a z obteremos B xy z² dV 03 12 01 xy z² dx dy dz 03 12 x² yz²2x01 dy dz 03 12 yz²2 dy dz 03 y² z²4y12 dz 03 3z²4 dz z³403 274 Agora definiremos a integral tripla sobre uma região limitada geral E no espaço tridimensional um sólido pelo mesmo método usado para as integrais duplas 1532 Envolvemos E por uma caixa B do tipo dado pela Equação 1 Em seguida definiremos uma função F de modo que ela coincida com f em E e seja 0 nos pontos de B fora de E Por definição E fx y z dV B Fx y z dV Essa integral existe se f for contínua e se o limite de E for razoavelmente liso A integral tripla tem essencialmente as mesmas propriedades da integral dupla Propriedades 69 da Seção 153 Vamos nos restringir às funções contínuas f e a certos tipos de regiões Uma região sólida E é dita do tipo I se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y ou seja 5 E x y z x y D u₁x y z u₂x y onde D é a projeção de E sobre o plano xy como mostrado na Figura 2 Observe que o limite superior do sólido E é a superfície de equação z u₂ x y enquanto o limite inferior é a superfície z u₁ x y Pelos mesmos argumentos que nos levaram à 1533 podemos mostrar que se E é uma região do tipo 1 dada pela Equação 5 então 6 E fx y z dV D u₁x yu₂x y fx y z dz dA O significado da integral de dentro do lado direito da Equação 6 é que x e y são mantidos fixos e assim u₁x y e u₂x y são vistas como constantes enquanto fx y z é integrada em relação a z Em particular se a projeção D de E sobre o plano xy é uma região plana do tipo I como na Figura 3 então E x y z a x b g₁x y g₂x u₁x y z u₂x y 3536 Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes Se por outro lado D é uma região plana do tipo II como na Figura 4 então Exyz c y d h₁y x h₂y u₁xy z u₂xy e a Equação 6 se torna E fxyzdVD u₁xyu₂xy fxyz dz dA 8 EXEMPLO 2 Calcule E z dV onde E é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos x0y0z0 e xyz1 SOLUÇÃO Para escrevermos a integral tripla é recomendável desenhar dois diagramas um da região sólida E veja a Figura 5 e outro de sua projeção D no plano xy veja a Figura 6 A fronteira inferior do tetraedro é o plano z0 e a superior é o plano xyz1 ou z1xy e então usamos u₁xy 0 e u₂xy 1 x y na Fórmula 7 Observe que os planos xyz1 e z0 se interceptam na reta xy1 ou y1x no plano xy Logo a projeção de E é a região triangular da Figura 6 e temos 9 E xyz 0 x 1 0 y 1 x 0 z 1 x y Essa descrição de E como região do tipo 1 nos permite calcular a integral como segue E z dV ₀¹ ₀¹ₓ ₀¹ₓʸ z dz dy dx ₀¹ ₀¹ₓ z²2⁰¹ₓʸ dy dx 12 ₀¹ ₀¹ₓ 1xy² dy dx 12 ₀¹ 1xy³ 3⁰ʸ¹ₓ dx 16 ₀¹ 1x³ dx 16 1x⁴4⁰¹ 124 Uma região sólida E é do tipo 2 se for da forma E xyz yz D u₁yz x u₂yz onde desta vez D é a projeção de E sobre o plano yz veja a Figura 7 A superfície de trás é xu₁yz e a superfície da frente é xu₂yz Assim temos 10 E fxyz dV D u₁yzu₂yz fxyz dx dA Finalmente uma região do tipo 3 é da forma E xyz xz D u₁xz y u₂xz onde D é a projeção de E sobre o plano xz yu₁xz é a superfície da esquerda e yu₂xz é a superfície da direita veja a Figura 8 Para esse tipo de região temos 11 E fxyz dV D u₁xzu₂xz fxyz dy dA EXEMPLO 3 Calcule E x²z² dV onde E é a região limitada pelo paraboloide yx²z² e pelo plano y4 SOLUÇÃO O sólido E está mostrado na Figura 9 Se o olharmos como uma região do tipo 1 então precisaremos considerar sua projeção D₁ sobre o plano xy que é a região parabólica da Figura 10 O corte de yx²z² no plano z0 é a parábola yx² De yx²z² obtemos zyx² e então a superfície limite de baixo de E é zyx² e a superfície de cima é zyx² Portanto a descrição de E como região do tipo 1 é Exyz 2 x 2 x² y 4 yx² z yx² e obtemos E x²z² dV ²² ₓ²⁴ ʸˣ² x²z² dz dy dx Apesar de essa expressão estar correta é extremamente difícil calculála Então em vez disso vamos considerar E como a região do tipo 3 Como tal sua projeção D₃ sobre o plano xz é o disco x²z² 4 mostrado na Figura 11 Então a superfície lateral esquerda de E é o paraboloide yx²z² e a superfície lateral direita é o plano y4 Assim tomando u₁xz x²z² e u₂xz 4 na Equação 11 temos E x²z² dV D₃ x²z²⁴ x²z² dy dA D₃ 4x²z²x²z² dA Apesar de essa integral poder ser escrita como ²² ⁴ˣ²⁴ˣ² 4x²z²x²z² dz dx fica mais simples convertêla para coordenadas polares no plano xz xr cos θ zr sen θ Isso fornece E x²z² dV D₃ 4x²z²x²z² dA ₀²π ₀² 4r² r r dr dθ ₀²π dθ ₀² 4r² r⁴ dr 2π 4r³3 r⁵5₀² 128π15 35 O sólido limitado pelos cilindros parabólicos y 1 x2 y x2 1 e pelos planos x y z 2 2x 2y z 10 0 EXEMPLO 4 Expresse a integral iterada ₀¹ ₀ˣ² ₀ʸ fxyz dz dy dx como a integral tripla e então reescrevaa como uma integral iterada em uma ordem diferente integrando primeiro em relação a x então z e então y SOLUÇÃO Podemos escrever ₀¹ ₀ˣ² ₀ʸ fxyz dz dy dx E fxyz dV onde E xyz 0 x 1 0 y x² 0 z y Essa descrição de E nos permite escrever projeções sobre os três planos coordenados como a seguir sobre o plano xy D₁ xy 0 x 1 0 z x² xy 0 y 1 y x 1 sobre o plano yz D₂ xy 0 y 1 0 z y sobre o plano xz D₃ xy 0 x 1 0 y x² A partir dos esboços resultantes das projeções na Figura 12 esboçamos o sólido E na Figura 13 Vemos que se trata do sólido limitado pelos planos z0 x1 yz pelo cilindro parabólico yx² ou xy Se integrarmos primeiro em relação a x em seguida a z e então a y usamos uma descrição alternativa de E E xyz 0 x 1 0 z y y x 1 Logo E fxyz dV ₀¹ ₀ʸ ʸ¹ fxyz dx dz dy Aplicações de Integrais Triplas Lembrese de que se fx 0 então a integral ᵃb fx dx representa a área abaixo da curva yfx de a até b e se fxy 0 então a integral dupla D fxy dA representa o volume sob a superfície zfxy acima de D A interpretação correspondente para a integral tripla E fxyz dV onde fxyz 0 não é muito útil porque seria um hipervolume de um objeto de quatro dimensões e é claro de muito difícil visualização Lembrese de que E é somente o domínio da função f o gráfico de f pertence ao espaço quadridimensional Apesar disso a integral tripla E fxyz dV pode ser interpretada de forma diversa em diferentes situações físicas dependendo das interpretações físicas de xyz e fxyz Vamos começar com o caso especial onde fxyz1 para todos os pontos em E Nesse caso a integral tripla representa o volume de E 12 VE E dV Por exemplo você pode ver isso no caso de uma região do tipo 1 colocando fxyz1 na Fórmula 6 E 1 dV D u₁xyu₂xy dz dA D u₂xy u₁xy dA e da Seção 153 sabemos que isso representa o volume que está entre as superfícies zu₁xy e zu₂xy EXEMPLO 5 Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos x2yz2 x2y x0 e z0 36 O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico y x2 e pelos planos z 3y z 2 y EXEMPLO 4 Expresse a integral iterada ₀¹ ₀ˣ² ₀ʸ fx y z dz dy dx como a integral tripla e então reescrevaa como uma integral iterada em uma ordem diferente integrando primeiro em relação a x então z e então y SOLUÇÃO Podemos escrever ₀¹ ₀ˣ² ₀ʸ fx y z dz dy dx E fx y z dV onde E x y z 0 x 1 0 y x² 0 z y Essa descrição de E nos permite escrever projeções sobre os três planos coordenados como a seguir sobre o plano xy D₁ x y 0 x 1 0 z x² x y 0 y 1 y x 1 sobre o plano yz D₂ x y 0 y 1 0 z y sobre o plano xz D₃ x y 0 x 1 0 y x² A partir dos esboços resultantes das projeções na Figura 12 esboçamos o sólido E na Figura 13 Vemos que se trata do sólido limitado pelos planos z 0 x 1 y z pelo cilindro parabólico y x² ou x y Se integrarmos primeiro em relação a x em seguida a z e então a y usamos uma descrição alternativa de E E x y z 0 x 1 0 z y y x 1 Logo E fx y z dV ₀¹ ₀ʸ ʸ¹ fx y z dx dz dy Aplicações de Integrais Triplas Lembrese de que se fx 0 então a integral ᵃb fx dx representa a área abaixo da curva y fx de a até b e se fx y 0 então a integral dupla D fx y dA representa o volume sob a superfície z fx y acima de D A interpretação correspondente para a integral tripla E fx y z dV onde fx y z 0 não é muito útil porque seria um hipervolume de um objeto de quatro dimensões e é claro de muito difícil visualização Lembrese de que E é somente o domínio da função f o gráfico de f pertence ao espaço quadridimensional Apesar disso a integral tripla E fx y z dV pode ser interpretada de forma diversa em diferentes situações físicas dependendo das interpretações físicas de x y z e fx y z Vamos começar com o caso especial onde fx y z 1 para todos os pontos em E Nesse caso a integral tripla representa o volume de E 12 VE E dV Por exemplo você pode ver isso no caso de uma região do tipo 1 colocando fx y z 1 na Fórmula 6 E 1 dV D u₁x yu₂x y dz dA D u₂x y u₁x y dA e da Seção 153 sabemos que isso representa o volume que está entre as superfícies z u₁x y e z u₂x y EXEMPLO 5 Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos x 2y z 2 x 2y x 0 e z 0 FIGURA 12 Projeções de E FIGURA 13 O sólido E 3738 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada SOLUÇÃO O tetraedro T e sua projeção D sobre o plano xy são mostrados nas Figuras 14 e 15 O limite inferior de T é o plano z 0 e o limite superior é o plano x 2y z 2 isto é z 2 x 2y FIGURA 14 FIGURA 15 Portanto temos VT T dV ₀¹ x2¹ˣ² ₀²ˣ²ʸ dz dy dx ₀¹ x2¹ˣ² 2 x 2y dy dx 13 pelo mesmo cálculo usado no Exemplo 4 da Seção 153 Observe que não é necessário usar as integrais triplas para calcular volumes As integrais triplas simplesmente fornecem um método alternativo para descrever os cálculos Todas as aplicações de integrais duplas da Seção 155 podem ser imediatamente estendidas para as integrais triplas Por exemplo se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é ρx y z em unidades de massa por unidade de volume em qualquer ponto x y z então sua massa é 13 m E ρx y z dV e seus momentos em relação aos três planos coordenados são 14 Myz E xρx y z dV Mxz E yρx y z dV Mxy E zρx y z dV O centro de massa está localizado no ponto x y z onde 15 x Myzm y Mxzm z Mxym Se a densidade é constante o centro de massa do sólido é chamado centroide de E Os momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são 16 Ix E y² z² ρx y z dV Iy E x² z² ρx y z dV 37 01 01x 1 x y dy dx Iz E x² y² ρx y z dV Como na Seção 155 a carga elétrica total sobre um objeto sólido ocupando a região E e tendo uma densidade de carga σx y z é Q E σx y z dV Se tivermos três variáveis aleatórias X Y e Z sua função densidade conjunta é uma função das três variáveis de forma que a probabilidade de X Y Z estar em E é PX Y Z E E fx y z dV Em particular Pa X b c Y d r Z s ba cd sr fx y z dz dy dx A função densidade conjunta satisfaz fx y z 0 fx y z dz dy dx 1 EXEMPLO 6 Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico x y² e pelos planos x z z 0 e x 1 SOLUÇÃO O sólido E e sua projeção sobre o plano xy são mostrados nas Figuras 16 As superfícies inferior e superior de E são os planos z 0 e z x então descrevemos E como uma região do tipo I E x y z 1 y 1 y² x 1 0 z x Então se a densidade é ρx y z ρ a massa é m E ρ dV 1¹ y²¹ ₀ˣ ρ dz dx dy ρ 1¹ y²¹ x dx dy ρ 1¹ x²2ˣ¹ dy ρ2 1¹ 1 y⁴ dy ρ ₀¹ 1 y⁴ dy ρ y y⁵5₀¹ 4ρ5 Por causa da simetria de E e ρ em relação ao plano xz podemos dizer imediatamente que Mxz 0 e portanto y 0 Os outros momentos são Myz E xρ dV 1¹ y²¹ ₀ˣ xρ dz dx dy ρ 1¹ y²¹ x² dx dy ρ 1¹ x³3ˣ¹ dy 2ρ3 ₀¹ 1 y⁶ dy 2ρ3 y y⁷7₀¹ 4ρ7 FIGURA 16 38 01 01x 1 x dy dx Mxy E zρ dV 1¹ y²¹ 0ˣ zρ dz dx dy ρ 1¹ y²¹ z²2₀ˣ dx dy ρ2 1¹ y²¹ x² dx dy ρ3 0¹ 1 y⁶ dy 2ρ7 Logo o centro de massa é x y z Myzm Mxzm Mxym 57 0 514 157 Exercícios 1 Calcule a integral do Exemplo 1 integrando primeiro em relação a y depois z e então x 2 Calcule a integral E xz y³ dV onde E x y z 1 x 1 0 y 2 0 z 1 utilizando três ordens diferentes de integração 38 Calcule a integral iterada 3 ₀² ₀ʸ² yᶻ 2x y dx dy dz 4 ₀ˣ ₀²ˣ ₀ 2xyz dz dy dx 5 ₀¹ ₀ˣ ₀ˡⁿˣ xeʸ dy dx dz 6 ₀¹ ₀¹ˣ zy1 dx dz dy 7 ₀ʳ₀ˣ ₀ xr cosx y z dz dx dy 8 ₀ˣ ₀ˣ ₀¹ x² sen y dy dz dx 918 Calcule a integral tripla 9 E 2x dV onde E x y z 0 y 2 0 x 4 y² 0 z y 10 E exy dV onde E x y z 0 y 1 y x 1 0 z xy 11 E zx² z² dV onde E x y z 1 y 4 y z 4 0 x z 12 E sen y dV onde E está abaixo do plano z x e acima da região triangular com vértices 000 π 0 0 e 0 π 0 13 E 6xy dV onde E está abaixo do plano z 1 x y e acima da região do plano xy limitada pelas curvas y x y 0 e x 1 14 E xy dV onde E é limitado pelos cilindros parabólicos y x² e x y² e pelos planos z 0 e z x y 15 T x² dV onde T é o tetraedro sólido com vértices 000 100 010 e 001 16 T xyz dV onde T é o tetraedro sólido com vértices 000 100 110 e 101 17 E x dV onde E é limitado pelo paraboloide x 4y² 4z² e pelo plano x 4 18 E z dV onde E é limitado pelo cilindro y² z² 9 e pelos planos x 0 y 3x e z 0 no primeiro octante 1922 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado 19 O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x y z 4 20 O sólido limitado pelos paraboloides y x² z² e y 8 x² z² 21 O sólido limitado pelo cilindro y x² e pelos planos z 0 e y z 1 22 O sólido limitado pelo cilindro x² z² 4 e pelos planos y 1 e y z 4 23 a Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro y² z² 1 pelos planos y x e x 1 como uma integral tripla b Utilize a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência 611 ou um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte a 24 a Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B onde fx y z é calculada no centro xi yj zk da caixa Bij Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar B x² y² z² dV onde B é o cubo definido por 0 x 4 0 y 4 0 z 4 Divida B em oito cubos de igual tamanho b Use um sistema de computação algébrica para aproximar a integral da parte a com precisão para o número inteiro mais próximo Compare com sua resposta para a parte a 2526 Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas Exercício 24 para estimar o valor da integral Divida B em oito subcaixas de igual tamanho 25 B cos xyz dV onde B x y z 0 x 1 0 y 1 0 z 1 26 B xeʸᶻ dV onde B x y z 0 x 4 0 y 1 0 z 2 2728 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada 27 ₀¹ ₀¹ˣ ₀²ˣ²ʸ dy dz dx 28 ₀² ₀²ʸ ₀⁴ʸ² dx dz dy 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom É necessário usar um sistema de computação algébrica 3942 Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido 2932 Expresse a integral E fx y z dV como uma integral iterada de seis modos diferentes onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas 29 y 4 x2 4z2 y 0 30 y2 z2 9 x 2 x 2 31 y x2 z 0 y 2z 4 32 x 2 y 2 z 0 x y 2z 2 33 A figura mostra a região de integração da integral 01 x1 01y fx y z dz dy dx Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens 34 A figura mostra a região de integração da integral 01 1x0 1x0 fx y z dy dz dx Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens 3536 Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada 35 01 0y 0x fx y z dz dx dy 36 01 0y 0z fx y z dz dy dx 3738 Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simetria 37 C 4 5x2 yz2 dV onde C é a região cilíndrica x2 y2 4 2 z 2 38 B x2 sen y 3 dV onde B é a bola unitária x2 y2 z2 1 3942 Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ 39 E é o sólido do Exercício 13 ρx y z 2 40 E é limitado pelo cilindro parabólico z 1 y2 e os planos x z 1 x 0 e z 0 ρx y z 4 41 E é o cubo dado por 0 x a 0 y a 0 z a ρ x y z x2 y2 z2 42 E é o tetraedro limitado pelos planos x 0 y 0 z 0 x y z 1 ρx y z y 4346 Suponha que o sólido tenha densidade constante k 43 Encontre os momentos de inércia para um cubo com comprimento de lado L se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados 44 Encontre os momentos de inércia de um tijolo retangular com dimensões a b e c e massa M se o centro do tijolo está localizado na origem e as arestas são paralelas aos eixos coordenados 45 Encontre o momento de inércia em relação ao eixo z do cilindro sólido x2 y2 a2 0 z h 46 Encontre o momento de inércia em relação ao eixo z do cone sólido x2 y2 z h 4748 Escreva mas não calcule as expressões integrais para a a massa b o centro de massa e c o momento de inércia em relação ao eixo z 47 O sólido do Exercício 21 ρx y z x2 y2 48 O hemisfério x2 y2 z2 1 z 0 ρx y z x2 y2 z2 49 Seja E o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos y z x 0 e z 0 com função densidade ρx y z 1 x y z Use um sistema de computação algébrica para determinar os valores exatos das seguintes quantidades para E a A massa b O centro de massa c O momento de inércia em relação ao eixo z 50 Se E é o sólido do Exercício 18 com função densidade ρx y z x2 y2 determine as seguintes quantidades com precisão de três casas decimais a A massa b O centro de massa c O momento de inércia em relação ao eixo z 51 A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X Y e Z é fx y z Cxyz se 0 x 2 0 y 2 0 z 2 e fx y z 0 caso contrário a Determine o valor da constante C b Determine PX 1 Y 1 Z 1 c Determine PX Y Z 1 52 Suponha que X Y e Z sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta fx y z Ce05x202y201z2 se x 0 y 0 z 0 e fx y z 0 caso contrário a Determine o valor da constante C b Determine PX 1 Y 1 c Determine PX 1 Y 1 Z 1 5354 O valor médio de uma função fx y z em uma região sólida E é definido como fmed 1VE E fx y z dV onde VE é o volume de E Por exemplo se ρ é a função densidade então ρmed é a densidade média de E 49 SCA 39 Abaixo da superfície z x2 y4 xy2 e acima da região limitada pelas curvas y x3 x e y x2 x para x 0 53 Determine o valor médio da função fx y z xyz no cubo com lados de comprimento L que está no primeiro octante com um vértice na origem e arestas paralelas aos eixos coordenados 54 Encontre o valor médio da função fx y z x2 z y2 z na região limitada pelo paraboloide z 1 x2 y2 e pelo plano z 0 55 a Determine a região E para a qual a integral tripla E 1 x2 2y2 3z2 dV é máxima b Use um sistema de computação algébrica para calcular o valor máximo exato da integral tripla na parte a PROJETO DE DESCOBERTA VOLUMES DE HIPERESFERAS Neste projeto determinaremos as fórmulas para o volume limitado por uma hiperesfera em um espaço ndimensional 1 Utilize uma integral dupla e substituições trigonométricas juntamente com a Fórmula 64 da Tabela de Integrais para determinar a área do círculo de raio r 2 Use uma integral tripla e substituições trigonométricas para determinar o volume da esfera de raio r 3 Utilize uma integral quádrupla para determinar o hipervolume limitado pela hiperesfera x2 y2 z2 w2 r2 em R4 Use somente substituição trigonométrica e fórmulas de redução para senn x dx ou cosn x dx 4 Use uma integral nupla para determinar o volume limitado por uma hiperesfera de raio r no espaço ndimensional Rn Sugestão As fórmulas são diferentes para n par e n ímpar 158 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Em geometria plana o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões Veja a Seção 103 A Figura 1 nos permite relembrar a ligação entre coordenadas polares e cartesianas Se o ponto P tiver coordenadas cartesianas x y e coordenadas polares r θ então a partir da figura x r cos θ y r sen θ r2 x2 y2 tg θ yx Em três dimensões há um sistema de coordenadas chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente Como veremos algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas Coordenadas Cilíndricas No sistema de coordenadas cilíndricas um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada r θ z onde r e θ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy a P Veja a Figura 2 Para convertermos de coordenadas cilíndricas para retangulares usamos as equações 1 x r cos θ y r sen θ z z enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos 2 r2 x2 y2 tg θ yx z z 40 Entre os paraboloides z 2x2 y2 e z 8 x2 2y2 e dentro do cilindro x2 y2 1 EXEMPLO 1 a Marque o ponto com coordenadas cilíndricas 2 2π3 1 e encontre suas coordenadas retangulares b Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares 3 3 7 SOLUÇÃO a O ponto com coordenadas cilíndricas 2 2π3 1 está marcado na Figura 3 Das Equações 1 suas coordenadas retangulares são x 2 cos 2π3 2 12 1 y 2 sen 2π3 2 32 3 z 1 Logo o ponto é 1 3 1 em coordenadas retangulares b Das Equações 2 temos r 32 32 32 tg θ 33 1 logo θ 7π4 2nπ z 7 Portanto um conjunto de coordenadas cilíndricas é 32 7π4 7 Outro é 32 π4 7 Como no caso das coordenadas polares existem infinitas escolhas Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo z é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria Por exemplo o eixo do cilindro circular com equação cartesiana x2 y2 c2 é o eixo z Em coordenadas cilíndricas este cilindro tem a equação muito simples r c Veja a Figura 4 Esta é a razão para o nome coordenadas cilíndricas EXEMPLO 2 Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é z r SOLUÇÃO A equação diz que o valor z ou altura de cada ponto da superfície é o mesmo que r a distância do ponto ao eixo z Como θ não aparece ele pode variar Assim qualquer corte horizontal no plano z k k 0 é um círculo de raio k Esses cortes sugerem que a superfície é um cone Essa previsão pode ser confirmada convertendo a equação para coordenadas retangulares Da primeira equação em 2 temos z2 r2 x2 y2 Reconhecemos a equação z2 x2 y2 pela comparação com a Tabela 1 na Seção 126 como o cone circular cujo eixo é o eixo z Veja a Figura 5 Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilíndricas Suponha que E seja uma região do tipo 1 cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares veja a Figura 6 Em particular suponha que f seja contínua e E x y z x y D u1x y z u2x y 41 Limitado por z 1 x2 y2 e z 0 EXEMPLO 1 a Marque o ponto com coordenadas cilíndricas 2 2π3 1 e encontre suas coordenadas retangulares b Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares 3 3 7 SOLUÇÃO a O ponto com coordenadas cilíndricas 2 2π3 1 está marcado na Figura 3 Das Equações 1 suas coordenadas retangulares são x 2 cos 2π3 2 12 1 y 2 sen 2π3 2 32 3 z 1 Logo o ponto é 1 3 1 em coordenadas retangulares b Das Equações 2 temos r 32 32 32 tg θ 33 1 logo θ 7π4 2nπ z 7 Portanto um conjunto de coordenadas cilíndricas é 32 7π4 7 Outro é 32 π4 7 Como no caso das coordenadas polares existem infinitas escolhas Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo z é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria Por exemplo o eixo do cilindro circular com equação cartesiana x2 y2 c2 é o eixo z Em coordenadas cilíndricas este cilindro tem a equação muito simples r c Veja a Figura 4 Esta é a razão para o nome coordenadas cilíndricas EXEMPLO 2 Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é z r SOLUÇÃO A equação diz que o valor z ou altura de cada ponto da superfície é o mesmo que r a distância do ponto ao eixo z Como θ não aparece ele pode variar Assim qualquer corte horizontal no plano z k k 0 é um círculo de raio k Esses cortes sugerem que a superfície é um cone Essa previsão pode ser confirmada convertendo a equação para coordenadas retangulares Da primeira equação em 2 temos z2 r2 x2 y2 Reconhecemos a equação z2 x2 y2 pela comparação com a Tabela 1 na Seção 126 como o cone circular cujo eixo é o eixo z Veja a Figura 5 Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilíndricas Suponha que E seja uma região do tipo 1 cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares veja a Figura 6 Em particular suponha que f seja contínua e E x y z x y D u1x y z u2x y onde D é dado em coordenadas polares por Sabemos da Equação 1576 que 3 E fxyz dV D u2xy fxyz dz u1xy dA Mas também sabemos como calcular integrais duplas em coordenadas polares De fato combinando a Equação 3 com a Equação 1543 obtemos 4 E fxyz dV αβ hjθh1θ ju1r cosθ r senθ ju2r cosθ r senθ fr cosθr senθz r dz dr dθ A Fórmula 4 é a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas escrevendo x r cosθ y r senθ e deixando z como está utilizando os limites apropriados de integração para z r e θ e trocando dV por r dz dr dθ A Figura 7 mostra como lembrar disto É recomendável a utilização dessa fórmula quando E for uma região sólida cuja descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas e especialmente quando a função fxyz envolver a expressão x2 y2 EXEMPLO 3 Um sólido E está contido no cilindro x2 y2 1 abaixo do plano z 4 e acima do paraboloide z 1 x2 y2 Veja a Figura 8 A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro Determine a massa de E SOLUÇÃO Em coordenadas cilíndricas o cilindro é r 1 e o paraboloide é z 1 r2 e podemos escrever E r θ z 0 θ 2π 0 r 1 1 r2 z 4 Como a densidade em xyz é proporcional à distância do eixo z a função densidade é fxyz Kx2 y2 Kr onde K é a constante de proporcionalidade Portanto da Fórmula 15713 a massa de E é m E Kx2 y2 dV 02π 01 1r24 Kr r dz dr dθ 02π 01 Kr2 4 1 r2 dr dθ K 02π dθ 01 3r2 r4 dr FIGURA 7 Elemento de volume em coordenadas cilíndricas dV r dz dr dθ FIGURA 8 42 Limitado por z x2 y2 e z 2y 2πK r3 r55 01 12πK5 EXEMPLO 4 Calcule 22 4x24x2 x2y2x2 y2 dz dy dx SOLUÇÃO Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região sólida E xyz 2 x 2 4x2 y 4x2 x2 y2 z 2 e a projeção de E sobre o plano xy é o disco x2 y2 4 A superfície inferior de E é o cone z x2 y2 e a superfície superior é o plano z 2 Veja a Figura 9 Essa região tem uma descrição muito mais simples em coordenadas cilíndricas E r θ z 0 θ 2π 0 r 2 r z 2 Portanto temos 22 4x24x2 x2 y2 dz dy dx E x2 y2 dV 02π 02 r2 r r2 r dz dr dθ 02π dθ 02 r3 2 r dr 2π 12 r4 15 r502 165 π FIGURA 9 158 Exercícios 12 Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas A seguir encontre as coordenadas retangulares do ponto 1 a 4 π3 2 b 2 π2 1 2 a 2 3π4 2 b 1 1 1 34 Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas 3 a 111 b 2 233 4 a 2321 b 432 56 Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada 5 θ π4 6 r 5 78 Identifique a superfície cuja equação é dada 7 z 4 r2 8 2r2 z2 1 910 Escreva as equações em coordenadas cilíndricas 9 a x2 x y2 1 b z x2 y2 10 a 3x 2y z 6 b x2 y2 z2 1 1112 Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas 11 0 r 2 π2 θ π2 0 z 1 12 0 θ π2 r z 2 13 Uma casca cilíndrica tem 20 cm de comprimento com raio interno 6 cm e raio externo 7 cm Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca 14 Use uma ferramenta gráfica para desenhar o sólido limitado pelos paraboloides z x2 y2 e z 5 x2 y2 1516 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calculea 15 π2π2 02 0r r dz dr dθ 16 02π 0r 0r r dz dθ dr 1728 Utilize coordenadas cilíndricas 17 Calcule E x2 y2 dV onde E é a região que está dentro do cilindro x2 y2 16 e entre os planos z 5 e z 4 18 Calcule E z dV onde E é limitado pelo paraboloide z x2 y2 e o plano z 4 19 Calcule E x y z dV onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z 4 x2 y2 20 Calcule E x dV onde E é limitado pelos planos z 0 e z x y 5 e pelos cilindros x2 y2 4 e x2 y2 9 21 Calcule E x2 dV onde E é o sólido que está dentro do cilindro x2 y2 1 acima do plano z 0 e abaixo do cone z2 4x2 4y2 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 4348 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração 22 Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro x2 y2 1 como da esfera x2 y2 z2 4 23 Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z x2 y2 e abaixo da esfera x2 y2 z2 2 24 Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z x2 y2 e a esfera x2 y2 z2 2 25 a Encontre o volume da região E limitada pelos paraboloides z x2 y2 e z 36 3x2 3y2 b Encontre o centroide do E centro de massa no caso em que a densidade é constante 26 a Determine o volume do sólido que o cilindro r a cosθ corta da esfera de raio a centrada na origem b Ilustre o sólido da parte a desenhando a esfera e o cilindro na mesma tela 27 Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z 4x2 4y2 e pelo plano z a a 0 se S tem densidade constante K 28 Determine a massa da bola B dada por x2 y2 z2 a2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z 2930 Calcule a integral transformando para coordenadas cilíndricas 29 22 4y24y2 x2y2 xz dz dx dy 30 33 9x2y20 9x2y20 x2 y2 dz dy dx 31 Quando estudam a formação de cordilheiras os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto P seja gP e a altura seja hP a Determine a integral definida que representa o trabalho total exercido para formar a montanha b Assuma que o monte Fuji no Japão tenha o formato de um cone circular reto com raio de 19 000 m altura de 3 800 m e densidade constante de 3 200 kgm3 Quanto trabalho foi feito para formar o monte Fuji se a terra estivesse inicialmente ao nível do mar PROJETO DE LABORATÓRIO A INTERSECÇÃO DE TRÊS CILINDROS A figura mostra o sólido limitado por três cilindros circulares de mesmo diâmetro que se interceptam em ângulos retos Neste projeto vamos calcular seu volume e determinar como sua forma varia quando os cilindros têm diâmetros diferentes 1 Esboce cuidadosamente o sólido limitado pelos três cilindros x2 y2 1 x2 z2 1 e y2 z2 1 Indique as posições dos eixos coordenados e rotule as faces com as equações dos cilindros correspondentes 2 Determine o volume do sólido do Problema 1 3 Utilize um sistema de computação algébrica para desenhar as arestas do sólido 4 O que aconteceria ao sólido do Problema 1 se o raio do primeiro cilindro fosse diferente de 1 Ilustre com um desenho à mão livre ou com um gráfico no computador 5 Se o primeiro cilindro for x2 y2 a2 onde a 1 escreva mas não calcule uma integral dupla que forneça o volume do sólido E se a 1 É necessário usar um sistema de computação algébrica 43 01 0y fx y dy dx 159 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas ou cones Coordenadas Esféricas As coordenadas esféricas ρ θ ϕ de um ponto P no espaço são mostradas na Figura 1 onde ρ OP é a distância da origem a P θ é o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas e ϕ é o ângulo entre o eixo z positivo e o segmento de reta OP Observe que ρ 0 0 ϕ π O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto Por exemplo a esfera com centro na origem e raio c tem a equação simples ρ c veja a Figura 2 essa é a razão do nome coordenadas esféricas O gráfico da equação θ c é um semiplano vertical veja a Figura 3 e a equação ϕ c representa um semicone com o eixo z como seu eixo veja a Figura 4 FIGURA 1 As coordenadas esféricas de um ponto FIGURA 2 ρ c uma esfera FIGURA 3 θ c um semiplano FIGURA 4 ϕ c um cone A relação entre coordenadas esféricas e retangulares pode ser vista na Figura 5 Dos triângulos OPQ e OPP temos z ρ cos ϕ r ρ sen ϕ Mas x r cos θ e y r sen θ de modo que para converter de coordenadas esféricas para retangulares usamos as equações 1 x ρ sen ϕ cos θ y ρ sen ϕ sen θ z ρ cos ϕ Além disso a fórmula da distância mostra que 2 ρ² x² y² z² Usamos essa equação para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas EXEMPLO 1 O ponto 2 π4 π3 é dado em coordenadas esféricas Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares SOLUÇÃO Marcamos o ponto na Figura 6 Das Equações 1 temos FIGURA 5 FIGURA 6 44 02 x4 fx y dy dx y ρ sen ϕ sen θ 2 sen π3 sen π4 2 32 12 32 z ρ cos ϕ 2 cos π3 212 1 Logo o ponto 2 π4 π3 é 32 32 1 em coordenadas retangulares ATENÇÃO Não existe uma convenção universal na notação de coordenadas esféricas A maioria dos livros de física troca os significados de θ e ϕ e usa r no lugar de ρ EXEMPLO 2 O ponto 0 23 2 está dado em coordenadas retangulares Encontre coordenadas esféricas para este ponto SOLUÇÃO Da Equação 2 temos ρ x² y² z² 0 12 4 4 e assim as Equações 1 fornecem cos ϕ zρ 24 12 ϕ 2π3 cos θ xρ sen ϕ 0 θ π2 Observe que θ 3π2 porque y 23 0 Portanto as coordenadas esféricas do ponto dado são 4 π2 2π3 TEC Em Module 159 você pode investigar famílias de superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Esféricas Neste sistema de coordenadas o correspondente à caixa retangular é uma cunha esférica E ρ θ ϕ a ρ b α θ β c ϕ d onde a 0 β α 2π e d c π Apesar de termos definido as integrais triplas dividindo sólidos em pequenas caixas podemos mostrar que dividindo o sólido em pequenas cunhas esféricas obtemos sempre o mesmo resultado Assim dividiremos E em pequenas cunhas esféricas Eijk por meio de esferas igualmente espaçadas ρ ρi semiplanos θ θj e semicones ϕ ϕk A Figura 7 mostra que Eijk é aproximadamente uma caixa retangular com dimensões Δρ ρi Δϕ arco de circunferência de raio ρi e ângulo Δϕ e ρi sen ϕk Δθ arco de circunferência de raio ρi sen ϕk e ângulo Δθ Logo uma aproximação do volume de Eijk é dada por ΔVijk Δρρi Δϕρi sen ϕk Δθ ρi² sen ϕk Δρ Δθ Δϕ FIGURA 7 De fato pode ser mostrado com a ajuda do Teorema do Valor Médio Exercício 47 que o valor exato do volume de Eijk é dado por ΔVijk ρi² sen ϕk Δρ Δθ Δϕ onde ρi θj ϕk é algum ponto em Eijk Sejam xijk yijk zijk as coordenadas retangulares desse ponto Então E fx y z dV limlmn Σi1l Σj1m Σk1n fxijk yijk zijk ΔVijk limlmn Σi1l Σj1m Σk1n fρi sen ϕk cos θj ρi sen ϕk sen θj ρi cos ϕk ρi² sen ϕk Δρ Δθ Δϕ Mas essa é uma soma de Riemann para a função Fρ θ ϕ fρ sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ ρ² sen ϕ 45 0π2 0cos x fx y dy dx Consequentemente chegamos à seguinte fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas 3 E fx y z dV cd αβ ab fρ sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ ρ² sen ϕ dρ dθ dϕ onde E é uma cunha esférica dada por E ρ θ ϕ a ρ b α θ β c ϕ d A Fórmula 3 nos diz que para converter uma integral tripla de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas escrevemos x ρ sen ϕ cos θ y ρ sen ϕ sen θ z ρ cos ϕ utilizando os limites de integração apropriados e substituindo dV por ρ² sen ϕ dρ dθ dϕ Isso é ilustrado na Figura 8 FIGURA 8 Elemento de volume em coordenadas esféricas dV ρ² sen ϕ dρ dθ dϕ Essa fórmula pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais como E ρ θ ϕ α θ β c ϕ d g₁θ ϕ ρ g₂θ ϕ Nesse caso a fórmula é a mesma que 3 exceto que os limites de integração para ρ são g₁θ ϕ e g₂θ ϕ Em geral as coordenadas esféricas são utilizadas nas integrais triplas quando superfícies como cones e esferas formam o limite da região de integração EXEMPLO 3 Calcule B ex²y²z²32 dV onde B é a bola unitária B x y z x² y² z² 1 SOLUÇÃO Como o limite de B é uma esfera utilizaremos coordenadas esféricas B ρ θ ϕ 0 ρ 1 0 θ 2π 0 ϕ π Além disso as coordenadas esféricas são convenientes pois x² y² z² ρ² Portanto 3 fornece B ex²y²z²32 dV 01 02π 0π ep232 ρ² sen ϕ dρ dθ dϕ 46 22 4x2 fx y dx dy ₀ᵖ sen ϕ dϕ ₀²π dθ ₀¹ ρ²eρ³ dρ cos ϕ₀ᵖ 2π 13 eρ³₀¹ 43 π e 1 OBSERVAÇÃO Seria extremamente complicado calcular a integral do Exemplo 3 sem coordenadas esféricas Com coordenadas retangulares a integral iterada seria ¹¹ ¹ˣ² ¹ˣ² ¹ˣ²ʸ² ¹ˣ²ʸ² eˣ²ʸ²ᶻ²³² dz dy dx EXEMPLO 4 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z ˣ²ʸ² e abaixo da esfera x² y² z² z Veja a Figura 9 FIGURA 9 SOLUÇÃO Observe que a esfera passa pela origem e tem centro em 0 0 ½ Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como ρ² ρ cos ϕ ou ρ cos ϕ A equação do cone pode ser escrita como ρ cos ϕ ρ² sen² ϕ cos² θ ρ² sen² ϕ sen² θ ρ sen ϕ Isto resulta em sen ϕ cos ϕ ou ϕ π4 Portanto a descrição do sólido E em coordenadas esféricas é E ρ θ ϕ 0 θ 2π 0 ϕ π4 0 ρ cos ϕ A Figura 11 mostra como E é apagado se integramos primeiro em relação a ρ depois em relação a ϕ e então em relação a θ O volume de E é VE ₑ dV ₀²π ₀π4 ₀cosϕ ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ ₀²π dθ ₀π4 sen ϕ ρ³3₀ˡ cos ϕ dϕ 2π3 ₀π4 sen ϕ cos³ ϕ dϕ 2π3 cos⁴ ϕ4₀ˡ π4 π8 A Figura 10 mostra uma visão desta vez utilizando o MAPLE do sólido do Exemplo 4 FIGURA 10 TEC Visual 159 mostra uma animação da Figura 11 47 1ln x 01 fx y dy dx FIGURA 11 ρ varia de 0 a cos ϕ enquanto ϕ e θ são constantes ϕ varia de 0 a π4 enquanto θ é constante θ varia de 0 a 2π 159 Exercícios 12 Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas A seguir encontre as coordenadas retangulares do ponto 1 a 6 π3 π6 b 3 π2 3π4 2 a 2 π2 π2 b 4 π4 π3 34 Mude de coordenadas retangulares para esféricas 3 a 0 2 0 b 1 1 2 4 a 10 3 b 3 1 23 56 Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada 5 ϕ π3 6 ρ 3 78 Identifique a superfície cuja equação é dada 7 ρ sen θ sen ϕ 8 ρ²sen² ϕ sen² θ cos² ϕ 9 910 Escreva a equação em coordenadas esféricas 9 a z² x² y² b x² z² 9 10 a x² 2x y² z² 0 b x 2y 3z 1 1114 Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas 11 2 ρ 4 0 ϕ π3 0 θ π 12 1 ρ 2 0 ϕ π2 π2 θ 3π2 13 ρ 1 3π4 ϕ π 14 ρ 2 ρ cossec ϕ 15 Um sólido está cima do cone z ˣ²ʸ² e abaixo da esfera x² y² z² z Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas 16 a Determine desigualdades que descrevem uma bola oca com diâmetro de 30 cm e espessura de 05 cm Explique como você posicionou o sistema de coordenadas b Suponha que a bola seja cortada pela metade Escreva desigualdades que descrevam uma das metades 1718 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calculea 17 ₀π6 ₀π2 ₀³ ρ² sen ϕ dρ dθ dϕ 18 ₀²π π2⁰ ¹₀ ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ 1920 Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária fx yz em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado 19 20 2134 Utilize coordenadas esféricas 21 Calcule ᵦ x² y² z²² dV onde B é a bola com centro na origem e raio 5 22 Calcule ₕ 9 x² y² dV onde H é o hemisfério sólido x² y² z² 9 z 0 23 Calcule ₑ x² y² dV onde E está entre as esferas x² y² z² 4 e x² y² z² 9 24 Calcule ₑ y² dV onde E é o hemisfério sólido x² y² z² 9 z 0 25 Calcule ₑ xeˣʸᶻ² dV onde E é a porção da bola unitária x² y² z² 1 que fica no primeiro octante 26 Calcule ₑ xyz dV onde E fica entre as esferas ρ 2 e ρ 4 e acima do cone ϕ π3 27 Encontre o volume da parte da bola ρ a a que está entre os cones ϕ π6 e ϕ π3 28 Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a a seu centro É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica 48 01 arctg xπ4 fx y dy dx 29 a Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ π3 e abaixo da esfera ρ 4 cos ϕ b Encontre o centroide do sólido na parte a 30 Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x² y² z² 4 acima do plano xy e abaixo do cone z ˣ²ʸ² 31 a Encontre o centroide do sólido no Exemplo 4 b Encontre o momento de inércia em torno do eixo z para este sólido 32 Seja H um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base a Determine a massa de H b Determine o centro de massa de H c Determine o momento de inércia de H em relação a seu eixo 33 a Determine o centroide do hemisfério sólido homogêneo de raio a b Determine o momento de inércia do sólido da parte a em relação a um diâmetro de sua base 34 Determine a massa e o centro de massa do hemisfério sólido de raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base 3538 Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas utilize a que lhe parecer mais apropriada 35 Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z ˣ²ʸ² e abaixo da esfera x² y² z² 1 36 Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de π6 37 Calcule ẑₑ z dV onde E está acima do paraboloide z x² y² e abaixo do plano z 2y Utilize a Tabela de Integrais veja as Páginas de Referência 611 ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral 38 a Determine o volume limitado pelo toro ρ sen ϕ b Utilize um computador para desenhar o toro 3941 Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas 39 ₀¹ ¹ˣ² ¹ˣ² ¹ˣ²ʸ² ¹ˣ²ʸ² xy dz dy dx 40 ₐₐ ᵃ²ʸ² ᵃ²ʸ² ᵃ²ˣ²ʸ² ᵃ²ˣ²ʸ² x² y² z³ dz dx dy 41 ²² ⁴ˣ² ⁴ˣ² ⁴ˣ²ʸ² ⁴ˣ²ʸ² x² y² z²³² dz dx dy 42 Um modelo para a densidade δ da atmosfera terrestre próxima à superfície é δ 61909 0000097ρ onde ρ a distância do centro da Terra é medido em metros e δ é medido em quilogramas por metro cúbico Se tomarmos a superfície da Terra como uma esfera com raio de 6 370 km então este modelo é razoável para 6 370 x 106 ρ 6 375 x 106 Use este modelo para estimar a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km 43 Use uma ferramenta gráfica para desenhar um silo que consista em um cilindro de raio 3 e altura 10 com um hemisfério no topo 44 A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas ρ θ ϕ como a seguir Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo z passando pelo polo norte O eixo x positivo passa pelo ponto onde o meridiano principal o meridiano por Greenwich na Inglaterra intercepta o equador Então a latitude de P é α 90 ϕ e a longitude é β 360 θ Encontre a distância sobre um círculo máximo de Los Angeles lat 3406N long 11825W a Montreal lat 4550N long 7360W Tome o raio da Terra como 6 370 km Um círculo máximo é o círculo de interseção de uma esfera com um plano que passe pelo centro da esfera 45 As superfícies ρ 1 15 sen mθ sen nϕ têm sido usadas para modelar tumores A esfera rugosa com m 6 e n 5 está mostrada Utilize um sistema de computação algébrica para determinar seu volume 46 Mostre que x² y² z² ex² y² z² dx dy dz 2π A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente 47 a Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera r² z² a² e por baixo pelo cone z r cotg ϕ₀ ou ϕ ϕ₀ onde 0 ϕ₀ π2 é V 2πa³3 1 cos ϕ₀ b Deduz a que o volume da cunha esférica dada por ρ₁ ρ ρ₂ θ₁ θ θ₂ ϕ₁ ϕ ϕ₂ é ΔV ρ₂³ ρ₁³3 cos ϕ₁ cos ϕ₂θ₂ θ₁ c Utilize o Teorema do Valor Médio para mostrar que o volume da parte b pode ser escrito como ΔV ρ² sen ϕ Δρ Δθ Δϕ onde ρ está entre ρ₁ e ρ₂ ϕ está entre ϕ₁ e ϕ₂ Δρ ρ₂ ρ₁ Δθ θ₂ θ₁ e Δϕ ϕ₂ ϕ₁ 4954 Calcule a integral trocando a ordem de integração 49 01 3yx ex2 dx dy 50 0π yπ cosx2 dx dy 51 01 x2 1y3 1 dy dx 52 01 x1 exy dy dx 53 01 arcsenπ2 cos x 1 cos2 x dx dy 54 08 y2y ex4 dx dy 5556 Expresse D como a união de regiões do tipo I ou do tipo II e calcule a integral 55 D x2 dA 52 D y dA 5758 Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral 57 Q ex2y2 dA Q é o quarto de círculo com centro na origem e raio 12 no primeiro quadrante 58 T sen4x y dA T é o triângulo limitado pelas retas y 0 y 2x e x 1 5960 Encontre o valor médio de f na região D 59 fx y xy D é o triângulo com vértices 0 0 1 0 e 1 3 60 fx y x sen y D é limitada pelas curvas y 0 y x2 e x 1 61 Demonstre a Propriedade 11 62 No cálculo de uma integral dupla sobre uma região D obtivemos uma soma de integrais iteradas como a que segue D fx y dA 01 02y fx y dx dy 03 03y fx y dx dy Esboce a região D e expresse a integral dupla como uma integral iterada com ordem de integração contrária 6367 Use a geometria ou simetria ou ambas para calcular a integral dupla 63 D x 2 dA D x y 0 y 9 x2 64 D R2 x2 y2 dA D é o disco com centro na origem e raio R 65 D 2x 3y dA D é o retângulo 0 x a 0 y b 66 D 2 x2 y3 y2 sen x dA D x y x y 1 67 D ax3 by3 a2 x2 dA D a a b b SCA 68 Desenhe o sólido limitado pelo plano x y z 1 e pelo paraboloide z 4 x2 y2 e determine seu volume exato Utilize seu SCA para fazer esse desenho para achar as equações dos limites da região de integração e para calcular a integral dupla 154 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Suponha que queiramos calcular a integral dupla R fx y dA onde R é uma das regiões mostradas na Figura 1 Em qualquer dos casos a descrição de R é complicada em coordenadas retangulares mas a descrição de R fica mais fácil utilizandose coordenadas polares FIGURA 1 a R r θ 0 r 1 0 θ 2π b R r θ 1 r 2 0 θ π Lembrese a partir da Figura 2 de que as coordenadas polares r θ de um ponto estão relacionadas com as coordenadas retangulares x y pelas equações r2 x2 y2 x r cos θ y r sen θ Veja a Seção 103 As regiões da Figura 1 são casos especiais de um retângulo polar R r θ a r b α θ β que é apresentado na Figura 3 Para calcularmos a integral dupla R fx y dA onde R é um retângulo polar dividimos o intervalo a b em m subintervalos ri1 ri de larguras iguais Δr b am e dividimos o intervalo α β em n subintervalos θj1 θj de larguras iguais Δθ β αn Então os círculos r ri e os raios θ θj dividem o retângulo polar R nos retângulos polares menores Rij mostrados na Figura 4 FIGURA 3 Retângulo polar FIGURA 4 Divisão de R em subretângulos polares O centro do subretângulo polar Rij r θ ri1 r ri θj1 θ θj tem coordenadas polares ri 12 ri1 ri θj 12 θj1 θj Calculamos a área de Rij usando o fato de que a área de um setor de círculo de raio r e ângulo central θ é 12 r2 θ Subtraindo as áreas de dois desses setores cada um deles com ângulo central Δθ θj θj1 descobrimos que a área de Rij é ΔAi 12 ri2 Δθ 12 ri12 Δθ 12 ri2 ri12 Δθ 12 ri ri1ri ri1 Δθ ri Δr Δθ Apesar de termos definido a integral dupla R fx y dA em termos de retângulos convencionais podemos mostrar que para as funções contínuas f obtemos a mesma resposta usando retângulos polares As coordenadas retangulares do centro de Rij são ri cos θj ri sen θj portanto uma soma de Riemann típica é 1 Σi1m Σj1n fri cos θj ri sen θj ΔAi Σi1m Σj1n fri cos θj ri sen θj ri Δr Δθ Se escrevermos gr θ rfr cos θ r sen θ a soma de Riemann na Equação 1 pode ser reescrita como Σi1m Σj1n gri θj Δr Δθ que é a soma de Riemann para a integral dupla αβ ab gr θ dr dθ Portanto temos R fx y dA limmn Σi1m Σj1n fri cos θj ri sen θj ΔAi limmn Σi1m Σj1n gri θj Δr Δθ αβ ab gr θ dr dθ