Lista - Calculo 2 Derivação Implícita e Derivadas Direcionais

Nome DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 1040 Seja z fx y dada pela equação 4x²y z cos4xy 4 Determine as derivadas parciais de z de duas formas diferentes primeiramente de forma implícita e após explicitando a função z 2060 Calcule zx e zy onde z f x y é definida pela equação a x² y² z² 1 b xy1 x y z² 0 c xz² 3yz cos z 0 3020 Um gás ideal obedece a seguinte lei PV kT sendo k constante e P V e T respectivamente a pressão o volume e a temperatura Deduza a relação PV VT TP 1 DERIVADAS DIRECIONAIS 4030 Suponha que fx y z 4x³ y⁴ x²z² dá a concentração de sal num fluido no ponto x y z e que você está localizado no ponto 1 1 1 a Em que direção você deve ir se quiser que a concentração cresça mais depressa b Qual é a taxa de concentração máxima obtida na direção do vetor do item a c Qual é a taxa de concentração obtida quando você está na direção do vetor i 2j k 5030 Calcule a derivada direcional fui nos seguintes casos a fx y z ey sen x 13 e3y sen 3x z² P0 π3 0 1 e ū 12 i 22 j 12 k b fx y z x²y 3yz² P0 1 1 1 e ū 13 i 23 j 23 k c fx y z ln x² y² z² P0 1 1 1 e ū 23 i 13 j 23 k 6020 Calcule o valor máximo da derivada direcional da função w f x y z no ponto P0 a w x² y² z²1 P0 1 2 3 b w ex cos yz P0 1 0 π QUESTÃO 1 Considere Fx y z 4x² y z cos 4xy 4 0 A função pedida é z f x y Forma implícita Quando z depende de x e y vale o diferencial total dF Fx dx Fy dy Fz dz 0 logo mantendo y constante para obter zx Fx Fz zx 0 zx FxFz e mantendo x constante para obter zy Fy Fz zy 0 zy FyFz Calculamse as derivadas parciais de F Fx x 4x² y cos 4xy 8xy sin 4xy 4y 8xy 4y sin 4xy Fy y 4x² y cos 4xy 4x² sin 4xy 4x 4x² 4x sin 4xy Fz z z 1 Substituindo nas fórmulas anteriores zx 8xy 4y sin 4xy1 8xy 4y sin 4xy y 4 sin 4xy 8x zy 4x² 4x sin 4xy1 4x² 4x sin 4xy 4x sin 4xy x Forma explícita Da equação implícita z 4 4x² y cos 4xy Agora derivando diretamente zx x 4 4x² y cos 4xy 8xy x cos 4xy 8xy 4y sin 4xy zy y 4 4x² y cos 4xy 4x² y cos 4xy 4x² 4x sin 4xy As duas abordagens concordam zx 8xy 4y sin 4xy zy 4x² 4x sin 4xy QUESTÃO 2 Considere z f x y dada implicitamente por F x y z 0 Pelo diferencial total quando z depende de x e y dF Fx dx Fy dy Fz dz 0 Mantendo y constante obtémse zx e mantendo x constante obtémse zy zx FxFz zy FyFz Usase essa fórmula porque sob a restrição F 0 toda variação admissível deve satisfazer dF 0 isolar dz com dx ou dy fixos fornece diretamente as derivadas parciais sem precisar explicitar z Item a x² y² z² 1 Aqui F x y z x² y² z² 1 Então Fx 2x Fy 2y Fz 2z Aplicando as fórmulas zx 2x2z xz zy 2y2z yz Item b xy1 x y z² 0 Tomase F x y z xy1 x y z² Calculando as parciais Fx y 2xy y² Fy x x² 2xy Fz 2z Logo zx y 2xy y22z y1 2x y2z zy x x2 2xy2z x1 x 2y2z Item c x2 3yz cos z 0 Definese Fxyz x2 3yz cos z Então Fx 2x Fy 3z Fz 2xy 3y sin z Portanto zx x22xy 3y sin z zy 3z2xy 3y sin z 3z2xy 3y sin z QUESTÃO 3 Seja o gás ideal descrito por PV kT em que k é constante O objetivo é deduzir a identidade cíclica PVT VTP TPV 1 Os subscritos indicam qual variável é mantida constante na derivação parcial Primeiro reescrevemse as três formas explícitas equivalentes fornecidas pela equação de estado P kTV V kTP T PVk Derivando cada expressão na variável indicada mantendo o subscrito constante Mantendo T constante PVT V kTV kTv2 PV Mantendo P constante VTP T kTP kP Mantendo V constante TPV P PVk Vk Multiplicando as três derivadas e usando novamente a própria equação de estado PV kT para simplificar PV kP Vk 1 QUESTÃO 4 Considere fxyz 4x3 y4 x2z2 e o ponto 1 1 1 A taxa de variação direcional é dada por Dufr0 fr0 u onde u é um vetor na direção desejada Usase essa fórmula porque para funções diferenciáveis o gradiente aponta a direção de crescimento mais rápido e seu módulo fornece a taxa máxima Calculamse as derivadas parciais fx 12x2 2xz2 fy 4y3 fz 2x2z Logo no ponto 1 1 1 f1 1 1 12 12 2 1 12 4 13 2 12 1 10 4 2 Item a A direção em que a concentração cresce mais depressa é a do gradiente normalizado f1 1 1 102 42 22 120 230 umax f1 1 1f1 1 1 10 4 2 230 530 230 130 Item b A taxa de concentração máxima é o módulo do gradiente no ponto max Duf f1 1 1 230 Item c Para a direção do vetor v 1 2 1 seu vetor é u vv 1 2 1 12 22 12 1 2 16 A taxa de concentração nessa direção é Duf f1 1 1 u 10 4 2 1 2 16 10 8 26 46 QUESTÃO 5 A derivada direcional de f no ponto r0 na direção do vetor u é Dufr0 fr0 u pois para funções diferenciáveis o gradiente fornece a direção de maior crescimento e o produto escalar com um vetor projeta a variação na direção desejada Item a fxyz ey sin x 43 e3y sin3x z2 P0π3 0 1 u 12 22 12 fx ey cos x e3y cos3x fy ey sin x e3y sin3x fz 2z Em P0 temse e0 1 sinπ3 32 cosπ3 12 sinπ 0 cosπ 1 fP0 12 1 32 0 2 12 32 2 Logo Diu fPo 12 32 2 12 22 12 14 64 1 5 64 Item b fx y z x²y 3yz² Po1 1 1 ũ 13 23 23 fx 2xy fy x² 3z² fz 6yz Em Po fx 2 fy 4 fz 6 Assim Diu fPo 2 4 6 13 23 23 23 83 123 223 Item c fx y z lnx² y² z² Po1 1 1 ũ 23 13 23 f 1x² y² z² 2 x y z Em Po x² y² z² 3 daí fPo 23 1 1 1 Portanto Diu fPo 23 1 1 1 23 13 23 23 13 29 QUESTÃO 6 Para uma função diferenciável u fx y z a derivada direcional máxima em um ponto Po é o módulo do gradiente nesse ponto maxũ1 Diu uPo uPo Essa propriedade decorre se Diu u u ũ u ũ cosθ cujo valor máximo ocorre quando ũ é paralelo a u θ 0 Item a u x² y² z²1 Po1 2 3 Em resumo r² x² y² z² u x r2 y r2 z r2 2r²² x y z o módulo é u 2r²² x² y² z² 2r³ No ponto dado r² 1 4 9 14 e r 14 Logo max Diu uPo 214³ 1714 Item b u ex cosyz Po1 0 π Calculamse as parciais ux ex cosyz uy z ex sinyz uz y ex sinyz Em Po temse yz 0 cos0 1 sin0 0 então uPo e 0 0 max Diu uPo uPo e Respostas a 1714 b e