Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Limites Gradientes e Derivadas

Questão 1 Determine e faça um esboço do domínio das funções a fxy ln xyx2 y2 b fxy xysqrt1x2y2 Questão 2 Determine e faça um esboço das curvas de nível k 0123 da função fxy x 2y2 Questão 3 Calcule os limites a lim xy00 x4 y4xy b lim xy00 sqrtx2 y2 4 2x2 y2 Questão 4 Mostre que não existe o limite lim xy00 x2 xyx2 y2 Questão 5 Determine o gradiente das funções a fxy x3 cos x x ln y b fxy x2 ln1 x2 y2 c fxyz x2 ye2 xz tg y Questão 6 Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de fxy 3x3 y xy no ponto 11f11 1 a fxy ln xyx2 y2 O domínio da função y ln x é x ℝ x 0 Então precisamos que xyx2 y2 0 Como o denominador x2 y2 0 então x y 0 logo x y Portanto o domínio de f é xy ℝ2 x y b fxy xysqrt1 x2 y2 O denominador deve ser diferente de zero Como está dentro da raiz ele deve ser 0 isto é 1 x2 y2 0 x2 y2 1 Portanto o domínio de f é xy ℝ2 x2 y2 1 2 fxy x 2y2 k x 2y2 k Esta é uma parábola com vértice no ponto k 0 e eixo horizontal 3 a lim xy00 x4 y4xy lim xy00 xyx3 x2 y x y2 y3xy lim xy00 x3 x2 y x y2 y3 0 b lim xy00 sqrtx2 y2 4 2x2 y2 lim xy00 sqrtx2 y2 4 2 sqrtx2 y2 4 2x2 y2sqrtx2 y2 4 2 lim xy00 x2 y2 4 4 x2 y2sqrtx2 y2 4 2 lim xy00 1sqrtx2 y2 4 2 1sqrt4 2 14 5 a fxy x3 cos x x ln y x 3x2 cos x x3 sin x ln y y xy grad f x y 3x2 cos x x3 sin x ln y xy b fxy x2 ln1 x2 y2 x 2x ln1 x2 y2 x2 2x1 x2 y2 y x2 2y1 x2 y2 4x31 x2 y2 2x2 y1 x2 y2 grad f 4x31 x2 y2 2x2 y1 x2 y2 c fxyz x2 y ez xz tg y x 2xy ez z tg y y x2 ez xz sec2 y z x2 y ez x tg y grad f 2xy ez z tg y x2 ez xz sec2 y x2 y ez x tg y 6 fxy 3x3y xy f11 3 13 1 11 3 1 2 Ponto P0 1 1 2 O gráfico é a superfície parametrizada por Φxy x y 3x3y xy Vetores tangentes Φx 1 0 9x2y y Φy 0 1 3x3 x Φx 1 1 2 1 0 9 12 1 1 1 0 9 1 1 0 8 Φy 1 1 2 0 1 3 03 0 0 1 0 Vetor normal N Φx Φy i j k 1 0 8 0 1 0 8 0 1 Plano tangente P P0 N 0 xyz 1 1 2 801 0 x1 y1 z2 801 0 x18 y1 0 z2 1 0 8x 8 z 2 0 8x z 6 0 Reta normal p P0 tN xyz 1 1 2 t 801 1 8t 1 2 t x 1 8t y 1 z 2 t 7 fxyz fx0 y0 z0 fx x0 y0 z0 xx0 fy x0 y0 z0 yy0 fz x0 y0 z0 zz0 x0 y0 z0 3 2 6 fxyz x2 y2 z2 fx 12 x2 y2 z212 2x xx2 y2 z2 fx 326 3 32 22 62 37 y y x2 y2 z2 y 326 27 z z x2 y2 z2 z 326 67 fxyz 32 22 62 37 x3 27 y2 67 z6 7 17 3x3 2y2 6z6 f302 197 599 7 17 3 002 2 403 5 001 7 17 006 096 205 7 2957 6993 8 fxy y ex xy 04 θ π3 x y ex x 04 4 e0 4 y ex y 04 e0 1 grad f 41 O vetor unitário na direção θ π3 i v cos θ sen θ cos π3 sen π3 12 32 derivada d f na direção v v grad f v 4 1 12 32 42 32 2 32 9 fxyz x4 y2 2x xyz 000 v 1 2 2 x x4 2x 00 00 1 y x y4 x2 00 02 1 z y2 xx 02 x0 1 grad 000 111 v 000 grad f v 111 122 1 2 2 1 Powered by TCPDF wwwtcpdforg Powered by TCPDF wwwtcpdforg