Lista Calcúlo I Derivadas e Integrais

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA DIFERENCIAL INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO MÁXIMOS E MÍNIMOS LHospital Taylor Integração e aplicações Calcule o 3x² x 1x³ dx q 2x 3x² dx t x² 1x dx m 1x ex dx x 0 u 2 senx3 dx Derivação implícita 1 fx 1 fx² 2x fx 1 xy² y x 1 ddxxy² ddxy ddxx ddx1 ddxx y² x ddxy² dydx 1 0 1 y² x 2y dydx dydx 1 0 y² 2xy dydx dydx 1 0 dydx 2xy 1 y² 1 dydx y² 1 2xy 1 fx fx² 1 2x fx 1 fx 1 fx² 2x fx 1 4 i Diferenciação implícita Regra do produto Simplificação Isolamento de dydx Fatoração J Diferenciação implícita Regra da cadeia Diferenciação adicional Simplificação Isolamento de dydx Fatoração L Diferenciação implícita Regra da cadeia Isolamento de dydx Fatoração Diferencial 4 a dy fx dx dydx ddxx² 3x dydx 2x 3 dy 2x 3 dx b Δy fx Δx fx Δy x Δx2 3x Δx x2 3x Δy x2 2xΔx Δx2 3x 3Δx x2 3x Δy 2xΔx Δx2 3Δx Δy 2x 3Δx Δx2 dy 2x 3dx dy 2x 3Δx O erro E é a diferença entre Δy e dy E Δy dy E 2x 3Δx Δx2 2x 3Δx E Δx2 INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 1 a Tabela de Variação Intervalo 0 0 2 2 fx fx Crescente Decrescente Crescente 5 Valores nos Pontos Críticos f0 03 302 1 1 f2 23 322 1 8 12 1 3 S Derivada Primeira gx 2x12x1 x2 x 12 4x12 gx 2x12x2 2x2 x 1 4x12 gx 4x2 6x 2 2x2 2x 2 4x12 gx 2x2 4x 4x12 xx2 2x12 Pontos Críticos xx2 2x12 0 xx 2 0 Intervalos de Crescimento e Decrescimento 0 Escolhemos x 1 g1 13 222 38 0 então a função é crescente 0 1 Escolhemos x 05 g05 0515 2052 075 05 0 então a função é decrescente 1 2 Escolhemos x 15 g15 1505 2052 075 05 0 então a função é decrescente 2 Escolhemos x 3 g3 31 222 38 0 então a função é crescente Tabela de Variação Interva lo 0 0 1 1 2 2 gx gx Cresce nte Decres cente Decres cente Cresce nte Valores nos Pontos Críticos g0 0² 0 1201 12 05 g2 2² 2 1221 32 15 Derivada Primeira fx 1 1x² Pontos Críticos 1 1x² 0 x² 1 x 1 Intervalos de Crescimento e Decrescimento 0 Escolhemos x 1 g1 1 e¹ 1 1e 0 então a função é crescente 0 Escolhemos x 1 g1 1 e¹ 1 e 0 então a função é decrescente Tabela de Variação Interva lo 1 1 0 0 1 1 fx fx Cresce nte Decres cente Decres cente Cresce nte Valores nos Pontos Críticos f1 1 11 2 f1 1 11 2 U Derivada Primeira gx 1 ex Pontos Críticos 1 ex 0 ex 1 x 0 Intervalos de Crescimento e Decrescimento 0 Escolhemos x 1 g1 1 e1 1 1e 0 então a função é crescente 0 Escolhemos x 1 g1 1 e1 1 e 0 então a função é decrescente Tabela de Variação Intervalo 0 0 gx gx Crescente Decrescente Valores nos Pontos Críticos g0 0 e0 1 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO 1 a fx x³ 3x² 9x 1 Primeira Derivada fx 3x² 6x 9 2 Segunda Derivada fx 6x 6 3 Pontos de Inflexão 6x 6 0 x 1 f1 1³ 31² 91 1 3 9 11 4 Concavidade Para x 1 fx 0 então a função é côncava para baixo Para x 1 fx 0 então a função é côncava para cima c fx x e2x 1 Primeira Derivada fx e2x x2 e2x e2x 2x e2x e2x 1 2x 2 Segunda Derivada fx 2 e2x 12x e2x2 2 e2x 4x e2x 2 e2x e2x 4x 4 3 Pontos de Inflexão e2x 4x 4 0 4x 4 0 x 1 f1 1 e21 e2 0135 4 Concavidade Para x 1 fx 0 então a função é côncava para baixo Para x 1 fx 0 então a função é côncava para cima m 1 Primeira Derivada y 3x21x2x32x1x22 3x23x42x41x22 x43x21x22 2 Segunda Derivada y 4x36x1x22 x43x221x22x1x24 y 4x36x12x2x4 x43x24x4x31x24 y 4x38x54x76x12x36x5 4x54x712x312x51x24 y 6x 4x5 6x 4x3 4x51x24 2x3 x21x23 3 Pontos de Inflexão 2x3x21x23 0 2x3x2 0 y0 03102 0 y3 33132 334 y3 33132 334 Portanto os pontos de inflexão são 00 3 334 e 3 334 4 Concavidade Para x 3 y 0 então a função é côncava para baixo Para 3 x 0 y 0 então a função é côncava para cima Para 0 x 3 y 0 então a função é côncava para cima Para x 3 y 0 então a função é côncava para baixo o fx x ln x 1 Primeira Derivada fx ln x x 1x ln x 1 2 Segunda Derivada fx 1x 3 Pontos de Inflexão Não há pontos de inflexão pois a concavidade não muda 4 Concavidade Como x 0 fx 1x 0 sempre Portanto a função é sempre côncava para cima em seu domínio MÁXIMOS E MÍNIMOS 3 1 Calcular a derivada primeira fx fx x⁴ 2x³ 3x² 8x 4 2 Encontrar os pontos críticos onde fx 0 Resolver x⁴ 2x³ 3x² 8x 4 0 Esta equação pode ser fatorada como x 1² x 2x 2 0 Portanto os pontos críticos são x 1 x 2 x 2 3 Avaliar fx nos pontos críticos e nos extremos do intervalo f3 3⁵5 3⁴2 3³ 43² 43 1 483 f2 2⁵5 2⁴2 2³ 42² 42 1 126 f1 1⁵5 1⁴2 1³ 41² 41 1 03 f2 2⁵5 2⁴2 2³ 42² 42 1 26 f3 3⁵5 3⁴2 3³ 43² 43 1 165 4 Identificar os valores máximo e mínimo Valor máximo f3 165 Valor mínimo f3 483 4 1 Calcular a derivada primeira fx fx 13 x³ 2x² 23 3x² 4x 3x² 4x 3x³ 2x² 23 2 Encontrar os pontos críticos onde fx 0 ou fx não existe fx 0 quando 3x² 4x 0 então x3x 4 0 Isso dá x 0 e x 43 fx não existe quando x³ 2x² 0 então x²x 2 0 Isso dá x 0 e x 2 3 Avaliar fx nos pontos críticos e nos extremos do intervalo f1 ³1³ 21² ³1 2 ³3 144 f0 ³0³ 20² 0 f43 ³43³ 243² ³6427 329 ³6427 9627 ³3227 243 103 f2 ³2³ 22² ³8 8 0 4 Identificar os valores máximo e mínimo Valor máximo f0 0 e f2 0 Valor mínimo f1 ³3 144 Lhospital a lim x1 4x³ x² 3 x⁵ 1 41³ 1² 3 1⁵ 1 4 1 3 1 1 0 0 x⁵ 1 x 1x⁴ x³ x² x 1 1 4 1 0 3 4 3 3 4 3 3 0 4x³ x² 3 x 14x² 3x 3 lim x1 x14x² 3x 3 x1x⁴ x³ x² x 1 lim x1 4x² 3x 3 x⁴ x³ x² x 1 41² 31 3 1⁴ 1³ 1² 1 1 4 3 3 1 1 1 1 1 10 5 2 lim x1 4x³ x² 3 x⁵ 1 2 b limₓ₀ tan3x sinx sin³x tan3x 3x 3x³3 Ox⁵ 3x 9x³ Ox⁵ sinx x x³6 Ox⁵ limₓ₀ 3x 9x³ Ox⁵ x x³6 Ox⁵ x x³6 Ox⁵³ 3x x 9x³ x³6 Ox⁵ 2x ₅₅₆ x³ Ox⁵ sin³x x x³6 Ox⁵³ x³ Ox⁵ limₓ₀ 2x ₅₅₆ x³ Ox⁵ x³ Ox⁵ limₓ₀ 2 ₅₅₆ x² Ox⁴ x² Ox⁴ limₓ₀ 2x x³ limₓ₀ 2 x² Taylor 1 c fx lnx em x₀ 1 P₅x fx₀ fx₀x x₀ fx₀2 x x₀² fx₀3 x x₀³ fx₀4 x x₀⁴ fx₀5 x x₀⁵ 1 fx lnx f1 ln1 0 2 fx ¹x f1 1 3 fx ¹x² f1 1 4 fx 2x³ f1 2 5 fx 6x⁴ f1 6 6 fx 24x⁵ f1 24 P₅x 0 1x 1 ₁₂ x 1² ₂₆ x 1³ ₆₂₄ x 1⁴ ₂₄₁₂₀ x 1⁵ P₅x x 1 ₁₂ x 1² ₁₃ x 1³ ₁₄ x 1⁴ ₁₅ x 1⁵ d fx ³x em x₀ 1 1 fx x¹³ f1 1¹³ 1 2 fx ¹₃x²³ f1 ¹₃ 3 fx ₂₉ x⁵³ f1 ₂₉ 4 fx ₁₀₂₇ x⁸³ f1 ₁₀₂₇ 5 fx ₈₀₈₁ x¹¹³ f1 ₈₀₈₁ 6 fx ₈₈₀₂₄₃ x¹⁴³ f1 ₈₈₀₂₄₃ P₅x 1 ¹₃ x 1 ₂₉₂ x 1² ₁₀₂₇₆ x 1³ ₈₀₈₁₂₄ x 1⁴ ₈₈₀₂₄₃₁₂₀ x 1⁵ P₅x 1 ¹₃ x 1 ₁₉ x 1² ₅₈₁ x 1³ ₁₀₂₄₃ x 1⁴ ₁₁₇₂₉ x 1⁵ Para fx lnx P₅x x 1 ₁₂ x 1² ₁₃ x 1³ ₁₄ x 1⁴ ₁₅ x 1⁵ Para fx ³x P₅x 1 ¹₃ x 1 ₁₉ x 1² ₅₈₁ x 1³ ₁₀₂₄₃ x 1⁴ ₁₁₇₂₉ x 1⁵ o 3x² x 1x³ dx 3x² dx x dx x³ dx 3 x² dx x dx x³ dx 3 x³3 x²2 x²2 C x³ x²2 12x² C q 2x 3x² dx 2 1x dx 3 x² dx 2 ln x 3 x¹1 C 2 ln x 3x C r x² 1x dx x²x 1x dx x 1x dx x dx 1x dx x²2 ln x C m 1x eˣ dx 1x dx eˣ dx ln x eˣ C u 2 sinx3 dx 2 dx sinx3 dx 2x sinx3 dx sinx3 dx sinu 3 du 3 sinu du 3 cosu C₁ 3 cosx3 C₁ 2x 3 cosx3 C