Lista de Algebra

1 V xy x0 y0 Soma x1y1 x2y2 x1x2y1y2 como x10 y1 0 temos x1x2 0 e y1 y2 0 logo definida a soma está bem Produto por escalar α IR e xy V daí x0 e y 0 α xy xα yα temos que xα 0 e yα 0 para qualquer α IR logo o produto é bem definido Axiomas A1 x1y1 x2y2 x1x2 y1y2 x2x1 y2y1 x1y2 x1y1 comutativo em IR A2 x1y1 x2y2 x3y3 x1x2 y1y2 x3y3 x1x2x3 y1y2y3 x1x2x3 y1y2y3 x1y1 x2x3y2y3 x1y1 x2y2 x3y3 A3 xy e1e2 xe1 ye2 xy xy V xe1 x e1 1 y e2 y e2 1 logo o elemento neutro da soma e1e2 11 A4 xy V queremos x y V tal que xy xy x x y y 11 x x 1 x 1x 0 y y 1 y 1y 0 Dai o elemento simétrico é xy 1x 1y A5 α x1y1 x2y2 α x1x2 y1y2 x1 x2α y1 y2α x1α x2α y1α y2α x1α y1α x2α y2α αx1y1 α x2y2 A6 α β xy xαβ yαβ xα xβ yα yβ xα yα xβ yβ αxy βxy A7 α βxy α xβ yβ xβα yβα xβα yβα xαβ yαβ αβxy A8 1 xy x1 y1 xy OK logo V é espaço vetorial com as operações dadas sobre IR 1 Q3 Seja T IR3 IR2 dada por Txyz 2x y z 3x y 2z considere as bases canônicas de IR3 e IR2 respectivamente a Determine TEE2 b Se v 342 calcule TvE2 utilizando a matriz TEE2 Q4 Seja T IR4 IR3 linear dada por Te1 121 Te2 101 Te3 012 Te4 131 onde e1e2e3e4 base de IR4 a calcule NT e ImT b Determine bases do núcleo e imagem de T c verifique o Teorema da dimensão d calcule Txyzw UNIVERSIDADE FEDERAL DE PARANA ALUNO MATRÍCULA CURSO COMPUTAÇÃO ENG CIVIL DISCIPLINA ALGEBRA LINEAR Q1 Seja V xy x0 e y0 Mostre que V é espaço vetorial sobre IR com as operações soma e produto por escalares x1y1 x2y2 x1x2y1y2 α xy xα yα Diga que é o elemento neutro da soma e calcule o elemento simétrico do elemento xy Q2 Sejam v10101 v21111 v31201 v41210 responda a Encontre v1v2v3v4 b É uma base de v1v2v3v4 c v1v2v4v4 são LI ou LD d v1v2v3v4 IRk 3 a Tx y z 2x y 3 3x y 2z e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 f1 1 0 e f2 0 1 Te1 T1 0 0 21 0 0 31 0 20 2 3 Te2 T010 0 1 0 0 1 0 1 1 Te3 T001 0 0 1 0 0 2 1 2 Te1 2 3 2f1 3f2 2 3 Te2 1 1 1f1 1f2 1 1 Te3 1 2 1f1 2f2 1 2 Te2e3 2 1 1 3 1 2 b ve3 3 4 2 daí Tve2 Te2e3 ve3 2 1 1 3 1 2 3 4 2 23 14 12 33 14 22 6 4 2 9 4 4 12 1 Tve2 12 1 Tv 12f1 1f2 121 a NT v R4 Av 0 A 1 1 0 1 2 0 1 3 1 1 2 1 1 1 0 1 0 2 1 1 0 0 2 0 L2 L2 2L1 L3 L3 L1 Daí 2z 0 z 0 2y 3w 0 2y w 0 w 2y x y w 0 x y 2y 0 x 3y 0 x 3y Logo x y z w 3y y 0 2y y3 1 0 2 NT y3 1 0 2 y R dim NT 1 Imagem Todas as 3 linhas são nasnulas entas o posto é 3 implicando que as 3 colunas originais sas LI det 1 1 0 2 0 1 1 1 2 10 1 14 1 0 1 3 4 0 Logo Te1 Te2 Te3 é LI e gra a imagem Base da Im 1 2 1 1 0 1 0 1 2 dimImT 3 e dim R4 dim NT dim ImT 4 1 3 4 ok d Tx y z w xTe1 yTe2 zTe3 wTe4 x1 2 1 y1 0 1 z0 1 2 w1 3 1 x y w 2x z 3w x y 2z w Logo Tx y z w x y w 2x z 3w x y 2z w a v1 v2 v3 v4 é o subespaço de dimensão 3 em R4 confirmado em b b A 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 3 1 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 5 0 0 0 0 linhas nas nulas L1 L2 L3 são LI e L4 é LD Assim a base é v1 v2 v3 Checando L4 a0101 b1111 c1201 1 2 1 0 tome c 0 b 1 e a 1 10101 11111 01201 1 2 1 0 logo v4 v1 v2 Base 0101 1111 1 2 0 1 c Já checamos que temos 4 vetores em R4 mas o posto é 3 então eles são LD d O subespaço gerado tem dimensão 3 então não é igual a R4