Lista de Exercícios Álgebra Linear - Cônicas, Transformações Lineares e Autovetores

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CˆAMPUS UNIVERSITARIO DE VARZEA GRANDE FACULDADE DE ENGENHARIA Lista de Exercıcios 6 Algebra Linear 2021I Profa Glaucia A S Miranda Turma VQ1 1 Identificar a cˆonica achar a equacao no ultimo sistema de coordenadas utilizado determinar os focos as assıntotas caso seja uma hiperbole e fazer um esboco do grafico nesse sistema a 9x2 4xy 6y2 30 0 b 3x2 8xy 12y2 81 0 c 8x2 8y2 16xy 33 2x 31 2y 70 0 d xy x y 0 2 Seja A uma matriz simetrica de ordem 2 Prove que os autovetores de A associados a auto valores diferentes sao ortogonais 3 Entre as funcoes dadas abaixo verifique quais sao transformacoes lineares a T IR 2 IR 2 Tx y x 2 y b T IR 2 IR 2 Tx y x x 1 c T IR 2 IR 2 Tx y x y x y 4 Considere a aplicacao T IR 2 IR 3 definida por Tx y x ky x k y Verifique em que casos T e linear k x k 0 k 1 k y 5 Seja T U V transformacao linear tal que Tu 3u e Tv u v Calcular em funcao de u e v a Tu v b T3v c T4u 5v 6 Seja T U V uma aplicacao linear entre espacos vetoriais reais Mostre que a Se T e transformacao linear entao T0U 0V Transformacao linear leva vetor nulo em vetor nulo b T e transformacao linear se e somente se Tαu βv αTu βTv para quaisquer u v U e α β IR 1 7 Seja T IR 3 IR 2 uma transformacao linear definida por T1 1 1 1 2 T1 1 0 2 3 e T1 0 0 3 4 a Determine Tx y z b Determine v IR 3 tal que Tv 3 2 c Determine v IR 3 tal que Tv 0 0 8 Encontrar a transformacao linear T IR 2 IR 2 que leva um ponto x y em a sua reflexao em torno da reta y x b sua reflexao atraves da origem c sua projecao ortogonal sobre o eixo x 9 Dadas as transformacoes lineares T IR n IR m faca o que se pede i Determinar o nucleo uma base para este subespaco e a sua dimensao T e injetora Justifique ii Determinar a imagem de T uma base para este subespaco e sua dimensao T e sobreje tora Justifique iii Quais dos seguintes vetores 1 1 1 0 0 0 3 3 3 pertencem ao nucleo de T na letra b a Tx y x y x 2y b Tx y z x y y z 10 Considere T IR 3 IR 3 dada por Tx y z x y 0 Qual e o nucleo e a imagem da transformacao linear Neste caso o que representam estes conjuntos geometricamente Qual a relacao entre a dimensao da imagem a dimensao do nucleo e a dimensao do domınio da transformacao 11 Se T V W e uma transformacao linear mostre que ImT e NT sao subespacos vetoriais de W e V respectivamente 12 Determine uma transformacao linear T IR 3 IR 2 cujo nucleo seja gerado pelos vetores e1 1 0 0 e e2 0 1 0 13 Determine uma transformacao linear T IR 2 IR 3 cuja imagem seja gerada pelos vetores v1 1 1 1 e v2 0 1 1 14 Seja F V IR 5 uma transformacao linear 2 Algebra Linear Profa Glaucia A S Miranda 2 v v0 1 0 1 e autovetor de T vi Tv0 v0 vii 0 0 2 ImT Gabarito 1 a x2 6 y2 3 1 uma elipse b 13 81x2 4 81y2 1 uma hiperbole c x 8 y2 1 uma parabola d x2 2 y2 2 1 uma hiperbole 2 Demonstracao 3 Os itens a e b nao sao transformacoes lineares e o item c e transformacao linear 4 Somente para k 0 temos que T e transformacao linear 5 a 4u v b 3u 3v c 7u 5v 6 Demonstracao 7 a Tx y z 3x y z 4x y z b v e qualquer vetor pertencente ao conjunto 1 6 c c c IR c v e qualquer vetor pertencente ao subespaco 0 1 1 8 a Tx y y x b Tx y x y c Tx y x 0 9 a NT 0 0 e ImT 1 1 0 1 0 2 b NT y y y y IR e ImT 1 0 0 1 Temos 0 0 0 1 1 1 NT 5 Algebra Linear Profa Glaucia A S Miranda 5 10 NT 0 0 1 Geometricamente representa o eixo z ImT x y z IR3 z 0 Geometricamente é o plano xy 11 Demonstração 12 Tx y z z z 13 Tx y x x y x y 14 a dim V 7 b dim V 5