Lista de Exercícios Nivelamento Matemática Mestrado - Funções Derivadas Integrais e Aplicações

Lista de exercícios nivelamento de Matemática Mestrado Profissional June 2022 1 Basic set 1 Para as funções abaixo esboce as curvas de nível a fxyx2y2 b fxyx2y2 c fxy3x2y2 d fxyx2y 2 Encontre as derivadas parciais das funções com relação a x e y e também z nos casos de funções de três variáveis a fxyzze2xy b fxyln1cos2xsen2x c fxyz2xzlny d fxyzzexyxezyxylnz2ez e fxyxy2z 3 Para os itens a até c do exercício anterior calcule as derivadas parciais de segunda ordem 4 Encontre as derivadas utilizando a regra da cadeia quando necessária a Encontre a derivada dzdt em que zx2y xcostsin2t e ye2t b Encontre a derivada dzdt em que zlnx2y3 x1e2t e ycos3t c Encontre fr e fs sendo frsgers rs em que gxxyxy2 e gyxy1yx 5 Calcule o gradiente das funções nos pontos indicados a fxyx2y2 no ponto 10 b fxyx2y2 no ponto 11 c fxyx2y2 no ponto 01 d fxyx2y2 no ponto 00 e Compare as respostas dos itens a a d Em qual ponto o gradiente tem o menor valor Qual a justificativa 6 Responda a Dada a equação x3y36xy calcule dydx isto é a derivada da função implícita yx b Considere a equação 3xy2xy3 Esta define implicitamente uma função yfx ao menos na vizinhança de alguns pontos pertencentes a 𝑅2 Em que pontos essa função implícita não está definida Qual é o valor de dydx quando y1 7 Calcule as seguintes integrais indefinidas a xx2x dx b 1x1ex dx c 2exx2 dx d x14x22 dx e 2x2ex dy f x13x2 dx g x2ex3 dx h x33cosx4 dx i sin5x cosx dx j ex cosx dx k x2 ex dx l ex sinx dx m x2 lnx dx n 2y y2 ex dx o lnxx dx 8 Calcule as seguintes integrais a 02π sinx dx b 01 x13x2 dx c 01 x1x2 dx d 21 1x2 x dx e 1e2 lnxx dx f 12 x lnx dx g 1 13x12 dx h 4 ex2 dx i x2π ex2 dx Medium set 9 Seja fx2x Calcule fx 10 Suponha que para todo t temos que gtfxt ytft2 2tt33t a Mostre que dgdt 10 b Note que g1f1 2 e demonstre que fx 1 2fy 1 2 11 Considere uma função de produção CobbDouglas QAKLA2 K34 L14 Onde A representa o nível de tecnologia da firma K representa o capital investido e L representa o trabalho Supondo o estado inicial em AKL18216 Responda a Qual é a produção atual da firma b Use diferenciais para aproximar seu novo nível de produção quando K aumenta para 85 L cai para 157 e A permanece constante c Use uma calculadora para comparar sua resposta na parte b com a real produção 12 Calcule o gradiente de f e a derivada direcional em x2 e y3 da função f na direção de 𝑢 a fxy4x2y 𝑢13 b fxylncos2yex2 𝑢 é o vetor unitário paralelo a 𝑣21 13 Encontre os pontos críticos das funções e classifiqueos máximo local mínimo local ponto de sela ou não é possível classificar Indique se há funções estritamente côncavas para baixo côncavas ou para cima convexas a fxy2ex3lny b fxyx57xy22x45y2 c fxyzx42x25xy3y24z4 d fxyzx36xyzy34z2 14 Um monopolista produz um único produto que é vendido em dois mercados diferentes A função de demanda em cada mercado é dada por Q₁35 P₁8 e Q₂25 P₂4 em que Q₁ é a quantidade vendida no mercado 1 e Q₂ a quantidade de produto vendida no mercado 2 O monopolista produz tudo na mesma fábrica e a função custo de produção é dada por CQ₁Q₂ 90 20 Q₁ Q₂ a Quanto o monopolista deveria produzir para cada mercado para maximizar seu lucro b Verifique a condição de segunda ordem 15 Responda V ou F e justifique a Se hxy 6x³ 5y 0 então dydx 5 18 b Se Zxy 12x⁵ 2y 0 então 1x⁴dydx 60 16 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo das funções abaixo sujeitas às restrições dadas a fxy x² 2y² sujeito a x² y² 10 b fxy ln x²y sujeito a x² 2y² 6 c fxyz 2x 6y 10z sujeito a x² y² z² 35 17 Queremos cercar uma área de 100 km2 em um campo retangular dividindoo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados Quais devem ser os comprimentos dos lados para que o custo da cerca seja mínimo 18 a Calcule a área do plano limitada pela reta y 0 e pelo gráfico de y 5 2x 3x² com 1 x 2 b Calcule a área entre as curvas y x 1 e y x² 1 no intervalo 22 c Calcule a área do conjunto de todos os pontos xy tais que 0 x e x y x x² d Calcule a área definida pelo gráfico y x e y x limitada pelas retas x0 e x12 19 Seja Fx 1cosx uma primitiva de fx sinxcos²x determine I ₁π3 fx dx 3 Hard set 20 Suponha que a temperatura da água de uma certa piscina em um ponto de coordenadas xyz seja dada por Txyz 30 ex3 ey3 ez3 em que T é medida em ºc xy e z são medidas em metros e a origem do sistema de coordenadas fica no fundo da piscina a Determine a taxa de variação da temperatura quando nos deslocamos do ponto 111 na direção do ponto 001 Page 4 b Suponha que um objeto esta afundando na direcao vertical a uma velocidade de 1ms Calcule a taxa de variacao da temperatura com relacao ao tempo quando o objeto passa pelo ponto 1 1 1 c Partindo do ponto 1 1 1 em que direcao a temperatura aumenta mais rapida mente 21 Considere a funcao fx y y2 3x2 a partir do ponto inicial 1 2 responda a Qual o vetor que representa o sentido e a direcao de maior crescimento da funcao b Qual a taxa de variacao da funcao para a direcao encontrada c Seja u a b um vetor unitario Determine a relacao entre a e b que define a direcao em que a funcao nao varia d Estime variacao aproximada da funcao a partir do ponto inicial para uma trajetoria paralela ao vetor v 2 1 por uma distˆancia de 001 22 Determine 3 numeros positivos cuja soma e igual a 300 e cujo produto e maximo 23 Um consumidor habituado a comprar dois produtos x e y tem um comportamento tal que ele procura maximizar a chamada funcao utilidade dada por Ux y 4 ln x 6ln y em que x e y representam a quantidade de produto consumida de cada bem A quantidade de dinheiro que ele esta disposto a gastar com os dois produtos e de R 50000 O preco do bem x e R 500 enquanto o preco do bem y e R 1000 Calcule o quanto ele devera gastar com cada produto de modo a maximizar sua funcao utilidade mediante a restricao orcamentaria dada Mostre graficamente que essa solucao corresponde a um maximo 24 Seja V b o valor maximo da funcao fx y sobre o conjunto determinado pela restricao gx y b em que f g R2 R sao funcoes duas vezes continuamente diferenciaveis e b R e um parˆametro exogeno Se V b b2b determine o multiplicador de Lagrange quando b 50 25 Sejam f g R2 R funcoes diferenciaveis definidas por fx y x05y05 e gx y x2 y2 Quando sujeita a restricao dada pelo conjunto nao vazio Kc x y R2 gx y c a funcao f assume um valor maximo V c Seja λ λc o multiplicador de Lagrange introduzido para a determinacao do maximo de f sobre o conjunto Kc Classifique os itens abaixo como V verdadeiro ou F falso justificando suas respostas a V 2r2 r para todo r 0 b λc V c c λcV c 1 d Se c 8 entao fx y 2 para todo x y Kc 26 O problema de uma firma minimizadora de custos no longo prazo e min wL rK sujeito a L23K13 c Page 5 a Encontre a quantidade de L e K quando w80 r40 e c1200 b No problema de minimização condicionada do custo qual o significado do multiplicador de Lagrange λ c Estime a variação da solução do problema para c 1199 27 Dada a função fxy xy e o conjunto B xy ℝ² x y 1 x 0 y 0 Represente graficamente o conjunto B no plano cartesiano e calcule a integral dupla ₐ fxydydx 28 Seja B xy ℝ² y 1 x² x 0y 0 calcule ₐ 2 x y dydx 29 Calcule a seguinte integral dupla D x² y dydyx sendo D a região entre as parábolas y x² e x y² 30 Julgue as afirmativas como Verdadeiras ou Falsas e justifique a Se fX Xᴛ AX onde A Iₙ₂ Iₙ é a matriz identidade n n e X a matrizcoluna de incógnitas de dimensão n 1 Então fXX X b Seja f ℝⁿ ℝ definida por fX Xᴛ AX bᴛ BX onde X x₁ x₂ᵀ A 2 1 1 2 B 0 1 2 1 e b 35 então para X 1 1 teremos fXX 12 8 c Seja f ℝⁿ ℝ definida por fX b AXᴛb AX então fX 0 para X Aᴛ A¹ Aᴛ b d Se AB X BA¹ I A onde A e B são matrizes I é matriz identidade Então o valor de X BAAB¹ 31 Considere os sistemas lineares abaixo e julgue as afirmativas I x y k z 2 3x 4y 2z k 2x 3y z 1 II x y kz 0 3x 4y 2z 0 2x 3y z 0 a Se k 3 então o sistema I tem solução única b Se k 0 o sistema homogêneo associado a II tem infinitas soluções c Para k 1 a matriz dos coeficientes de I é uma matriz ortogonal Page 6 Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner