Lista de Exercicios Resolucao de Limites Gradientes e Calculo Diferencial

Q1 Calcule os limites abaixo a lim x4y14x2y12 xy 01 b lim exeycosxseny xy 00 c lim 3x3 2y xy 24 d lim x143y143x123y123 xy 01 Q2 Mostre que os limites não existem a lim x4y4x2y433 xy 00 b lim x2y2x2y2 xy 00 Q4 Descreva a região R no plano xy que corresponde ao domínio da função dada e o conjunto imagem b gx y 4 x2 4y2 c hx y xyxy d mx y ln 4 x y e nx y exy Q5 Considere os vetores A 1 2 3 B 4 3 1 C 5 3 5 e D 2 1 6 determine a A5B b 7C 5D c 7C 5D d 7C 5D e A B f AB g C D h CD Q6 Determine a distância do ponto 2 6 3 ao plano 5x 11y 2z 30 Q7 Responda os itens abaixo b Se pπ3 π2 e fx y sen3xcos2y então fpx e fpy c Se p11 e fx y eyx lnx2y então fpx e fpy d Se p111 e fx y z 4xyz ln2xyz então fpx fpy e fpz e Se p31 e fx y 5x3y2 então fpx e fpy f Se pπ12 π e fx y sen3xy xcosy2 então fpx e fpy g Se p2 2 e fx y eyx3 lnxy2 então fpx e fpy h Se p111 e fx y z xyz ln4xyz então fpx fpy e fpz Q9 O raio de uma esfera metálica cresceu de 8 cm para 81 cm com o aquecimento Calcule a O acréscimo aproximado do volume b O acréscimo exato do volume c O erro cometido ao empregar diferenciais Q10 Um pintor cobra R 400m2 para pintar as quatro paredes e o forro de um quarto Se as dimensões do forro forem 5m de comprimento 4m de largura e 3m de altura e essas medidas são corretas até 1cm ache aproximadamente usando a diferencial total o erro máximo na estimativa do custo do trabalho com essas medidas Q12 Suponha que uma pessoa em uma festa beba x xt 08 t litros de refrigerante e coma y yt 0 2 t quilogramas de bolo de chocolate após t horas Com isso ele produz Ex y x2 3y calorias de energia ao beber x litros de refrigerante e comer y quilogramas de bolo de chocolate Quanta energia ele produziu após 5 horas de festa Qual a taxa de produção de energia em t 5 Q13 Nos itens abaixo determine o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P a fx y x2 4y P 2 2 U cosπ3i senπ3j b fx y exy P 2 1 U 45 i 35 j c fx y z y2 z2 4xz P 2 1 3 U 27 i 67 j 37 k d fx y z 2x3 xy2 xz2 P 1 1 1 U 217 j 277 k Q14 A temperatura em certo ambiente é modelada por Tx y z ey1 senxz ln1 y2 z6 em Kelvin a Considerando direções unitárias qual a maior taxa de resfriamento ou seja a taxa de variação mais negativa da temperatura no ponto 0 1 2 b Uma andorinha movese na trajetória ct 5t cost et onde t denota o tempo Qual a taxa de variação da temperatura sentida pela andorinha quando ela passa por 0 1 2 Q15 A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por Tx y 161 x2 2y2 a Se uma formiga está no ponto P11 qual direção e sentido ela deve andar de modo que a temperatura tenha sua menor taxa de variação Qual é esta taxa b Se uma formiga se move sob a placa na direção do vetor v 3 4 ela estará esquentando ou esfriando Qual a taxa c Se a formiga começa a se mover de modo que sua posição em cada instante seja dada por rt sqrt1 t 1 2t qual a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo que a formiga sofre 3 segundos depois Q16 A superfície de um lago é representada por uma região D no plano xy e a sua profundidade em cada ponto x y é dada pela função fxy 300 2x2 3y2 metros Um menino está nadando no lago e num certo instante se encontra no ponto P 4 9 a Em que direção e sentido ele deve nadar para ir para a parte mais rasa do lago b Determine a taxa de variação da profundidade se o menino nadar na direção do vetor u 3 4 Q17 Uma injeção de xmg do medicamento A e ymg do medicamento B causa uma resposta em R unidades e Rx y x2 y3 6 x y Que quantidade de cada substância causará a resposta máxima Q18 A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é Txy 54 2x23 4y2 Se a distância for medida em centímetros ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y respectivamente no ponto p 31 Q19 Considere a Lei dos Gases Ideais para um gás confinado e mostre que PV kT VTTPPV 1 Q20 Suponha que a fabricação de um determinado produto requer x horas por máquina e y horas por pessoa e o custo de produção é dado por fxy 2x3 6xy y2 500 Determine o número de máquinashoras e pessoashoras necessárias para que o custo seja mínimo Q21 Determine um extremo relativo das funções abaixo sujeito ao vínculo indicado a fxyz x y z com o vínculo x2 y2 z2 9 b fxyz x2 4y2 16z2 com o vínculo xyz 1 Q22 Determine a menor e a maior distância da origem a um ponto da elipse x2 4y2 16 Q23 Uma campanha possui três fábricas produzindo o mesmo produto Se as fábricas A B e C produzem x y e z respectivamente seus custos de fabricação são 3x2 200 y2 400 e 2z2 300 Se um pedido de 1100 unidades deve ser entregue use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar como a produção deve ser distribuída entre as três fábricas a fim de minimizar o custo total de fabricação Q24 Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem a tampa e com um dado volume sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação Q25 A temperatura é T graus em qualquer ponto x y da curva 4x2 12y2 1 Txy 4x2 24y2 2x Ache os pontos da curva onde a temperatura é máxima e onde é mínima Ache também o valor da temperatura nesses pontos Q26 Os cursos de dois rios dentro dos limites de uma determinada região representam aproximadamente uma parábola y x2 e uma reta x y 2 0 Devese unir estes rios por meio de um canal retilíneo que tenha o menor comprimento possível Por quais pontos devemos traçálo Q27 Os pontos A e B estão situados em diferentes meios ópticos separados um do outro por uma linha reta fig1 A velocidade de propagação da luz no primeiro meio é igual a v1 e no segundo v2 Aplicando o princípio de Fermat segundo o qual o raio luminoso se propaga ao longo da linha AMB cujo percurso exige um tempo mínimo deduzir a lei de refração do raio de luz Q28 Aplicando o princípio de Fermat deduzir a lei de reflexão do raio de luz de um plano num meio homogêneo fig2