Lista de Exercícios Resolvidos: Álgebra Linear e Equações Diferenciais

Lista de SLC609 Álgebra Linear e Equações Diferenciais 6 de julho de 2022 Questão 1 Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas a y 3y 2y 0 b y 3y 2y 12et c y 3y 2y 2et d y 2y y 0 e y 2y y t 1 f y 2y y 3e2t g y y t 1 Questão 2 Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais a y 4y 3y et 1 et Questão 1 Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas a y 3y 2y 0 b y 3y 2y 12et c y 3y 2y 2et d y 2y y 0 e y 2y y t 1 f y 2y y 3e2t g y y t 1 Solução Primeiramente nos ateremos aos itens abc Todos possuem a mesma equação homogênea no entanto possuem diferentes termos não homogêneos nesse sentido nos ateremos primeiramente a solução do item a o qual nos dará a solução desse item bem como parte da solução dos itens b e c Com efeito Item a Para tanto utilizaremos o método da equação característica o qual nos guia a uma solução do tipo φt eλt Com efeito temos φ 3φ 2φ 0 λ2eλt 3λeλt 2eλt 0 λ2 3λ2 0 As raízes da equação característica são determinadas resolvendo a equação algébrica acima cujo soluções são λ12 398 2 31 2 e então λ1 2 e λ2 1 portanto as raízes são λ1 2 e λ2 1 Logo obtemos duas soluções que são LI φt eλit para i 12 Então a solução da EDO deve ser pelo princípio da superposição a seguinte yt Ae2t Bet 1 em que AB são constantes reais item b A solução da equação é dada por yt yht ypt onde yht é a solução homogênea que é dada por 1 enquanto que ypt é uma solução particular que é associada a função não homogênea da equação Então nosso trabalho aqui será determinar uma solução particular para essa equação a qual pode ser obtida pelo método dos coeficientes a determinar por ypt aet onde a é um coeficiente a determinar Então levando ypt na equação temos 1 yp 3yp 2yp 12et implies aet 3aet 2aet 12et implies 6aet 12et implies a 2 e portanto a solução particular é ypt aet 2et Com isso a solução geral para a EDO é y yh yp isto é yt Ae2t Bet 2 et 2 item c A solução da equação é dada por yt yh t yp t onde yh t é a solução homogênea que é dada por 1 enquanto que yp t é uma solução particular que é associada a função não homogênea da equação Então nosso trabalho aqui será determinar uma solução particular para essa equação a qual pode ser obtida pelo método dos coeficientes a determinar por yp t a t et onde a é um coeficiente a determinar o termo t é introduzido pois et é uma solução da homogênea Então levando yp t na equação temos yp 3yp 2yp 2et implies a et t 2 et 3a et et t 2a t et 2 et implies a et t 2 3 3t 2 t 2 et implies a 2 implies a 2 e portanto a solução particular é yp t a t et 2 t et Com isso a solução geral para a EDO é y yh yp isto é yt Ae2t Bet 2 t et 3 Item d Agora ateremos aos itens d e f Todos possuem a mesma equação homogênea no entanto possuem diferentes termos não homogêneos nesse sentido nos ateremos primeiramente a solução do item d o qual nos dará a solução desse item bem como parte da solução dos itens e e f Para tanto utilizaremos o método da equação característica o qual nos guia a uma solução do tipo phi t elambda t Com efeito temos phi 2 phi phi 0 implies lambda2 elambda t 2 lambda elambda t elambda t 0 implies lambda2 2 lambda 1 0 implies lambda 12 0 implies lambda 1 portanto a única raíz obtida é lambda1 1 no entanto isso nos dá apenas uma solução phi1 et A segunda solução para essa EDO deve ser obtida utilizando o método da redução de ordem que nos guia para uma solução phi2 t dada por phi2 t phi1 t int frac1phi12 t ePt dt onde Px int px d x e px é termo que acompanha a derivada primeira da EDO por inspeção então temos que px 2 logo segue que phi2 x et int frac1et2 eint 2 d x d t et int d t t et e assim obtemos a segunda solução da EDO De posse dessas temos um conjunto fundamental de soluções consequentemente podemos então obter uma solução geral para a EDO dada pelo princípio da superposição o qual nos guia a seguinte solução yt A et B t et 4 onde A e B são constantes reais item e A solução da equação é dada por yt yh t yp t onde yh t é a solução homogênea que é dada por 4 enquanto que yp t é uma solução particular que é associada a função não homogênea da equação Então nosso trabalho aqui será determinar uma solução particular para essa equação a qual pode ser obtida pelo método dos coeficientes a determinar por yp t a b t onde a e b são coeficientes a determinar Então levando yp t na equação temos yp 2 yp yp t 1 implies 2 b a b t t 1 implies a 2b b t t 1 por igualdade polinomial temse b 1 então a 2 1 ou seja a 1 logo yp t 1 t Com isso a solução geral para a EDO é y yh yp isto é yt Ae2t B t et t 1 5 item f A solução da equação é dada por yt yh t yp t onde yh t é a solução homogênea que é dada por 4 enquanto que yp t é uma solução particular que é associada a função não homogênea da equação Então nosso trabalho aqui será determinar uma solução particular para essa equação a qual pode ser obtida pelo método dos coeficientes a determinar por yp t a e2t onde a é um coeficiente a determinar Então levando ypt na equação temos y p 2y p yp 3e2t 4ae2t 4ae2t ae2t 3e2t ae2t 3e2t a 2 e portanto a solução particular é ypt 3e2t Com isso a solução geral para a EDO é y yh yp isto é yt Aet Btet 3e2t 6 item g Resolveremos y y t 1 Primeiramente resolveremos y y 0 Supondo uma solução do tipo yh eλt temos y h yh 0 λ2eλt e 0 λ2 1 0 λ i onde i é a unidade imaginária Com isso temos duas soluções LI as quais são y1 eit e y2 eit e a solução homogênea é pelo princípio da superposição obtemos yt Aeit Beit AcostisintBcostisint AcostBsint com A A B e B iA B E então precisamos determinar uma solução particular para a parte não homogênea a qual buscamos pelo método dos coeficientes a determinar uma solução com a forma ypt abt então y p yp t 1 abt t 1 a 1b 1 logo a solução particular é ypt t 1 Com isso a solução geral para a EDO é yt yhtypt AcostBsintt 1 Questão 2 Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações dife renciais 4 a y 4 y 3 y fracet1 et Primeiramente determinaremos as soluções da equação homogênea associada a qual é y 4 y 3 y 0 Para tanto utilizaremos o método da equação característica o qual nos guia a uma solução do tipo phi t elambda t Com efeito temos phi 4 phi 3 phi 0 implies lambda2 elambda t 4 lambda elambda t 3 elambda t 0 implies lambda2 4 lambda 3 0 As raízes da equação característica são determinadas resolvendo a equação algébrica acima cujo soluções são lambda12 frac4 pm sqrt16 122 frac4 pm 22 e então lambda1 3 e lambda2 1 portanto as raízes são lambda1 3 e lambda2 1 Logo obtemos duas soluções que são LI phii t elambdai t para i 1 2 Então a solução da EDO deve ser pelo princípio da superposição a seguinte yh t A e3t B et 7 em que A B são constantes reais Agora determinaremos a solução geral para a EDO usando o método dos coeficientes a determinar onde buscaremos uma solução do tipo yp t alpha1 t phi1 t alpha2 t phi2 t onde os coeficientes alpha1 e alpha2 são dados por alpha1 fracphi2 fW alpha2 fracphi1 fW onde f fracet1 et e W é o Wronskiano das soluções homogêneas Calcularemos W com efeito W beginvmatrix phi1 phi2 phi1 phi2 endvmatrix beginvmatrix e3 t et 3 e3t et endvmatrix 2 e4 t Então determinemos cada um dos alphai Com efeito alpha1 fracet 2 e4 t fracet1 et frac12 frac1e2t 1 et implies alpha1 frac12 int frac1e2t 1 et d t alpha2 frace3 t 2 e4 t fracet1 et frac12 cdot frac11 et implies alpha2 frac12 int frac11 et d t Resta agora determinaremos os coeficientes alphai Para alpha1 façamos u et então d u et d t e logo temos α1 12 1e2t1et dt 12 1u21u duet 12 1u31u du 12 1u 1u2 1u3 1u1 du 12 lnu 1u 12u2 lnu1 12 lnet 1et 12et2 lnet1 12 t 1et 12e2t lnet1 Por outro lado temos para α2 o seguinte α2 12 11et dt 12 et1et 1 dt 12 et1et dt 1 dt 12 ln1et t Então de posse dos coeficientes temos que a solução particular deve ser yp α1 φ1 α2 φ2 e3t2 t 1et 12e2t lnet1 et2 ln1et t Daí como a solução geral pode ser obtida fazendo yt yht ypt então temse que yt Ae3t Bet e3t2 t 1et 12e2t lnet1 et2 ln1et t é a solução geral da EDO